Файл: Постникова Л.П. Тауберова теория с приложениями к аналитической теории чисел учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 01.08.2024
Просмотров: 86
Скачиваний: 0
имеет одно и то же значение. Поэтому
Мы уже имели дело с выражением
о^ F . . с с л , п
ипридавали ему компактный вид, напомним эти преобразования
{.иь £ U |
ь j r СГУ m t f ) |
£ ни |
£ |
+ |
+ Êff |
«Л(т.+$и-іі,і(т-£}и\ |
= |
^ |
(>l*à)u |
й* пришли к такому выражению для частной суммы ряда фурье
Эта формула известна под названием интеграла Дирихле, а выражение
называется ядром Дирихле. Интеграл Дирихле ( I ' ) используется при изучении сходимости (в обычном смысле) рядов Фурье.
Но мы занимаемся суммированием рядов фррье методом средних арифметических, т . е . предметом нашего внимания должно быть выра жение
По формуле ( I |
) |
получаем |
Л ,'± |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
і ь |
: г |
2 toi f |
|
l |
f |
J>L (COlintt |
-Olli |
І»т1) II) . |
|
r C J A t t - U - 7 T T - T u |
-f{x*u)a<L |
= |
|||
- 32 ~
Или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
i |
l |
|
я a —f- |
il |
|
|
Интеграл |
(2) |
называется |
интегралом |
Фейера, |
а выражение |
|
||||||
|
|
1 / 1 |
|
• i |
|
|
/і и и |
~ ' |
|
|||
|
|
Ф М ^ т з я |
|
( і ^ р / |
|
|||||||
называется ядром |
Фейера. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Остановимся |
на |
некоторых |
свойствах ядра Фейера. |
И л и . |
||||||||
I . |
Ядро |
Фейера |
неотрицательно, |
т . е . |
при любом |
|||||||
|
|
|
ф(П, |
U ) ^ |
0 . |
|
|
|
||||
Это очевидно. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ф к < ? ) = |
|
Hi |
. |
|
|
|||
В самом |
деле, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3. |
Справедливо |
равенство^ |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
i |
= J |
ф(н,и)сІи |
|
. |
|
|||
Доказательство. Возьмём |
специальный |
случай функции |
/Ос J |
|||||||||
тождественно |
равной |
единице: |
-f(x) |
- |
і |
. Эту функцию можно рас |
||||||
сматривать как тригонометрический полином, состоящий из одного свободного члена. Её ряд Фурье есть одночлен
і
'а последовательность частных сумм ряда Фурье этой |
фушщии будет |
||||||
при любом / I |
= |
0, 1,2, . . . |
. Далее, |
при любом |
|
II = 0,1, . . . |
|
|
|
(),,(-<) |
= |
^ 7 |
|
=і |
|
Теперь формула |
(2) |
нам даёт |
|
„ |
|
|
|
|
|
L |
C I |
МИ |
—s—«-1 |
/ |
|
что и требовалось доказать. - 33
Нарисуем график |
ядра |
Фейера. Обратим внимание |
на то, что |
|
чётная |
функция, |
т . е . |
её график симметричен относительно оси ор |
|
динат. |
Функция |
Ф ( > 1 - , и м е е т максимум при |
а=0 |
|
|
|
и |
По обе стороны |
от |
точки максимума фуіпщия убывает и в точках |
U = І 2Я"/гь |
+ і |
линия доходит до оси абсцисс. Этот участок |
графика будем называть пиком. По обе стороны от пика идут лежа
щие на оси абсцисс затухающие волны. Чем |
больше tv |
, тем вы |
|||
ше пкк и |
тем |
заметнее боковые волны. Вглядимся в график ядра |
|||
Фейера и |
нам |
станет ясным наглядный смысл той теоремы, которую |
|||
ыы доказываем. |
|
|
|
||
Рассмотрим при фиксированном |
Л |
фугащию |
|
||
ф(>г,и) tix+u)
При больших И/ характер графика этой функции будет иметь вид пика, только несколько искажённого. Высота нового пика будет
равна |
^jjf-/fr) |
, |
а |
основание будет |
прежнее, |
длина основа |
|||
ния равна |
Іі1т/>г + і |
. Боковые волны при больших |
>ъ |
столь низ |
|||||
ки, |
что |
почти всю площадь |
криволинейной трапеции между осью абс |
||||||
цисс и графиком функции |
|
Ф('г,и) . /(х + а } |
забирает |
пик. Далее |
|||||
пак |
имеет |
вид близкий |
к |
равнобедренному треугольнику, |
площадь это |
||||
го |
треугольника равна |
|
|
|
|
|
|
||
JUL . /м. Jk+jL
^+і r w г-ж
Таким образом, при больших ^
<oJx) = S<p(n,x)f(x+u.)du « (ix),
а это мы и доказываем. Рассуждение, которое мы привели, не явля ется доказательством, это чаато иллюстративное рассуждение.
