ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 31.07.2024
Просмотров: 196
Скачиваний: 0
30 |
|
ОБНОВЛЯЮЩИЕ ПРОЦЕССЫ |
[ГЛ. I |
|
и |
в |
случае линейно независимых значений |
£; (0, |
|
г = |
1, |
т , имеется некоторый интервал |
|
|
такой, что величины |
|
|
||
|
|
Л^ (*^) == ^ sh (0* ^ |
1) • • • > |
|
образуют |
базис в линейной оболочке значений h (s), |
||||
i = 1, |
in. |
Поэтому |
ортогональное |
дополнение |
|
Ht&) Q HtAl) |
к подпространству Я ;,(|) |
в |
простран |
||
стве Я,(£), порождаемое всеми величинами |
|
||||
li(s) — Ptlli(s), |
г = 1, |
. . . . |
т , |
||
совпадает с замкнутой линейной оболочкой величин Л; (s) — Л/ (0 = Лг ( s ) ~ Pt^t (s).
Случайный процесс ц (s) = {ц,- (s)}"\ ^ s ^ t, является
процессом с некоррелированными приращениями и обладает тем свойством, что
№ 0 |
Я „ (I) = Я 5з (п) © |
я 5, (т,) |
(3.2) |
при любых |
и в этом |
смысле является |
|
о б н о в л я ю щ и м |
процессом для |
| (s) = |
{|,- (s)}"1, |
(Можно затем перейти к обновляющему процессу с некоррелированными компонентами и упорядоченными структурными типами, как это сде лано в примере на стр. 22.)
Простейшим примером марковского в широком смысле процесса может служить многомерный про
цесс I (t) = {£( (/))!”, t > tQ, удовлетворяющий системе
стохастических дифференциальных, уравнений вида
т
d £ i{t)= 2 Лг/(0 1 /(0 ^ + *1г(0> |
i = |
in, (3.3) |
/ = i
или, в матричной форме,
£$(/)= л(ОКО Л + *1(0.
где A{i) = {Atj(t)} — непрерывная матричная функция
(неслучайная), а л (0 = (Лг (0)Г> |
— процесс с не |
коррелированными приращениями. |
|
5 3] НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕРЫ ОБНОВЛЯЮЩИХ ПРОЦЕССОВ |
31 |
|
Решение системы (3.3) при заданных начальных |
|||||||||||
значениях | |
(/0) = |
{£г (to)}", |
точнее, |
решение интеграль |
||||||||
ного уравнения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I ( 0 |
= |
I (/о) + |
J А (s) I (s) ds + |
[Г)(/) - |
Т) (/о)], t > |
t0. (3.30 |
||||||
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
может |
быть представлено |
в виде |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
№ |
= R (t, to) |
l (to) + |
J R (t, |
S) dr] (s), |
(3.4) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
t„ |
|
|
|
|
где |
m X m-матричная |
функция |
R(t, s) — {RiJ (t, |
s)}, |
||||||||
t ^ s , — так |
называемая |
р е з о л ь в е н т а — есть |
ре |
|||||||||
шение обыкновенного |
|
дифференциального уравнения |
||||||||||
|
|
|
dR (t, |
s) |
A(t)R(t, s), |
|
t > s, |
|
|
|||
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с начальным условием матрица). Действительно,
имеем
t
R(t, s) — I-f [ s
R(s, |
s) — I (/ — единичная |
по |
самому определению |
A(u)R(u, s)du
И |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J R (t, |
|
t Г |
|
t |
|
|
|
|
|
s) rfi] (s) = |
J |
/ |
