Файл: Гришин В.К. Статистические методы анализа результатов измерений учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 26.07.2024

Просмотров: 112

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

 

§ 23. Доотоверность оценки кривой регрессии

 

 

 

Оценки

dK

коэффициентов регрессии, как было

указа­

но в предыдущем параграфе, распределены

нормально

со средний

« к

«= о(к

и дисперсией

Є* = 6і/NK

 

. Поэтому

слу­

чайная величина

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(25.1)

имеет

С

-распределение, число степеней свободы которого

определяется

числом степеней

свободы оценки

о

 

(для объе­

диненной

оценки £ я £jzt~

пг

) . Следовательно,

мы можем

утверждать, что о доверительной

вероятностью

/

" Є

 

истинное-значение

коэффициента

регрессии

 

лежит

в пределах:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(23.2)

 

Пример.

Рассмотрим

вопрос

об определении

интенсивности

источника с точки зрения регрессионного

анализа. Пусть мы

располагаем двумя измерениями интенсивности источника, b

первом измерении за t1

= 100

сек прибор

зарегистрировал

5770 частиц;

во втором,

проведенном через

некоторое время,

счетчик

за

t a

= 50 сек отметил 3012

чаотиц.

 

 

 

 

Еоли мы полагаем,

что интенсивность

 

источника

постоян­

на,

то для построения

"кривой

регрессии",

содержащей лишь

один параметр

п = Ы ,

мы имеем две эмпирические точки

^= 57,7 ч/сек и V4 = 60,2 ч/оек, измеренные о дис-

перснями

0 у = 0,58

и

б2 = 1,2.

Поэтому

(см.задачу

§

21)

~ -

4/5' + Ч/g/

 

с о

о

 

V = о<„ =

—

— -

_

=

53,3

v / c e i f <

,

а дисперсия

оценки среднего

 

 

 

 

 

б " =

4

,

л

- 0,39.

 

Поскольку здесь

 

Л/, »

•/

, ю

^ f _ ^ j совпа­

дают с квантилями нормированного нормального рвопределения.

Поэтому,

выбирая

£ =0,05

(

U ^ S 7 5 =

I » 9 6 ) »

записываем

 

V

=

(58,8

І

1,2) ч/сек.

 

 

Конечно, информация, содержащаяся в материале, в прин­

ципе позволяет оценить не только

интенсивность,

но и,

напри­

мер, стабильность источника (если

указано

время,

разделяющее

интервалы измерений

Ni

и

Л/а

) .

 

 

 

Располагая оценками

о ( „

 

, можно указать так назы-

ваемый коридор ошибок всей линии

регреаоии, т . е . среднеквад­

ратичное

отклонение

каждой точки

эмпирической

кривой

рег­

рессии:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f "' I s'f

( '

*

(23.3)

Воспользовавшись еще раз свойством ортогональности функций о?» » получаем

'

к.о

' к.о

Оценкой среднеквадратичного отклонения кривой регрессии являетоя величина

т-1

 

 

V

X ) "

S l L X

« W / N

*

'

 

(23.5)

где

S

-

одна из оценок дисперсии коэффициента

регрес­

сии с соответствующим числом отепеней свободы.

 

 

Оценки

коэффициента регрессии

о < к

стохастически

независимы. Отсюда

следует,

что величина

 

 

 

 

 

 

— s ^ r = l

 

 

 

 

<гз-6>

имеет

 

£

-распределение,

так что истинная кривая

рег­

рессии лежит

в коридоре

 

 

 

 

 

 

? W -

^

i

, %

< ?М

<

?(*)+

V X

, - i ' - %

'

(23.7)

Коридор ошибок кривой регрессии будет соответствовать оценкам (23.7) при Є - 0,3. Заметим, что "ошибки" в

положении кривой регрессии определяются не локальными, а

интегральными характеристиками погрешностей измерений, пред­ ставленными в 5 и <Sp , и могут не совпадать с ошибками измерений в остальных точках, ом. рис. Ш.

Рнс. 14. Кривая регрессии (оплошная кривая)

и коридор ошибок (пунктирные ли­ нии).

