Файл: Сергеев В.И. Исследование динамики плоских механизмов с зазорами.pdf

Т а б л и ц а 3

тельность переходного процесса сокращается. Однако в случае чисто квадратичного трения переходный процесс не прекращается даже при krp, = 0,1.

Максимальное значение силы реакции в зазоре в переходном режиме имеет наибольшее значение при чисто квадратичном тре­ нии, с увеличением коэффициента трения оно уменьшается значи­ тельно быстрее, чем при чисто линейном трении. Наименьшее зна­ чение ее при данных коэффициентах трения достигалось при комби­

процесса значение угловой скорости ф становится равным нулю, ошибка положения принимает максимальное значение, величина реакции в механизме с зазором совпадает с величиной реакции в данной паре идеального механизма. До наступления следующего разрыва кинематической цепи движение практически не отличается от рассмотренного выше для сухого трения.

Подробное исследование динамики рассматриваемого механизма при учете сил сухого трения в шатунном подшипнике при разных значениях внешней нагрузки F приведено ниже.

Методика и результаты экспериментального исследования ди­ намики четырехзвенного кривошипно-кулисного механизма опи­ саны в работе [79]. Следует отметить, что динамические модели кривошипно-ползунного и кривошипно-кулисного механизмов в рассматриваемой постановке задачи имеют несущественные отличия, которые могут быть учтены в нестандартной части описанного выше

72

моделирующего алгоритма, блок-схема которого изображена на рис. 6.

Поэтому представляет определенный интерес сопоставить между собой (во всяком случае в качественном отношении) некоторые ре­ зультаты, полученные в настоящей работе на основе расчетов, с соответствующими данными эксперимента из [79]. К этому следует еще добавить, цто механизмы обоих типов имеют ряд относительно близких по своим величинам и характеру исходных данных: об­ щий закон движения ведущего звена, практически совпадающие интервалы изменения зазора в одной из кинематических пар, на­ личие сухого трения в подшипнике скольжения с зазором и пренеб­ режимо малые силы трения в остальных кинематических парах, в которых зазор не учитывался. При проведении эксперимента на кривошипно-кулисном механизме эти условия обеспечивались, в частности, тем, что в «беззазорных» шарнирных опорах механизма были установлены специальные подшипники качения повышенной точности, а в опоре с зазором — подшипник скольжения, работаю­ щий без смазки.

Основные выводы, вытекающие из анализа полученного экспе­ риментальным путем материала, могут быть сведены к следующим:

73

R ,R ^ > H

величины зазора и максимальные значения реакции в подшип­ нике связаны между собою монотонно возрастающей зависимостью; силы реакции в подшипнике увеличиваются на участках движе­ ния пальца и обоймы подшипника, где происходят их удары, после

чего следует затухающий колебательный процесс; после удара, как правило, сохраняется г условие замкнутости

кинематической цепи механизма.

В качественном отношении два первых вывода подтверждают данные расчетов, полученные на выбранном виде динамической мо­ дели кривошипно-ползуиного механизма. Последний вывод не опро­ вергает принятую в настоящей работе гипотезу, согласно которой свободное движение элементов кинематической пары в поле зазора может в ряде случаев заканчиваться в условиях неупругого удара.

Выбор точности решения уравнений движения

Вопросу выбора точности интегрирования уравнений движения •были посвящены специальные эксперименты на ЭЦВМ. Делались просчеты различных вариантов с разной точностью интегрирования

74

уравнений движения. Как известно, арифметические операции в вычислительной машине производятся с большой точностью, неза­ висимо от количества вычислений. При интегрировании уравнений движения требуется задать точность, с которой должны вычислять­ ся значения искомых функций на каждом шаге интегрирования. При этом значения текущих координат принимаются в качестве начальных условий интегрирования на следующем шаге, сле­ довательно, даже малая погрешность при вычислении траекто­ рии движения будет со временем накапливаться и может привести к значительным погрешностям в расчетах.

Приемлемая точность интегрирования дифференциальных урав­ нений может быть выбрана путем сравнения результатов решения при разной точности. Получив решение при некоторой заданной точ­ ности Е интегрирования уравнений движения, следует провести по крайней мере еще два расчета с меньшей и большей точностями. Если при повышении точности расчетов траектории движения или иные характеристики динамического процесса на рассматриваемом от­ резке изменения независимого переменного отличаются от этих же характеристик, полученных при расчетах с меньшей точностью не более чем на заданную величину, то точность Е, при которой было получено предыдущее решение, следует принять в качестве нижней границы множества значений точности Е. Если же отклонение пре­ вышает заданную величину, то требуется повышать точность интег­ рирования уравнений движения до тех пор, пока не будет получено приемлемое совпадение двух последующих траекторий движения. Аналогичный поиск следует провести для определения верхней гра­ ницы допустимого множества величин точности.