+ J A (u) R (u, |
s) du |
dr] (s) = |
||||
tti |
|
fa |
|
S |
|
|
|
|
|
= [л (0 —Л (to)] + |
|
t Г t |
|
|
|
|
|||
| |
J A (u) R (u, |
s) du |
dr] (s) = |
||||||
|
|
|
^0 |
S |
j |
t |
Г и |
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
= h (t) — Л Vo)] + |
A (u) |
J R(u, |
s) dr\ (s) du. |
|||||
Видно, |
что |
|
|
|
|
|
^0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
!(/) |
= { |
R(t, |
s) dr](S), |
t ^ t 0, |
|
|||
32 ОБНОВЛЯЮЩИЕ ПРОЦЕССЫ [ГЛ. I
есть решение интегрального уравнения (3.3') с на
чальным |
значением |
|(/0) = О; |
разность |
же |
x(t) = |
|||||||||
= 1 ( 0 — l{t), |
t > t 0, |
как решение однородного |
диф |
|||||||||||
ференциального |
уравнения |
dx (t)/dt = А (/) х {t) |
с на |
|||||||||||
чальным условием х (/0) = 1 |
(0 ) имеет вид |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
x(t) = |
R(t, tQ)l(t0). |
|
|
|
|
||||||
Предположим, что приращения г|г (t)—г)г (s), |
s, |
/ ^ / 0; |
||||||||||||
г == 1 , .. ., in, |
н е к о р р е л и р о в а н ы с начальными |
|||||||||||||
значениями 1У(/0), / = |
|
1, . .., |
т . |
Тогда, если переопреде |
||||||||||
лить процесс 1] (/) = {т|,- (О}',", t < |
t0, точнее, рассматривая |
|||||||||||||
вместо первоначального |
процесса г)(0 , |
I < |
to, |
процесс |
||||||||||
с некоррелированными |
приращениями |
г|(0 — il(0 ) + |
||||||||||||
-фКО), можно (не меняя обозначений) считать |
|
|||||||||||||
|
Л; (0) = |
£; (0). |
|
|
|
|
|
|
|
(3.5) |
||||
и переписать |
выражение (3.4) в |
|
виде |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
(0 |
= |
J |
R(t, s)dp(s). |
|
|
|
(3.6) |
||||
|
|
|
|
|
*0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Очевидно, |
подпространства |
Н ,{г|) |
порождаются |
|||||||||||
значениями |
1 ,-(0 ) |
и |
приращениями |
rp (s)— т)г (tQ), |
||||||||||
/ 0 < |
Используя тот факт, |
что резольвента R{t, s) |
||||||||||||
удовлетворяет условию |
|
|
h, t) ■ R (t, s) |
|
|
|
||||||||
|
R(t + |
h, s) = |
R{t + |
|
|
|
||||||||
при всех |
t ^ s и /г^О , |
из |
формулы (3.6) |
получаем, |
||||||||||
что |
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R[t + h, t) l it) = |
J Rit + |
h, t) R it, |
s) dri is) = |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
J R{t + |
h, s) dц is) |
|||
H t-\r h) — |
R it + |
h, |
t) l it) = |
J |
R it + |
h, |
s) dr\ (s). |
|||||||
Видно, что разности |
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
h it + |
|
m |
R ti it + |
|
t) 1, it), |
|
1, |
. .. , |
|
|||||
h) - |
2 |
h, |
i = |
m, |
||||||||||
|
|
/=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§ 3] НЕКОТОРЫЕ "ПРИМЕРЫ ОБНОВЛЯЮЩИХ ПРОЦЕССОВ |
33 |
ортогональны |
подпространству |
//,(£)> |
т. е. величины |
|||||
т |
|
|
|
t |
т |
|
|
|
У) R i i |
(/'+ |
h, i) ls (t) = |
J |
У) Rit (t + |
h, s) dx\j (s) |
|||
M |
|
|
|