Если имеется две эмпирические кривые регреооии

a - p r * . w j

? . - p r e

. ( г з.8,

* •

t

полученные в результате двух независимых серий наблюдений, то гипотезу об их совпадении можно проверить, используя, например, локальный критерий.

Обычно наибольший интерес вызывает положение кривых в районе особых точек, например, в области резонанса. Степень совпадения двух кривых в отдельных точках можно установить о помоцью обычных статистичеоких критериев. Для этого снача­ ла вычисляют оценку суммарного коридора ошибок

 

 

S ( x )

=

/s*(x)

+

SM

 

 

 

 

 

 

 

 

"г

 

 

и затем

ооотавляют

величину

 

 

 

 

 

 

t ( X ) -

 

 

>

 

(23.IU)

которая,

как отмечалось в §

16,

приблизительно

описывается

t

-распределением

с числом степеней овободы,

определяемым

уравнением

 

 

 

 

 

 

 

 

Sb)

 

Sjx)

 

S9 М

 

 

 

 

—

= —

+ ~ х ~ '

 

( 2 3 Л І )

 

Гипотеза о совпадении кривых в точке

X

принимает­

ся,

если

 

 

 

 

 

 

 

(23.12)

В специальной литературе рассматриваются также интеграль­ ные критерии, применяемые для проверки совпадения эмпиричес­ ких кривых в среднем во всем интервале изменения аргумента X . Очевидно, кривые в целом совпадают, если их коридоры ошибок в основном перекрываются, хотя в отдельных точках локальный критерий может отмечать их значимое расхождение.

З А Д А Ч А

Используя данные, указанные в примере, найти пределы возможных колебаний интенсивности источника.

§ 24. Влияние погрешностей в определении аргумента

В эксперименте значения независимой переменной известны не абсолютно точно, а о некоторой неопределенностью. Это скорее норма, чем исключение в практике эксперимента. Обычно погрешность в определении значений аргумента поддается конт­ ролю. Поэтому условия измерения планируются таким образом, чтобы относительная, роль "изначальной" погрешности была ми­ нимальной. Так, если исследуется временная зависимость, то пытаютоя расставить точки измерения таким образом, чтобы от­ носительная ошибка в определении времени была исчеаакнде малой.

К сожалению, всевозможные ухищрения не всегда дают должный эффект. Более того, иногда по условиям экспери­ мента точки расставлены настолько тесно, что существует реальная угроза " спутать ", т . е . приписать результа­ ты измерений, которые " по праву " принадлежат к сосед-

ней точке. Например, при измерении поглощения уд -лучей

с налой проникающей способностью толщина мишени увеличивает­ ся последовательным наложением тонких фольг. Ошибка в опреде­

лении суммарной толщины растет как корень из числа фольг, и

на некотором этапе может сложиться парадоксальная ситуация,

когда толщина очередной фольги оказывается меньше, чем ошиб­

ка в измерении общей толщины поглотителя.

В олучае, если погрешностями в определении значений ар­

гумента пренебречь нельзя, анализ кривых должен базироваться

на иных принципах: эмпирические точки следует

рассматривать

как величины в многомерном пространстве случайных

перемен­

ных (такой анализ называют конфлюентным,

т . е . сливающимся).

В большинстве случаев, однако, можно

считать,

что ошиб­

ки в определении

X

не

очень велики.

Тогда для

установ­

ления искомой функциональной

зависимости

у

=

у(х)

можно воспользоваться результатами регрессионного анализа, внеся некоторые исправления в расчетные соотношения.

 

На участке

кривой вблизи точки (Х^, у.)

теоретиче­

скую

кривую можно представить,

ограничиваясь

первыми

члена­

ми в

разложении

Тэйлора:

 

 

 

lj>(X)Z 7(Х.)

+ ( Х - Х ^ 7 Ї Х 1

> + і ( х ~ х / / ґ Х і ) .

(24.1)

Поэтому в качестве оценки эмпирического среднего в соотноше­ ниях (21.7 ) следует избрать величину

Смотрите также файлы