Файл: Постникова Л.П. Тауберова теория с приложениями к аналитической теории чисел учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 01.08.2024
Просмотров: 83
Скачиваний: 0
График функции |
'J |
- |
^7 |
имеет |
виц "затухающей" |
синусоиды. |
|||||
Из |
этого графика мы можем |
заключить, |
что максимальное |
значение |
|||||||
|
#і |
|
|
|
|
|
|
выражения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
достигается |
при CL = С ,6='Х |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
ГУ1Ы._ получаем оцешсу |
|||
|
|
|
Рис. |
3 |
|
Sn(*) |
X / / ик и , [ ü |
t A ^ с |
|||
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
которую и стремились доказать. |
|
с |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
Из этой леммы легко выводится следующее утверждение: |
||||||||||
|
Лемма_2. |
Пусть |
Я- |
и 2" |
натуі>алыше числа, |
X |
веществен |
||||
ное |
число. Сумма |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
ко fn |
* |
у\ = |
|
CC-i(^ÙL +. |
CCA&<2)K + ... + |
С£а/^/Ш - |
||||
|
|
|
L |
|
|
5 |
|
|
Р.п - і |
||
ограничена |
при всех |
значениях |
? , X |
|
|
|
|||||
|
Доказательство. №J имеем |
|
|
|
|
|
|||||
|
*(ГІ'^Х'~ТГ£ |
|
|
&Ï-L |
|
far |
ÊV-i |
|
|||
- / і і |
/« |
/ I . , / |
4<лЛу |
i чГ^ i-t-п и/ |
-£*лІг+п+±)х( |
|
X |
-J2i |
|
По лемме каждая из двух сумм, стоящих в правой части, ограничена,
а |
\&Сгь (2 ч- / I + ^jx I ^= і • |
Лемма |
доказана. |
||
|
Обратим внимание на то, что |
|
|
||
|
Приступим |
теперь |
к построению. |
|
|
|
Обозначим |
через |
G-tL множество |
состоящее |
из S ri чисел |
28
Пусть ÄL , Л % , . . . некоторая воэрастаицая последоватйльнооть натуральных чисел. Расположим в одну последовательность все чис
ла всех групп 6\ , |
Ѳх , . . . |
и |
умножим все числа |
группы ѲЛ) |
на |
||
je . |
|
|
|
|
|
|
|
Мы получим |
последовательность |
|
|
|
|||
-1— |
А |
- i |
|
"i |
L |
* |
|
обозначим члены |
этой |
последовательности |
через |
|
|
||
Рассмотрим |
ряд |
|
|
|
|
|
|
|
У |
^пг Ш |
й |
г * • |
|
( I ) |
|
В ряде ( I ) сгрушшруем члеіш так, что объединим в одной скобка члены соответствующие одному и тому же множеству £ а .
Тогда получится ряд
|
|
|
Ç |
|
|
* (Лп.,и^Пл-к..-* |
|
£J,-i |
, |
X) |
|
( 2 ) |
|||
Рад |
(2) |
в силу леммы 2 мажорируется сходящимся |
числовым |
рядом |
|||||||||||
и ^значит ряд (2) |
абсолютно и равномеі-іо |
по |
X |
сходится. Поэтому |
|||||||||||
сумма -f-(x) ряда |
(2) |
является |
непрерывной |
функцией. |
|
|
|
||||||||
|
Покажем, что |
ряд ( I ) есть ряд фурье |
функции |
•/ ^Х) |
. Посколь |
||||||||||
ку ряд (2) является равномерно сходящимся, то |
его |
можно |
умножить |
||||||||||||
на |
№ |
ffi.x |
или на |
it а тх |
и почленно |
проинтегрировать |
от |
||||||||
-'Л |
до |
SL |
, Интегралы всех членов, кроме |
члена, |
содержащего |
||||||||||
d,ri |
• с a |
m |
.< 7 |
будут равны нулю и мы получим |
|
|
|
|
|
||||||
Таким образом, |
ряд Фурье функции |
т^) |
есть |
|
|
|
|
|
|||||||
Рассмотрим |
теперь |
частные суммы ряда %-рье |
( I ) |
при |
X" = С |
» |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
- 29 |
- |
|
|
|
|
|
|
|
Имеем
Отсюда |
, |
|
|
Л |
|
Возьмём теперь |
Л ѵ быстро растущим, конкретно |
, |
тогда
убедилась в том, что ряд 'Зурье непрерывной функции/YxJ расходится в точке А = Г- .