<=■ /=■ |
|
h), i = |
1 ,. . m, |
|
являются проекциями значении h (l + |
||||||||
на подпространства |
Ht(£) s H, (ц). |
|
|
|||||
Таким |
образом, |
процесс |
| (/) — {h (/)}"'» t^ to , |
|||||
является м а р к о в с к и м |
в широком |
смысле, а фор |
||||||
мула (3.6) |
дает нам |
его |
к а н о н и ч е с к о е |
предста |
||||
вление с помощью описанного выше (см. (3.5)) про
цесса Л (0 = |
{11г (0 )| . t > t 0, |
с |
некоррелированными |
||||||
приращениями. |
|
|
|
|
|
|
|||
Очевидно, |
Я ,(т])е |
Я ,(|) |
(см. (3.3')), |
т. е. этот про. |
|||||
цесс является |
о б н о в л я ю щ и м |
для |
%(/.) — {£,• (t)}™, |
||||||
t ^ t 0, а именно, |
|
|
|
|
|
|
|||
при всех |
|
|
я ,Ш = я,(л) |
|
|
|
|||
t ^ t 0. |
|
|
|
|
|
|
|||
2. Стационарные процессы. Рассмотрим стацио |
|||||||||
нарный |
в |
широком |
смысле |
процесс |
| (() = |
(t)}™, |
|||
— оо < / < |
оо, |
т. е. такой, |
что корреляционные функ |
||||||
ции Bkj (t, s) = |
Egfc (t) |
(s) |
зависят |
лишь от разности |
|||||
t — s: |
|
|
|
|
|
k ,j = 1.........m. |
|
||
Bk,(t, s) = Bkl(t — s), |
|
||||||||
Стационарный процесс|(/) = |
{£<(*)}", |
— °° < t < |
oo, |
||||||
называют регулярным, если |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
П Я Д |) = |
0. |
|
|
(3.7) |
||
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
Как известно :i!), регулярный процесс имеет спек тральную плотность /(Я) = (/Й/(Я)); это положительно определенная, матричная функция от А,, — оо < Я < оо, компоненты /^(Я) которой связаны .с корреляцион ными функциями соотношением
|
|
оо |
|
|
|
Bkj{t) = |
J eaifkj(X)dlj, k, j = |
Г, . . . . m. |
|
*) |
См'., например, |
Ю. А. Р о з а н о в , |
Стационарные слу |
|
чайные |
процессы, |
АЛ., |
Физматгиз, 1963. - |
|
2 Ю. А. Розанов
34 ОБНОВЛЯЮЩИЕ ПРОЦЕССЫ [ГЛ. 1
Более того, условие (3.7) равносильно тому, что спектральная плотность /(Я) почти всюду имеет один
и тот же ранг п ^ т |
и представима |
в виде |
|
f М = |
Ф М • Ф М * п. |
в., |
(3.8) |
где т X «-матричная функция ф(Я) = {ф*/ (Я)} удовле творяет условиям
оо |
|
|
I II ф (Я) |\2dX < |
оо, |
|
“Г |
|
(3.9) |
| еш ф (Я) dX = |
0 |
при t < О, |
—ОО
аф (Я)‘ обозначает матрицу, сопряженную к ф (Я).
Обозначим Н2 класс всех матричных функций Ф(Я), удовлетворяющих условиям (3.9). Преобразо вание Фурье
со
C{t) = ^ \ |
elMy (l)d l |
(3.10) |
—00 |
|
|
функций из Н2 обращается |
в 0 при / < 0 |
и |
оо
Ф (Я) = [ е~ш с (t) dt o'
аналитически продолжается в нижнюю полуплоскость 1 т Я < 0 комплексного переменного Я.
Отправляясь от спектрального представления
оо |
|
|
|
U (t )= | е ш ЙФИЯ), |
/2 = |
1 , . . . , т , |
(3.11) |
— ОО |
|
|
|
где Ф(Я) = {ФА(Я)}™, — о о < Я < о о , |
— процесс |
с не |
|
коррелированными приращениями, такой, что |
|
||
р |
|
|
|
Е Ф *(ц )Ф /(ц )= |/*/(Я )й Я , |
k , j = l , . . . , m , |
||