ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 31.07.2024
Просмотров: 178
Скачиваний: 0
УСЛОВИЯ РЕГУЛЯРНОСТИ |
99 |
лярен и должно быть выполнено условие
оо |
|
|
|
|
|
|
|
| М |
М |
1 |
й > |
_ |
|
|
|
в частности, х{Х )ф О |
п. в. |
Если |
|
же взять строго по |
|||
ложительные (постоянные) операторы Р и Q в R та |
|||||||
кие, что Q !> P и Qxn-^-xйф § , |
Рхп-^ 0 для |
некото |
|||||
рой последовательности хпе R, взять скалярную |
|||||||
функцию 0 (Я.) класса |
Н ] [}Н2, |
|
|0(Я) < !1 , |
то |
ока |
||
жется, что операторная функция |
fK= 0(Я)|2Р2 |
регу |
|||||
лярна, /ь = Фя -Ф1, ф л = |
0(Я)Р, |
а |
функция gx: |
|
|||
( | 0 (Я) |2Q2 при | Я | > 1,
хотя и мажорирует fK, не будет регулярной, поскольку
|
|
|
0 |
при | Я| ^ |
1, |
|
|
|
|
| 0 (Я) | x'o при | Я | > |
1. |
||
Уточним, |
что этот контрпример существенно б е с к о |
|||||
н е ч н о м е р н ы й . В качестве Р и Q можно взять сле |
||||||
дующие операторы: Q — положительный невырожден |
||||||
ный оператор, для которого |
QR ф R, a |
P = QjtQ, |
||||
где |
л; — оператор |
проектирования на |
ортогональное |
|||
дополнение к элементу jc0 |
х0ф QR *). |
|
||||
|
Имея |
в виду |
условия регулярности (4.3) — (4.4), |
|||
заметим, |
что для |
определенных выше |
плотностей fл |
|||
и |
I я I > |
1, g I 'l \ R = Q -1(QnQ) R = |
я R ^ g f R = R , |
|||
и это указывает на невозможность подобрать опе
раторную |
функцию ^ е Я ’ П Н2, удовлетворяющую |
|
условиям |
(4.3) одновременно в отношении |
и gK |
(как это было сделано выше при доказательстве нашей теоремы сравнения).
*) См. R. G. D o u g l a s , On |
factoring |
positive operator |
functions, J. Math, Mech. 16(1966), |
119 — 126. |
|
4* |
|
|
Г Л А В А IV
ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
§ 1. Понятие эквивалентности. Вероятностная интерпретация в случае гауссовских распределений
Пусть K 0 = {K0> |
-V).vefi 11 Л(0 = |
{л (4 x}xeR — два |
||||
случайных |
процесса |
на |
интервале |
t0 < t < |
Т, где па |
|
раметр |
х |
пробегает |
некоторое множество |
R. Имея |
||
в виду |
вопрос о том, |
при каких условиях их обно |
||||
вляющие процессы будут одного и того же типа, рассмотрим отображение
А: {г](/), |
*}-> {!(/), 4> -v etf; ta < i < T . |
(1.1) |
||||
Будем говорить, |
что |
процесс |
КО = |
{К0> |
-'-'};се=/г |
|
эквивалентен |
процессу r\(t) = {r\{t), |
x}XIBR |
на |
интер |
||
вале t0 < t < T , если |
это |
отображение продолжается |
||||
до линейного ограниченного обратимого оператора А
из гильбертова пространства Н (т]) |
в гильбертово |
|||||||
пространство |
Я (|) и, |
кроме |
того, |
если |
разность |
|||
/ — А'А будет |
оператором |
Гильберта — Шмидта (на |
||||||
помним, |
что Н (г|) и Я (%) — замкнутые линейные обо |
|||||||
лочки соответствующих |
значений {г)(0> х} 11 (КО. |
|||||||
j c g K; |
t0< t < Т ). |
|
|
|
|
|
||
Как было предложено ранее (см. § 2 гл. II), при |
||||||||
условии, |
что |
А — о г р а н и ч е н н ы й |
линейный опе |
|||||
ратор, |
вместо |
исходных процессов |
КО и "КО. |
|||||
< t < |
Т, |
можно рассмотреть |
обобщенный |
процесс |
||||
|
|
|
К и) = Аи, |
и е U, |
|
( 1 . 2 ) |
||
« И |
|
|
ПОНЯТИЕ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ |
|
|
|
101 |
|||||
на |
гильбертовом |
пространстве U — Н (г|), |
в |
котором |
||||||||
выделено |
семейство |
подпространств |
Ut = |
Ht (r|), t0 < |
||||||||
< t < T . |
Именно, вопрос |
об однотипности |
обновля |
|||||||||
ющих |
процессов |
для | (t) |
и |
r| (t) (на интервале t0 < |
||||||||
< t |
< |
Т) есть, по существу, вопрос о том, при каких |
||||||||||
условиях |
семейство |
подпространств |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
Ht($) = |
AHt(r\), |
tQ< t < T , |
|
|
(1.3) |
||||
будет изометрично семейству |
|
t0 < t < T : |
||||||||||
|
|
|
H,(Z) = |
XHt(rd, |
tQ< t < T , |
|
|
|
(1.4) |
|||
для |
некоторого |
и з о м е т р и ч е с к о г о |
оператора X. |
|||||||||
Было |
доказано |
(см. |
теорему |
§ 3 |
гл. |
II), |
что если |
|||||
корреляционный |
оператор |
В — А*А является |
обрати |
|||||||||
мым |
и, кроме того, |
разность |
/ — В является |
опера |
||||||||
тором |
Гильберта — Шмидта, то рассматриваемые се |
|||||||||||
мейства |
Ht(l) и |
Н/{ц), t0< t < T , |
будут изометрич- |
|||||||||
ными, |
а следовательно, обновляющие процессы для |
|||||||||||
исходных случайных |
процессов l{t) |
и i](0, |
t0< t < T , |
|||||||||
будут одного и того же типа. Таким образом, экви
валентные процессы %(t) и |
т)(/), |
t0 < t < T , |
имеют |
|
обновляющие процессы одного и того же типа. |
||||
Отметим, что |
поскольку |
А = |
ХВ112, где |
X — уни |
тарный оператор, |
и |
|
|
|
/ — (Л-')*(Л-') = / — Х В Х -' =
|
|
|
= X (/ — В) X ~l = X (/ - А'А) Х~' > |
||
то в |
случае, |
когда |
разность |
/ — А*А является опера |
|
тором Гильберта — Шмидта, |
оператором такого же |
||||
типа |
будет |
и разность / — (Л_1)*Л _ |. Таким |
обра |
||
зом, |
определение |
эквивалентности g {t) ~ ц (/) |
явля |
||
ется симметричным. Легко видеть, что оно также транзитивно и, конечно, рефлексивно.
