Файл: Гришин В.К. Статистические методы анализа результатов измерений учеб. пособие.pdf

ношений, например

n = tjf(X)

,

то целесообразно

избрать

иной путь. Мы постулируем,

исходя

из каких-то

теоретических

или практических соображений, что зависимость

у=у(Х)

опи­

сывается,по крайней мере,в пределах коридора

X, <

X 4

У-п

кривой

(20.3)

т параметров которой, называемых коэффициентами регрессии,

мы определим с помощью оптимизации

функции правдоподобия.

В дальнейшем,

за исключением

особых случаев, мы будем

считать, что распределение

величин

у . д

близко

к нормаль­

ному. Помимо соображений,

высказанных

при обсуждении централь­

ной

предельной теоремы (§ 2),

мы учтем

также

то

обстоятельст­

во,

что, как доказывается

в теории

информации,

нормальное

распределение содержит минимум информации по сравнению

с лю­

бым распределением

с той же дисперсией. Поэтому

замена

неко­

торого распределения на эквивалентное нормальное не может

привести к переоценке точности наблюдений.

Таким образом,

записываем

где /?. <=

и Є*-

генеральные среднее и дисперсия

в каждой из точек.

При исследовании зависимости типа (20.3)

мы будем опе­

рировать с первой

из. сумм в

(20.'і), содержащей

квадраты от-

клонений

эмпирических значений от средних. Потребовав для

установления наиболее

правдоподобного

описания

ушу(х)

максимума

функции

, мы приходим к выводу,

что такое

описание

вытекает из

решения уравнения

м ' Г . П ^ ^ Ї = т і г

і -

( 2 о - 5 )

(20.6)

A*=V

которые,

как известно

(

у

совпадают

с выборочными средни­

ми),

являются несмещенными

оценками

генеральных средних ^ .

Представляя

( ^

-

у.)

» (у^-

у.)

* (у.

- ?

. )

, мы

разбиваем

сумму

М

на две

7)

1 sC< п.

где

Є

=

б £ / п р е д с т а в л я е т

днсперсив

эмпирического

Зі

среднего

^. .

Сумма

М,

включает

рассеяние наблюдения

относитель­

но эмпирических

средних

и не зависит

ох вида

кривой

J?»p(XJ«

Напротив,

Мг

представляет хинь сумму квадратов отклоне­

ний

эмпирических

средних от

этой кривой.

В этой сумме величины і/б

играют роль статисти­

Ч = п

* — •

- (20.8)

б'

(20.9)

Нетрудно видеть, что такое

преобразование

никоим образом

не влияет на окончательные результаты.

Величины статистических весов вычисляются по теоретиче-

ским значениям дисперсий

С

. Однако

л практических

т-1

?1Х)-1*кЬкМ

>

.

( 2 I . I )

Km О

где

BJx),.. . , &к (х|система

базисных функций, выбираемых на

основании

тех или иных предпосылок. В частности, кривая

г> = у(Х)

может

быть разложена

по системе полиномов. Тог­

да

число

т

- {

будет совпадать с максимальной степенью

X

, присутствующей в описании

=

ffx)'

Заметим,

что

вид аргумента,также

как и функции

у

,

выбирается

подчас

из соображения

практического удобства или

в силу УСТАНОВИВШИХСЯ традиций. Так, если известно,

что раз­

ложение ведется по косинусам угла

\Я

, полагают

X = Cos \?

или

X = (1-CosV)/2

. Аналогично поступают

с

функцией

у

. Например,

при изучении констант радиоактив­

ного распада

целесообразно

оперировать

о логарифмами

интен-

сивностей.

Вообще говоря, выбор (21,1) может противоречить исходно­

му предположению о нормальном раопределении наблюдаемых

величин. Для приближенных оценок

можно

пойти, на такой компро­