ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 31.07.2024
Просмотров: 205
Скачиваний: 0
§ =1 |
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ВОЛЬДА |
71 |
|
|
Отметим, что условие (1.10) было положено в основу хорошо известного понятия регулярности, введенного А. Н. Колмогоровым при рассмотрении одномерных стационарных процессов ( d i m/ ? = l ) с дискретным временем *).
§ 2. Представление Вольда и факторизация спектральной плотности
1. |
Группы унитарных операторов, связанных со |
||
стационарным процессом. Стационарный процесс £(£), |
|||
— o o < t < o o , можно представлять себе следующим |
|||
образом: |
в |
гильбертовом пространстве Н (Q задана |
|
группа унитарных операторов |
Е„ — оо < t < оо, и |
||
некоторое |
подпространство Н°, |
«сдвиги» которого |
|
Ht = EtH° порождают все Я(£); совокупность стацио нарно связанных процессов, определенных соотноше ниями {| (t), х} = E tx, — оо < ( < оо, где л- е Н°, будет стационарным процессом рассмотренного ранее вида.
С другой стороны, если заданы стационарно связан ные компоненты {£(0, -v'}> — оо < t < °о (где параметр х е R, а гильбертово пространство R может быть произвольным), то соотношение
£ ,{|(s), x} = {£(s + i), х), — o o < s < o o ; |
x<=R, (2.1) |
|||||
определяет |
в |
Н (Q унитарные операторы |
Е„ |
— оо < |
||
< t < |
оо, которые образуют (непрерывную) группу: |
|||||
|
|
|
EsEt = |
Es+l. |
|
(2.2) |
Взяв |
за |
Я0 |
замыкание |
подпространства |
величин |
|
(|(0), х}, x ^ R , мы получим пару (Е„ Н°) описанного выше типа. (Ранее, в § 1 мы фактически использовали функциональную модель стационарного процесса как
пары (Е „ Н°), рассматривая подпространство H° = fl/ 2R
в функциональном пространстве L2(R), и группу уни тарных операторов Et— операторов умножения на еш .)
Предположим, что стационарный процесс £(/),
— оо < t < оо, удовлетворяет условию (1.10) (или, что
*) А. Н. К о л м о г о р о в, |
Стационарные последовательности |
в гильбертовом пространстве, |
Бюлл. МГУ 2, № 6 (1941), 1—40. |
72 РЕГУЛЯРНЫЕ СТАЦИОНАРНЫЕ ПРОЦЕССЫ [ГЛ. III
то же, его спектральная плотность удовлетворяет
условию (1.9)). |
Как мы знаем, в этом случае семей |
||||||
ство подпространств # ,(|), |
— оо < t < |
оо, изометричио |
|||||
семейству Ut = |
Е] {Rm), — оо < t < оо, |
где Rm — гиль |
|||||
бертово пространство размерности М (М — кратность |
|||||||
обновляющего |
процесса |
для |
£(/), |
— оо < |
t < |
оо, |
|
a Li(R\1) — подпространства в функциональном |
про |
||||||
странстве L2(RM), состоящие из функций u{s), |
— оо < |
||||||
< s < оо, равных |
0 при s > t). |
|
|
|
|
||
Покажем, |
что |
существует |
обновляющий |
процесс |
|||
с некоррелированными приращениями Xt (b) — Xj(a.),
— оо < а, b < оо; |
/ = 1 , . . . . |
М, |
обладающий |
сле |
дующим свойством: |
|
|
|
|
Е ,[Х , (b) - X, (a)] = X,(b + |
t ) ~ Xj (а + t), |
(2.3) |
||
|
— оо < t < |
оо, |
|
|
где Et— унитарные |
операторы |
в |
пространстве |
Н (Q, |
связанные со стационарным процессом l(t) соотноше ниями (2.1). Обновляющий процесс, обладающий ука занным свойством, будем называть стационарно
связанным с процессом £(/), |
— оо < |
t < |
со. |
|||||
Сначала покажем, что группа унитарных операто |
||||||||
ров |
Е„ — о о < ^ < о о , |
изометрична |
группе унитар |
|||||
ных |
операторов |
в |
функциональном |
пространстве |
||||
U — L2(RM), имеющих |
вид |
VtTt, где |
Tt— оператор |
|||||
сдвига: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ttu(s) — u(s — t), |
— оо < |
s < |
оо, |
|
|||
a Vt, — оо < t <, |
оо, |
— некоторая группа |
унитарных |
|||||
операторов в гильбертовом |
пространстве |
RM, дейст |
||||||
вующая в L2(RM) по правилу: |
|
|
|
|||||
|
{V,и) (s ) = |
Vtu (s ), |
— оо < |
s < |
оо. |
|
||
Действительно, если обозначить Qt проекторы в про
странстве |
U на подпространства |
Ut = L2t(RM), — оо < |
||
< t < со, |
то будем иметь |
|
|
|
|
Q t+s= TsQtT7', |
Pl+s = |
EsPtE7', |
(2.4) |
|
— оо < |
s, t < оо |
|
|
§ 2] |
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ВОЛЬДА |
73 |
(ср. с (1.5), (1.6)). Учитывая, что
Pt — XQ,X~l, — оо < t < оо,
где X — некоторый унитарный оператор из U — = L2(Rm) в Я (4), из второго соотношения (2.4) по лучаем
Qt+s = (X -'E sX) Qt {X~lEsX)~l,
что равносильно условию
(x ~ ‘e sx ) Ut = Ut+s.
