Файл: Постникова Л.П. Тауберова теория с приложениями к аналитической теории чисел учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 01.08.2024
Просмотров: 81
Скачиваний: 0
ß . |
= |
I f(u)tos |
)n-ii(^Lirri--0,i>... |
( I )
л.
-X
и сопоставим отой функции ряд
называемый |
её рядом Зурье. Обратим виншіше |
на то, что в (fop- |
|||||||||||||
муле мы пишем не знак |
равенства, |
а |
знак |
^ѵ* |
"соответствует". |
||||||||||
Пока что мы тлеем |
право писать знак |
равенства лишь для три |
|||||||||||||
гонометрических |
полиномов. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Вспомним |
некоторые сведения |
из теории |
рядов фуръе. |
|
||||||||||
|
Конечно, |
хочется |
сразу"охватить онка |
за рога", т . е . сра |
|||||||||||
зу жо задаться |
вопросом, в каких |
случаях рад Фурье "работает" |
|||||||||||||
ѵ . е . представляет функцию |
-j- (х) |
. По мы пойдём другим |
околь |
||||||||||||
ным путём. Сначала |
обратіш |
внимание |
на последовательность |
коэф |
|||||||||||
фициентов Фурье функции |
-fjx) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
а |
п |
= |
é |
J |
|
mil du^zQifa. |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
a. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Эта |
последовательность |
- существеннейшая характеристика |
функ- |
||||||||||||
ции |
-fi(X) |
. Уже после ознакомлен: г с коэффициентами |
^урье |
||||||||||||
мы поставим |
вопрос |
о том, как "работает" ряд Фурье. Ііішш сло |
|||||||||||||
вами, мы будем действовать |
в соответствии |
с |
установившейся |
||||||||||||
кадровой |
практике;'!: сначала |
знакомятся |
с хдх>актериотикой че |
||||||||||||
ловека, |
а уке |
потом нрншімают на работу. Но это, конечно, |
|
||||||||||||
шутка. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Основное свойство коэффициентов 4урье дается следующей |
||||||||||||||
теоремой |
Римапа. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Теорема. Коэффициенты |
Фурье |
абсо.татно |
интегрируемой по |
|||||||||||
Рима ну функции |
-f-(X) |
стремятся |
к нулю при |
/71-*- о о |
. Ины |
||||||||||
ми словами, |
если |
|
f(x) |
абсолютно |
интегрируеілая по Риману |
|
|||||||||
фуикцпп, _то при |
|
гп |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Эта теорема давалась |
вам на лекциях |
по математическому ана |
|||||||
лизу. Она содержится во всех учебниках, |
например, |
в учебнике Г.М. |
|||||||
Фихтенгольца |
"Курс дифференциального н интегрального исчисления" |
||||||||
т . I I I , |
1949, |
стр.5І&-52І. |
Советую Вам посмотреть |
доказательство |
|||||
этой теоремн, поскольку л не буду |
на нём останавливаться. Я огра |
||||||||
ничусь |
лишь |
указанием на то, что эта теорема имеет |
наглядный гео |
||||||
метрический |
смысл. |
|
|
|
|
|
|
|
|
График фушелли |
U/1 піх |
имеет |
вид: мы видим, |
что чем |
|||||
|
|
|
|
больше |
'ti , |
тем больше час |
|||
|
|
|
|
тота |
колебаний |
при сохране |
|||
|
|
|
|
нии амплитуды колебаний ; ана |
|||||
|
|
|
|
логичным свойством обладает и |
|||||
|
|
|
|
график |
функции |
ц - coi m х . |
|||
|
|
|
|
Пусть |
имеется |
задаіпюя на |
|||
|
|
|
|
кТ-.'Т, Л] |
Функция |
-f(x) |
|||
|
|
|
|
"достаточно |
хорошая", смысл |
||||
|
|
|
|
этого |
выражения не |
будем рас |
|||
|
|
|
|
шифровывать. Умножим её на |
|||||
Віс.
Ірафик функции fix)
|
|
А |
ох |
Рис. |
2 |
причём чем больше Ш |
||
|
f(x) |
cc'iiiix'dx |
сеч ііі-Х |
или |
на |
-хп/пх |
г |
т . е . рассмотрим |
функции |
|
||
{(X)CrttiU |
и -f-(x) |
u/i/пх |
. |
|
при этом преобразится. Выражаясь не сколько вольно, охарактеризуем график этих функций как график исходной функции і/ - /-(X), попавшей в болтанку. Графики полученных функций имеют вид быстрых илвообще говоря; не правильных колебаний вокруг оси
тем сильнее "болтанка". Интегралы Vi
и |
J j.(x) iÙLDLX |
dx |
геометрически интерпретируется как площади областей, заключённых между отрезком оси абсцисс С-'II, л} и линиями представляющими гра фики поднлтегрзлышх функций. Ном лакіга заметить, что если график лежит под осью абсцисс, то площадь насчитывается со знаком плюс, а если график лехит над осью абсцисс, то площадь засчитывается со знаком минус. Но ввиду того, что при больших .''П 1'рйфики подинтегралыгах «функций ностогапю перескакивают через ось абсцисс, то
происходит сильное погашение величин площадей. Употребим для это го явление термин интерференция. Интерфереіщия тем больше, чем больше /П- и это делает видимым то, что при hi -г
|
£ J |
f(x) ces tnx. dx |
— о |
|
|
|
||
и |
-X |
|
|
|
|
|
|
|
j f.(A) un tnxdx |
— 0 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|||||
Нам потребуется количественная форма теоремы Римаиа, именно |
||||||||
докажем |
следующий результат. |
|
|
|
|
|
|
|
Теорема. Пусть функция |
j- (х) |
имеет |
ограниченную |
вариа |
||||
цию на отрезке |
[ - £ , • £ ] |
. Для её коэффициентов |
фурье |
имеют |
||||
место оценки |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
- 5L ' m |
|
|
|
|
|
|
|
|
9t |
m. |
|
|
|
|
|
где V |
обозначает полную вариацию функции |
-f- (К) |
на отрезке |
|||||
г-к, ..
