Файл: Постникова Л.П. Тауберова теория с приложениями к аналитической теории чисел учеб. пособие.pdf

\ u k r l U ) -

u M ± £ l ~ 7

l - ) T -

Это неравенство

показывает,

что ряд

Il-с

СО, 1 1

сходится равномерно и абсолютно на отрезке

, т . е . мы име­

ем равномерно

на [О,

Т]

lim

UnU)

= U H).

Переходя в

а-г

со

соотношепии

с»

ИаЛе)=1(і)і-іип(і-*)*(і)с{і

(2)

с

IL И)

к пределу

при /1. га,

видим,

что функция

удовлетворяет

уравнению ( I ) .

Ll(i)

на отрезке Г. С, Т] .

.Заметим,

что функция

ограничена

Докажем единственность решения. Пусть îrH)

другое решение

уравнения

( I ) . Мы имеем

,

ii(t)-

fUy-litLW-VUWt-qdi.

•

Откуда

'с

t

\ll(t)

- Г(і)\

é

с\\іШ)-Ѵ(і)\сіі

•

Положим

Очевидно,

.-t'(t)

& О И

l i t )

£ С J

£(i)di

(4)

Обозначим

через

:ІІ{~/!'СІ

максимум фунмции

£(4)

на отрезке

[ С , 1/£С

}

пусть это значение

достигается при і

= f- .

Из (4) следует

f

"о

л

Неравенство

M

(g?)

^

тЛіітгс)

может иметь

место только

если

,

.

. ,

і

Итак,

^

О

на

/ О, */о

С J , Неравенство

(4) мокло

теперь написать в

виде

S l

Обозначив

>ізрез

Si ( Vû)

максимум функции

на

отрезке

[УаС

\/С

]>

повторим рассуждения и получим,

что

на ІО,Т]

, т . е .

- ѴЩ.

иШ

Теорема

доказана.

ления.

.

0 и

¥(4) ^

С на отрезке C&j Т] ,

Лемма

I . Если /

то н решение

уравнения

( I )

Щі)

обладал1

свойством, что

UU)

= Urn-

it M

•

.Цемма 2. Пуота»

Ч'Ц} непрерылнаа фуніщи... Ьчатг.

урарягизд

ІП'і)

= 1 + j

ii'J

-*)'•{:г.

,

( ь ,

iL

[ и * а - 4 ) * ( Ы і .

(6' )

ности функции 4.L-S)

. Для всякого

П. = 0 , 1 , 2 , . . .

Заметим, что

и далее

t

U'fh.i-t)--ила)Ч'(і)

+ J u,i

C i - i )

4d)cLi

t

• ^'.\) ï J

u'Ji

-s)чШ*

-•:

u^d).

Сравним ряда

Os

il (t) = Ii, Li) + У {ütl.rLLi)

-

U/L

И))

и

"" L

Il -i

Мы видам, что

второй

ряд получается почленным

дифференцированием

первого. Кроме

того,

второй ряд равномерно сходится. По теореме

о дифференцировании

рядов

мы заключаем,

что

Ц. (I) является диф­

ференцируемой

функцией

и

Леша

доказана.

Мы будем

заниматься

вопросом об асимптотическом

поведении

рѳшвняЗ уравнения

г

ü(i)

= 1 + yil(t-i)4(S)cLi

(5)

при i

о* ,

Докажем одну

из

простейших

теорем, относящихся к

этому

вопросу.

^(1)

Теорема.

Пусть

непрерывная

и неотрицательная на

положительной

полупрямой функция,

такая

что

J

я:и)dt

-

<:

(7)

ь

о

J

t ' Ш ' й ' г

= / / 1 ,

^ J

(8)

Обозначим через

II (t/

решение

уравнения восстановления

(5).

Пра

7 - * о*

имеет

место асимптотическое

соотношение

# 7 ' і Л - 777) г j

; ; v , V u

(s)