Очевидно, унитарный оператор (X ~lEsX) |
T-S = |
VS об |
|||||||
ладает |
тем свойством, что |
|
|
|
|
||||
|
|
|
VsUt — U„ |
— o o < t < o o , |
|
(2.5) |
|||
а как |
мы |
знаем, |
этим |
свойством |
обладают |
лишь |
|||
«операторы |
умножения» |
на унитарный множитель |
|||||||
(в гильбертовом пространстве RM)\ см. формулу (2.21) |
|||||||||
на стр. |
55. В итоге получаем, что |
|
|
|
|||||
|
|
X ~lEsX - |
VSTS, |
— оо < t < оо. |
|
||||
Очевидно, для любых s', s" операторы W |
и 7> |
||||||||
перестановочны. |
ортонормированный |
базис jc,, ... |
|||||||
Возьмем |
теперь |
||||||||
. . . , |
хм в гильбертовом пространстве RM и рассмот |
||||||||
рим |
функции интервала |
А = |
[а, Ь) |
со |
значениями |
||||
в функциональном пространстве U = |
L2(RM), опреде |
||||||||
ленные следующим образом: |
|
|
|
|
|||||
|
{xbj — x°){t) = |
Vtxr %L\{t), |
— оо < |
t < °о, |
(2.6) |
||||
где %A{t) обозначает индикатор интервала Д = [а, Ь):
Хд (*) = |
1 |
при |
feA , хд (0 = |
0 |
при ^ Д . |
Очевидно, |
V JsW |
~ |
xi) = |
Уs [Vt-sxi ‘ Хд (t - |
s)] = |
|
|
|
|
|
= V |
r |
W ' ) = |
A1+S- - V/+S. |
Очевидно также, что «приращения» x b — Xе!', хЬ — хЬ
ортогональны в L2(RM), если |
интервалы A1= [ai,6i), |
До = [а2, Ь) не пересекаются, |
а при различных / они |
74 РЕГУЛЯРНЫЕ СТАЦИОНАРНЫЕ ПРОЦЕССЫ [ГЛ. III
ортогональны для любых Д, и Д2, поскольку при различных / ортогональны в RM элементы 1/,х }.