Теперь проведём выкладку, доказывающую теорему. Мы ухе имели дело с формулой
4 = |
?Л(п ' i) J |
cUL . |
1 |
. . . £ il |
|
|
|
Из этой формулы следует, что при фиксированном X , -SL £Х
Или, вспоминая формулу |
(2) |
получим |
|
|
|
|||
|
|
|
|
/ |
г it/t |
î) -t-L |
i |
, |
Зададим |
£ |
>0 |
|
|
-£ |
P. |
|
г |
. В силу непрерывности функции |
/ Г * } 4 найдётся |
|||||||
такое |
о"> |
С , |
что при |
I Ы | ^ |
|
|
|
|
|
|
|
f(x-rii)- |
/Yx)|é£ . |
|
|||
Теперь |
разобъём |
интеграл, стоящий в |
правой |
части |
на три |
|||
о/Г
Имеем
Произведём оценку | !)'^| |
. Поскольку при IW-J |
\j-(xru.)'f(x)\i |
Е |
и в силу неотрицательности |
ядра Фейера получим: |
|
|
- 35 -
* е - i С ^ t ! L du.
Ч-МПІІ) о sen*
-s
Поскольку ядро Фейера неотрицательно, то мы только усилим оценку если распространим интеграл с отрезка 1-$, Б/ на отрезок
[- ât , *5t 1 ; это нам даёт
Наступила очередь |
интеграла |
X |
|
. При оценке |
интеграла ^ |
||||||||
мы воспользуемся |
тем, что непрерывная |
функция ограничена; существу |
|||||||||||
ет такая |
постоянная |
С , |
что при всех |
значениях << |
|
||||||||
|
|
|
|
Н(Ч\+ |
|
|
с. |
|
|
|
|
||
Имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J l [ |
ÖSE{/i- i) |
J |
j t ' „ г U |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
JLÇ_._ |
f |
i |
n |
ri |
|
|
|
pc |
-b |
|||
|
ял*-pu |
|
S |
i |
|
f |
da |
||||||
|
Шпн) |
•> |
|
|
|
• CUL i |
— • |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Последнее в силу очевидном неравенства |
I Яп |
і . |
|||||||||||
Заменяя переменную |
iL |
и - ТГ , |
получим |
|
|
|
|
||||||
|
|
л/ i ^ _JL£ |
|
Г |
duz... |
|
|
- / j , , |
|||||
Докажем, |
что_дри |
|
c 1 - ^ ^ " ^ ' ^ |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
<L |
|
'JL |
|
, |
• |
, |
|
|
|
В самом деле, производная функции |
у |
- |
—•-— |
равна |
|||||||||
|
ША-б |
- tin d |
СМ-С i j |
_ |
., |
) |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
= |
|
|
^ |
|
^ |
|
|
|
и значит |
отрицательна при |
с |
< et |
^ |
% |
|
. Таким ооразом, мини- |
||||||
ыум У функции |
= ^ с - |
^ достигается |
при |
Л. - ff- |
, т . е . |
||||||||
- 36 -
|
|
.1 in |
où |
|
un ж |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
^ 2 |
|
|
( 4 ) . В интеграла |
|
Применим это |
неравенство |
для |
оценки интеграла |
|||||||||
£ |
^ |
é: |
jr |
|
и.значит. |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
V |
|
3. |
^.а |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Это даёт |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J&' |
~~ n + |
i |
J |
|
if* |
ti-ri |
U |
3i |
, |
|
|
|
|
|
|
'S |
|
|
|
|
|
|
|
|
Напомним, что |
мы f > 0 |
зафиксировали. Значит зафиксировало и SrO. |
||||||||||
Поэтому, если |
мы возьмём достаточно большое |
/і |
, то |
будет выпол |
||||||||
няться |
оценка |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Оценка |
интеграла |
| 2І5 |
I |
проводится |
аналогично |
оценке |
интеграла I I , |
|||||
не нужна лишь |
замена |
|
iL |
на |
- V |
. Итак, |
при достаточно больших Л |
|||||
|
|
|
|
|
IV |
|
. |
|
|
|
|
|
Собирая |
оценки |
интегралов |
, |
, |
3 ? |
, получим, что ка |
||||||
ково бы ни было f |
^ |
С |
при достаточно больших |
Л- |
|
|||||||
аэто и доказывает теорему.
№видим, что в теории рядов Фуоьѳ метод суммирования методом средних арифметических привёл к успеху. Есть и другие методы сум мирования. Об их применениях к теории рядов Фурье можно прочесть в
гл. |
I I I известной книги А.Зигмунда |
"Тригонометрические ряды" |
т . І , |
||||||
M |
1965. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из теоремы Фейера следует утверждение, которое мы назовём |
|||||||
второй |
теоремой |
Вейерштрасса. |
|
|
|
|
|
||
|
|
Теоремг. Задана |
непрерывная |
периодическая о периодом |
Й $ |
||||
функция |
/ ( К ) |
. Каково бы ни было £> О |
найдётся |
такой тригоно |
|||||
метрический полином |
Т (х ) , что |
будет |
выполняться |
неравенство |
|||||
|
|
|
|
ft*) |
T W | |
< |
5 |
|
|
- 3? -