Файл: Петрова С.Г. Обыкновенные дифференциальные уравнения учеб. пособие.pdf

где среди

полиномов

і- ••• +

(ТІ,- л .'"

(степени

5". * t ( - - J

) есть

отличные от

тождественного

нуля.

Не ограничивая общности, будем считать,

что

^ ,

^

Равделив

^

на

£?

, найдем

По формуле Лейбница имеем

,

Таж как

К'~

0 » 1 0 полином Cf'j/*) имеет

ту же

с т е ­

пень,

что

и ff.C*)

» откуда следует,

что. <$£и)Ф О

(так

как

^(юФ

О

) . Учитывая (12),

перепишем

( | | )

в виде

тождества

Г(,'г

Jk,-li^)X

(0,

(кл~Кг.)Х

• ГО

,

„Се»-,-**)*

\

(х)Є

+ ц

{х)Є

і-

•••

во,

имеющего тот

же: вид,

что • тождество

(9),

но

содержащее

од ­

ним слагаемым

меньше,

причем

tfs"

Совершенно аналогичные рассуждения, повторенные

(**-')

pas,

приведут нас

к

тождеству

где

полином

Q},'n

О

на

( л > ^ )

,

что

невовможно.

Следовательно,

не

существует

промежутка

(а-,

6)

, ва котором

функции (8)

были

бы линейно

зависимы;

вто

и дожевывает

вяну

Если

все

корни

fr,t

&,

•

уравнения

(5)

-

вещественные

числа, то вещественными будут а вое функции ( 7 ) , а потому и

общее

решение

(14),

Нам остается рассмотреть случай^когда среди корней урав­

нения

(5)

имеются

комплексные

кратные

корни. Пусть

А=

^ +1\р> есГь

Ъ-кратный корень уравнения ( 5 ) , которому, как мы видимі,

соответствует

%

комплексноэначных

решений

вида

При

атом

сопряженное; с

А число

Л =

^ " ' У 3

также

бу­

дет

t-кратным

корнем уравнения ( 5 ) ,

а соответствующими

ему

решениями

уравнения

(4)

будут

функции

?е1*"*К

/ed^jjir

- a

W »

/

> Jf,

(s-

*>'>•>

* Ч ' 0<J

комплексно

сопряженные

с функциями

(15),

По лемме

5,

функции

Х%Л*Со^*і

х

^

е

"

*

* ч

,

также

являются

решениями

уравнения

( 4 ) .

Таким

обравом,

паре fcкратных комплексно

сопряженных

кор­

ней

°t£

tj3

характеристического

уравнения соответствует

вещественных решений вина

ч.

л

•

•

для уравнения

согласно лемме б, мы получим фундаментальную систему

состоящую из вещественных функций. Следовательно, и в этом случае

общее решение

уравнения (Ч)

В общем случае,

когда

J(x)

«

проиввольная непрерывная

функция в

6)

, для

нахождения

общего решения уравнения

(1), как понавано выше, достаточно найти общее

решение

с о о т в е т ­

ствующего однородного уравнения и одно какое-нибудь решение

неоднородного уравнения ( I ) . Для разыскания последнего можно

воспользоваться

методом вариации

произвольных постоянных.

В некоторых

частных

случаях,

когда функция

f(x)

имеет

специальный вид,

частное решение уравнения ( I ) можно найти

проще, польеуясь

так

называемым методом неопределенных

коэффи­

циентов.

В атом

параграфе

мы и рассмотрим

такие

специальные

случаи.

а)

Пусть

j(x)

= РС*)Є'и,

. ,

(*)

где

/°С*)

-

некоторый

многочлен степени

А*» о t

а

Л

-

вещественное

число.

Теорема 1. Если правая часть неоднородного уравнения (Г)

имеет

вид

(2)

и число

cL

является

*с -кратным

корнем

іарак-

теристического уравнения

(

о

,

если

oL

не является" «го

корнем)

то

уравнение

(1)

имеет

решение

вида

y^xtQ(x)e'lA,

-С*)

где

Q(x)

- некоторый многочлен степени не

выше

т

.

8ту. теорему

мы не доказываем, на

практике же

ею

пользуются

следующим образом: в качестве

Q(x)

берут

многочлен

степени

щ

с неиввестными

пока

ковффицнентамн,

находят для функции

^

<j'j3"j

' •••

• п ?дстевяяют

ати аначения в

левую