Введенное выше условие эквивалентности хорошо
известно |
для г а у с с о в с к и х |
случайных процессов |
|
l(t) и ц {t), t0< t < T , когда |
оно |
означает эквива |
|
лентность |
(взаимную абсолютную |
непрерывность) их |
|
102 ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ [ГЛ. IV
распределений вероятностей Pi и Р^ в том или ином функциональном пространстве *).
В связи с этим стоит сказать, что рассматривае мый нами вопрос о структуре обновляющих процес сов касается лишь тех свойств случайных процессов, которые целиком определяются их вторыми момен тами (корреляционной функцией), так что можно было бы, не ограничивая общности, считать эти про цессы гауссовскими.
Итак, имеет место следующее предложение.
Т е о р е м а . Эквивалентные случайные процессы имеют обновляющие процессы, одного и того же типа.
§2, Эквивалентность стационарных процессов
1.Постановка вопроса. Операторы Гильберта—
Шмидта в функциональном пространстве
Пусть £(() = {|(0 . -v}veR — стационарный процесс с ком
понентами {£((), .v}, ,i g R (R — параметрическое гиль бертово пространство), который мы рассмотрим на некотором интервале i0< ( < Т.
Обозначим fK его спектральную плотность. На помним, что /у — положительная операторная функция в гильбертовом пространстве R такая, что при всех
х, у ^ R
со
Е{£(0, |
|
|
J е'К'-'Ч/**, y)d%. |
||
|
|
|
|
оо |
|
Наряду |
со |
спектральной |
плотностью |
мы будем |
|
использовать |
и другую |
характеристику |
стационар |
||
*) Это условие эквивалентности гауссовских распределений |
|||||
было предложено Фелдманом |
(J. F e l d m a n , Equivalence and |
||||
perpendicularity |
of Gaussian processes, Pacif. J. Math. 8(1958), |
||||
699—708). |
Подробное изложение разных вопросов, связанных |
||||
с эквивалентностью гауссовских распределений, |
имеется в мо |
||||
нографии |
10. |
А. |
Р о з а н о в а, Гауссовские бесконечномерные |
||
распределения, |
Труды МИАН |
108, (1968). |
|
||
§ 21 ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ СТАЦИОНАРНЫХ ПРОЦЕССОВ 103
ного процесса |
£(/)— его корреляционную функцию |
|
со |
B i( t ) = |
f eillfx dX, — оо<^<оо, |
являющуюся (слабым) преобразованием Фурье (слабо) интегрируемой операторной функции fK, — °о < Я< оо.
Пусть ц (/) = (г) (t), x)V(=R— другой стационарный процесс со спектральной плотностью gx и корреля
ционной функцией B,j(t) в параметрическом гильбер товом пространстве R. Спрашивается, при каких условиях на спектральные плотности fx и gx (или
на |
корреляционные |
функции B${t) и Bn(t)) процессы |
|
l(t) |
и |
т)(/) будут |
эквивалентными на интервале |
i0 < |
t < |
Г? |
|
Имея в виду изометрию
T,(/)W ' « g f
(см. § 1 гл. III), рассмотрим в гильбертовом про странстве L2(R) подпространства Н (f). и Н (g), ка ждое из которых есть замыкание соответствующих линейных подпространств всех функций вида }Ц2х (Я)
и g]l2x(X), где
х(Я) = 2 |
eMkXk, |
— оо < Я< оо; |
(2.1) |
||
именно, |
|
|
|
|
|
H (f)= |
V |
H(g) = |
V |
e ^ g f R . |
(2.2) |
t „ < t < T |
|
t „ < t < T |
|
||
Эквивалентность процессов £ (/) и |
r|(£) на интервале |
||||
t0< t < T |
означает, |
что отображение |
|
||
|
Л: |
g\[2x (Я) —>Щ 2х (Я) |
(2.3) |
||
есть |
линейный |
ограниченный |
обратимый оператор |
из |
гильбертова |
пространства |
Н (g) в гильбертово |