Полученные результаты расчетов показывают, что при решении уравнений движения механизма в условиях отсутствия сил трения в паре 1—2 приемлемой точностью интегрирования уравнений дви­ жения следует считать точность порядка ІО-4, если требуется про­ вести расчет дополнительного движения в зазоре за время, соответ­ ствующее полному обороту кривошипа. Дальнейшее повышение точ­ ности, не вызывая существенных изменений в траекториях движения и графиках реакции в паре 1—2, значительно увеличивает машинное время решения задачи. Снижение точности до ІО“3, ІО“2 сокращает машинное время, но приводит к существенным изменениям вида графиков и траекторий свободного движения пальца шатуна в поле зазора.

На рис. 21 показаны траектории свободного движения для одно­ го из вариантов расчетов, выполненных с разной точностью. Как вид­ но, траектории движения, рассчитанные с точностью ІО“5, ІО“4 •(рис. 21, а), практически совпадают, траектории же движения, по­ лученные при решении уравнений движения с точностью ІО“3, ІО“2 (рис. 21, б), существенно отличаются (в частности, по углу у более чем на я/2) от изображенных на рис. 21, а, что является след­ ствием накопления погрешностей в процессе интегрирования урав­ нений движения. В результате появляются дополнительные области

75

Рис. 21

Рис. 22

разрыва кинематической цепи механизма, искажаются графики сил реакции в его кинематических парах и т. д. Из изложенного следует, что для подобного рода задач оптимальная точность интегрирования уравнений движения должна иметь порядок ІО-4.

Как показывают расчеты, ошибки невелики при интегрировании уравнений движения с пониженной точностью на начальном участке движения. Поэтому, если требуется получить траектории движения и величины реакции на небольшом отрезке изменения независимого переменного, можно ограничиться заданием точности интегрирова­ ния порядка ІО-2.

Если же нужно получить решение при изменении угла а в боль­ ших пределах, то и точности ІО-4 может оказаться недостаточно. Так, для получения корректного решения при повороте кривошипа до четырех оборотов следует повысить точность решения еще на один порядок. Траектории движения внутри зазора на четвертом оборо­ те кривошипа на рис. 17 получены при решении задачи с точностью КГ5.

На рис. 22 показаны траектории свободного движения пальца шатуна в подшипнике на четвертом обороте кривошипа, получен­ ные при решении задачи с точностью интегрирования уравнений движения ІО“2. Как видно из сравнения рис. 17 и 22, моменты раз­

76

рыва и восстановления кинематической цепи вычисляются с ошиб­ ками порядка 4—7° по углу поворота кривошипа а. Искажаются так­ же и траектории движения; в частности, отсутствует четвертый уча­ сток свободного движения. Также велики ошибки и при вычислении величины реакции.

Однако при вычислениях с пониженной точностью интегриро­ вания уравнений движения получается экономия машинного вре­ мени примерно в пять раз по сравнению с расчетами при точности интегрирования 1СГ5. В ряде случаев, когда требуется получить лишь качественную картину движения механизмов с зазорами, точность интегрирования уравнений движения порядка КГ2 может оказаться приемлемой. При этом следует подчеркнуть, что приведенные выше рассуждения относительно точности интегрирования уравнений движения не относятся к точности выполнения арифметических опе­ раций, производимых вычислительной машиной. Эта точность ос­ тается постоянной, независимо от выбираемой точности решения диф­ ференциальных уравнений.

Влияние отдельных параметров механизма с зазором на его динамику

Были проведены расчеты траекторий дополнительного движения кривошипно-ползунного механизма, изменения величины реакции в паре 1—2, скорости относительного движения элементов данной лары и ошибок положения, скорости и ускорения рассматриваемого механизма при различных соотношениях геометрических парамет­ ров его звеньев, масс шатуна и ползуна при разных скоростях вра­ щения ведущего звена, а также при наличии внешней нагрузки и без нее. При этом отношение длины кривошипа к длине шатуна меня­ лось в пределах от 0,1 до 0,5, отношение масс шатуна и ползуна — от 0,1 до 1,0, угловая скорость вращения кривошипа — от 1 до 10 се/с-1, что соответствует довольно широкому диапазону реально •существующих механизмов. Были проведены расчеты при разных функциональных зависимостях внешней силы F от угла поворота кривошипа а. Путем незначительных переделок в нестандартной части программы можно задать любую функцию F либо в виде не­ которого аналитического выражения, либо таблично. В настоящей работе были запрограммированы следующие три варианта измене­ ния внешней силы:

Выбор одного из них обеспечивался заданием в исходной инфор­ мации определенного числа, модуль силы F также задается в исход' ной информации.