§ 6. Сгтаровакпе рядов Зуръе методом средних аваіавтичвоких
Как показывает пример Феііера, если в эксплуатации радов Фу рье использовать лишь понятие обычной сходимости (сходимости по Кош), то узе в классе рядов 5урье непрерывных функций мы можем получить неуспех. Однако, ряды Фурье обладают "скрытой" сходи мостью и это даёт .дополнительные возможности при их изучении. Мы сейчас займёмся суммированием рядов £урье методом средних ариф метических.
Введём обозначения. Задана непрерывная периодическая с перио
дом 2 3L |
функция |
|
. Пусть ряд §урье этой функции имеет вид |
||||
|
|
|
|
со |
cci"ix i- Ь,п |
|
|
|
х) ^ |
j± i |
^fft-n |
ііптх). |
|
||
Через On |
(X) |
обозначим |
последовательность частных сумм ряда фу- |
||||
^ |
|
|
|
|
ji |
|
|
S. (*) = f ° |
> |
.SA W |
= T- |
+>' |
* hm |
11 |
|
Через |
On, iXJ обозначим |
последовательность средних арифметических |
частных |
сумм ряда '5урье |
функции -f-''<) |
ей(,). |
fry-•;»«, |
„ . M > J U . |
|
Мы докажем сейчас |
следующую теорему Фейѳра, |
||
Теорема. Ряд Фурье |
непрерывной функции |
/ - f x ) равномерно |
|
суммируется методом средних арифметических к этой функции. Ины |
|||
ми словами, равномерно |
при |
-.IL éX < |
|
icrri |
!oJx) |
= / Y x j . |
|
Доказательство этой теоремы имеет наглядный геометрический смысл, однако прежде чем до этого смысла доораться нужно проде
лать некоторые |
вычисления. Итак, |
дана |
непрерывная функция / f x ) . |
Рассмотрим |
частную сумму |
Л ц |
(х) её ряда •ЗСурье |
|
'п. |
|
|
здесь |
Л |
|
|
|
|
|
|
|
Ьт=~- |
[ fU) iui |
rni dt |
t |
m = d , |
n . |
|
||
Учитывая эти |
выражения для |
коэффициентов |
Фурье, имеем |
|
|
|||||
4 |
- |
Г |
|
гJL |
|
ч- i.tirrwj |
С |
• "1 |
- |
|
4- |
> ' |
|
|
^(t)coimtdt |
f(i)hrinït(ii\ |
|
||||
|
nil l |
I |
|
|
|
|
- E |
-' |
|
|
" к |
I \T + |
^....'слгпхаЧіпі-+шіпииііпіЩі(і)с[І |
= |
|
||||||
= 4 |
|
+ |
# |
|
шІі-ѴтЛНЫі. |
|
|
|
||
Подстановка |
-£ = |
x h t/, приводит |
к следующему |
выражению |
|
|
||||
|
Л » - " |
/ |
f /е |
г |
£c.Ojniu)J(x-,lL)diL |
|
|
|||
(мы использовали здесь свойство чётности функции косинус). Под
интегралом стоит |
периодическая по iL с периодом Р'Л функция. Как |
|
явствует из геометрического'смысла интеграла, величина |
интеграла |
|
от периодической |
функции по любому отрезку длины равной |
периоду |
|
- 31 - |
|