Кроме того, |
поскольку при любом s |
элементы Vsxt, |
||
j — 1.........М, |
образуют ортонормированную систему |
|||
в гильбертовом пространстве L'Z(RM), функции' |
||||
|
x'i — х° = |
v sxi ■ 7д (s). |
|
|
— оо < S < оо, Д = [a, b), |
— ОО< а; b < |
/ = 1, . .., М, |
||
порождают |
все подпространство |
Ut = |
L2i (Rm'). Поло |
|
жим |
|
|
|
|
х , (b) - |
Xj (а) = X [х) - xf), |
j = |
1.........М, (2.7) |
|
где, напомним, X есть |
унитарный оператор из U = |
|||
= L 2(RM) в // (|), удовлетворяющий условию XUt=H ,(Q ,
— оо < t < оо. Ясно, что определенный выше процесс с некоррелированными приращениями {X j(b)~ А'Да)}')1,
— оо < ц; Ь < оо, |
является обновляющим |
процессом |
||||
для £(/), |
— оо < |
/ < |
оо. При этом |
|
|
|
Е,[Х1(Ь )-Х 1Щ = Е1Х (х>-х') = |
|
|
||||
|
= Ц v, т, И — jfl] = х ( х **'— .1-;.) = |
|
||||
|
|
|
= |
X j {b + t) — Xj (a -f-1), |
||
так как по определению оператора |
Vt |
|
||||
а кроме того, |
х - 'Е .х = V,T„ |
|
|
|||
|
|
|
|
|
||
\\Х1(Ь) — Х 1(а)\? = Ь — а, |
/ = 1 , . . . , М . (2.8) |
|||||
Таким |
образом, |
построенный |
нами |
обновляю |
||
щий процесс со «стохастическим дифференциалом» {dXj{t))f является стационарно связанным со ста
ционарным процессом £(/), — оо < |
/ < оо |
*). |
|
|||
*) Другой метод построения обновляющего |
процесса был |
|||||
предложен Ханнером в одномерном случае, |
dim R = I |
(О. Н а п- |
||||
ne г, |
Deterministic |
and non-deterministic stationary random |
||||
processes, Arkiv |
for Matematik 1, 41 (1950), |
161 — 177. См. также |
||||
G. К a I 1i a n p u г, |
V. M a n d r e k a r, Multiplicity and |
represen |
||||
tation theory of purely non-deterministic |
stochastic |
processes, |
||||
Теория |
вероят. |
и |
ее примем. X, 4 (1965), |
614 — 644, где метод |
||
Ханнера применяется к многомерным процессам). |
|
|
||||
§ 21 |
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ВОЛЬДА |
75 |
|
|
Т е о р е м а . |
Имеет |
место следующее канониче |
||||||||
ское |
представление-, |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
t |
м |
|
|
|
|
|
|
|
|
{КО, |
-v-}= I" |
S |
ci (s — f) dX] (s). |
- o o < t < o o . |
(2.9) |
|||||
|
—COj = I |
|
|
|
|
|
|
|
||
(Обычно его называют представлением Вольда.) |
|
|||||||||
Действительно, величину |
(ё (0), |
х} е Н0(£) можно |
||||||||
представить |
в |
виде |
|
^ |
^ |
|
|
|
|
|
|
|
{£ (0), х } |
= |
f |
V |
C/(s) |
^ |
( c), |
|
|
где |
|
|
о |
м |
— 00 /=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
I |
V | |
с . (s) [-(is < СЮ |
(2.10) |
||||
|
|
|
— СО/а=1 |
|
|
|
|
|
|
|
(см. |
формулу |
(1.8) |
гл. |
I), и |
в случае обновляющего |
|||||
процесса, который стационарно связан с процессом l(t), имеем
{ё 00, х) = Е, {ё (0), л-} =
о м |
t |
м |
= J V C/(S) dX'is + t ) - |
J |
t)dX,(s). |
—CO/=1 |
—oo /=1 |
|
2. Факторизация спектральной плотности. Как мы знаем, стационарный процесс со спектральной плот ностью /(X) регулярен тогда и только тогда, когда выполнено условие (1.9), а именно,
П I V |
|
1 - |
0. |
|
|
t |
l.j<< |
|
J |
|
|
Докажем следующее предложение *). |
|
||||
*) По-видимому, |
впервые |
это |
предложение |
появилось для |
|
случая дискретного |
времени |
в |
статье |
Ю. А. |
Р о з а н о в а , |
Спектральная теория многомерных стационарных случайных про
цессов |
с дискретным временем, Успехи матем. наук XIII, 2 (80), |
|||||||
(1958). |
Одновременно для |
н е в ы р о ж д е н н о й спектральной |
||||||
плотности |
проблема |
факторизации рассматривалась |
в работах |
|||||
Винера |
и Мазани, а также |
Хелсона п Лоуденслегера |
(N. W i е- |
|||||
пег, |
Р. |
M a s a n i , |
The |
prediction theory of multivariate stoc |
||||
hastic |
processes. II, Acta |
Alatli. 99 (1958); H. H e 1s о n, |
D. Low- |
|||||
den |
s I a g e r, |
Prediction |
|
theory and Fourier series |
in several |
|||
variables, |
Acta |
Math. 99 |
(1958)). |
|
||||