77

На рис. 23, а и б показаны зависимости ошибки положения рас­ сматриваемого механизма ДХ3 и реакции R в паре 1—2, получен­ ные для случая Д = 3 - ІО'5 м и внешней силы F, определяемой вы­ ражением (91) при Q = 1000 н, в условиях, когда Frp = 0 , при уг­ лах поворота а от 0 до 115°. Этот участок изменения угла а при за­ данных параметрах механизма наиболее интересен с точки зрения чередования замкнутого и разомкнутого состояний кинематической

цепи.

На рис. 23, б и 24, а и б приведены соответствующие графики уг­ ловой скорости добавочного движения f в зазоре и ошибок скоростей

ДХ3 и ускорений ДХ3 ведомого звена на том же интервале измене­ ния угла а. Из анализа этих рисунков следует, что если по-прежне­ му движение начинается при нулевых начальных условиях, то ДО’ углов а — 97° величина реакции R в паре кривошип — шатун рас­ сматриваемого механизма с зазором совпадает с соответствующим значением реакции в идеальном механизме. При этом ошибка поло­ жения ведомого звена максимальна и равна величине зазора, угло­ вая скорость движения точки контакта практически равна нулю,.

78

â t j , n/cejf

T. e. относительное движение элементов кинематической пары 1—2 незначительно, характер движения аналогичен движению идеаль­ ного механизма.

Начиная примерно с 99°, точка контакта смещается против ча­ совой стрелки, ошибка положения сначала убывает до нуля, а затем, в момент перехода точки контакта через отрицательную ось х, снова достигает своего минимального значения, равного по абсолютной величине зазору. При этом скорость относительного движения паль­ ца и подшипника резко возрастает, что сопровождается увеличением реакции до значения, почти вдвое превышающего максимальное зна­ чение реакции в идеальном механизме. Затем величина реакции столь же резко уменьшается до нуля и наступает участок свобод­ ного движения падьца шатуна в зазоре, в течение которого кривошип успевает повернуться на угол в 26'.

После восстановления контакта при угле поворота кривошипа а = Ю1°9' продолжается движение против часовой стрелки с возрас­ тающей угловой скоростью. После перехода точки контакта через горизонтальную ось х, сопровождающегося резким увеличением

79

реакции до значения порядка 54000 н, наступает второй участок свободного движения при угле поворота а = 104о54'.

За время второго отрыва кривошип успевает повернуться на угол 25'. Проекции скорости относительного движения элементов кинематической пары 1—2 при восстановлении контакта равны: X =0,034 м/сек; у =0,069 м/сек. После двух участков свободного движения в поле зазора устанавливается безотрывное движение до окончания полного оборота кривошипа. При этом, как следует из рис. 23, в рассматриваемом случае происходит обкатывание обой­ мы кривошипа пальцем шатуна. Угловая скорость обкатывания максимальна при прохождении точки контакта через горизонталь­ ную ось X. Для данного механизма при Frp = 0 максимальное значение угловой скорости у достигает 9000 сек”1. Это обстоятельст­ во следует учитывать при рассмотрении явлений в зазоре, так как скорость добавочного движения нельзя в этом случае Считать ма­ лой величиной.

Значение реакции в кинематической паре с зазором колеблется от максимальных величин, равных 150 000 н при переходе точки контакта через отрицательную ось х, до минимальных величин порядка 100 н при переходе точки контакта через вертикальную ось у. Максимальное значение реакции при переходе точки контак­ та через положительную ось х равно 58000 к. Один полный оборот точки контакта продолжается в среднем около 0,0056 сек, за это время кривошип успевает повернуться на угол 1°36', т. е. шатун совершает колебательные движения со средней частотой около 150 гц и амплитудой, равной величине зазора Д. Это колебательное дви­ жение шатуна накладывается на основное движение. Как показали расчеты, с увеличением зазора А частота этих колебаний падает, а амплитуда растет.

Подобное обкатывание пальцем шатуна поверхности подшипни­ ка кривошипа прекращается при углах поворота а Ä 170°. Даль­ нейшее движение точки контакта элементов пары 1—2 аналогично движению, рассмотренному для варианта F = 0 . Отличие заклю­ чается в том, что в данном случае отсутствуют разрывы кинемати­ ческой цепи при углах поворота а = 2 8 0 —290°.

По-видимому, наибольший интерес с точки зрения динамики рас­ сматриваемого механизма представляет собой исследование допол­ нительного движения в зазоре при наличии внешней силы F , из­ меняющейся в соответствии с формулой (92). Как показано в ряде работ [54, 59], реальные механизмы, нагруженные внешними сила­ ми, работают, как правило, в условиях резкого изменения величины и направления действия указанной силы. Поэтому вполне приемле­ мой может быть аппроксимация внешней силы F .кусочно-постоян­ ной функцией типа (92).

Движение механизма, нагруженного силой F, изменяющейся

50