Доказательство проведём для коэффициентов CtnL , для коэф фициентов доказательство проводится аналогично. Проиэводя интегрирование по частям, имеем
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
A |
|
'Juin |
|
|
|
|
|
|
|
|
J |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
im |
nix |
dj-(x) |
|
|
|
|
|
|
||
|
'лт |
функция |
|
|
непрерывная, |
a |
f(X) |
функция |
||||
Как известно, |
если |
|
|
|||||||||
ограниченной |
вариации на отрезке |
Г Cl, faj |
, |
то для интеграла |
||||||||
Стилтьеса |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J |
Cj[X)df(x) |
|
|
|
|
|
|
||
имеет |
место оценка |
|
ь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I , / |
q(x)dTl(x) |
|
< M |
V t |
|
|
|
||
где |
,jti~ т.ax r\ Ц (X ) I |
, а |
V |
полная |
вариация функции fCX) |
|||||||
на отрезке f " |
Л і Л [a.J /;J . |
ц данном |
случае |
имеем |
Л |
- { |
и это |
|||||
дает |
|
V |
|
|
|
|
|
Tint |
|
|
|
||
что и требуется доказать. |
|
|
|
|
|
|
Итак, для коэффициентов |
Фурье функции |
ограниченной вариации |
||||
ш имеем |
|
|
|
|
|
|
CLln—0'J7î/ |
t |
Ôm |
= 0(ïu) . |
|
|
|
Так как пш любом вещественном |
х |
ICOd/UXUl |
и ) .U/-1 WiXI-. i , |
|||
то мы можем натесать |
|
|
|
|
|
|
а.„, СОімЧХ |
ч- О,,, ЪІЛ DIX |
— |
0(Ȕ). |
|||
Займёмся теперь вощюсом о сходимости рядов Фурье. |
||||||
Ѵя будем рассматривать |
ряди Фурье непрерывных функций. Напом |
|||||
ним, что непрерывной периодической функцией |
называется функция, не |
|||||
прерывная пр.". любом значении |
-':*Г SX ^cSï |
, удовлетворяющая до |
||||
полнительному условна |
|
|
|
|
|
|
С точки зрения теории футащиіі класс непрерывных периодических функцзЯ это "хороши.." класс функций. Поэтому, когда было открыто, что ряды Фурье непрарыэ:ікх функции не всегда сходятся и тем самым нѳ всегда щ.-едставляэт породшзц-ую их функцию, то на математиков это произвело опеломлявдеѳ впечатление.
Приведём прѵікер (предложенный Фейером) ряда Фурье, который расходятся в некоторой течке, несмотря на то, что породившая его функция непрерывна. 3 процессе построения этого примера мы будем опираться на некоторые вспомогательные утверждения, которые удобно доказать прежде чем приступить- к построению.
Лемма I . Рассмотрим выражение
Существует |
такая |
постоянная |
С |
, что цри любом |
іг |
и любом |
|||
вещественном х |
ISa(x)|éC. |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Доказат^ль_ство. Поскольку |
выражение |
| S h W l |
|
периодично |
|||||
с периодом |
ST |
, то достаточно |
рассмотреть значения |
х |
, |
||||
удовлетворяющие |
неравенству |
0 |
^ |
^ |
-Мы имеем |
|
|
||
|
|
„к |
|
|
|
|
|
|
|
|
Sft,(XJ = J (Cuit |
- i - |
CGS2t •+• |
CGS r t t j d t . |
|||||
|
|
|
- 26 |
- |
|
|
|
|
|
Преобразуем |
подинтегралъное |
выражение |
|
|
|
|
|
|||||
cent |
+ Cd |
2Л |
+ |
... + |
С Ci nt |
= |
|
|
|
|
||
- |
L |
{Ca tiuiîj |
+ ces êti<-n I +...-T |
ичnt |
itn |
I j |
||||||
tin |
-T- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Так как при |
|
К = 1, Ü,. |
|
/г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
£ |
, |
|
Hfl [к г |
г) t - |
>wt fx - |
i |
Ht |
|
|
|
UnjïOiKt |
|
= ~ — i |
& ^ |
|
|
|
|
|||||
то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S. iUL I |
|
|
Л Ал |
£ |
г |
|
И ,значит, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим интеграл
1 |
1 |
|
|
» |
|
|
|
|
|
|
|
|
Заметим, |
что функция |
j~,ü<. |
возрастает |
на |
отрезке |
LC, |
j f j |
|||||
В самом деле, |
сосчитаем при |
С |
< |
л. |
у |
производную |
этой функ |
|||||
ции |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Л |
\ _ |
— |
Л |
- CCJ d |
' ^ |
_ |
|
СП *./,.,, |
/!-,/-> |
|||
|
- |
|
—-я |
|
|
|
2 |
( |
Си ..і -*./'- |
О |
||
Применим вторую теорему о среднем, |
получим |
|
|
|
||||||||
X |
|
|
j |
|
< |
|
Ç |
}Lit(n-i-l-)t |
.. |
|
||
{ |
іаі\Пч-о)І |
aL - |
T |
|
|
|||||||
|
|
|
r= |
|
|
\ |
|
|
= |
dt |
|
|
p |
<~Mrt£ |
|
|
' u L l i |
|
? |
|
|
t |
|
|
|
где |
$ |
X . |
Значит, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- 27 -