Файл: Петрова С.Г. Обыкновенные дифференциальные уравнения учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 01.08.2024

Просмотров: 287

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

я н

 

 

 

Ч -

г ґ Л

г Ч \

 

 

 

Лз)

ибо

о,у.t^y.-tC,

-

о/

o^M.t 6г#.+сл

-

о

. уравнение

(18)

является

уже

однородный.

 

 

 

 

 

 

Нетрудно цокаеать, что верно и

обратное: если

j-^fj)

решение однородного уравнения

(13) ,

то

функция

 

 

будет решением исходного уравнения ( 9 ) .

§4. Линейные уравнения 1-го порядка.

Уравнение

где

Р(х)

и

Q(*)'

-

функции, непрерывные

на некотором

с е г ­

менте

£А-,

€]

, навывается линейным

уравнением 1-го порядка.

Если

<pf*J^ о

,

то ( I ) навивается

неоднородным уравнением;

в противном

случае

оно навивается однородным И имеет вид

Докажем следующую

лемму:

 

 

 

 

Лемма. Для того

чтобы функция

%(х)

была решением

урав­

нения ( D ,

 

необходимо

и достаточно,

чтобы

функция

 

 

 

 

 

w y i - e 1 " " *

 

 

fiJ

являлась

решением

уравнения

 

 

 

Пусть * y-<f(*) " решение уравнения ( I ) . Так как

а ,в е м у

( | ) ,

 

 

 

 

 

 

 

то

 

 

 

 

 

 

 

 

-- -

6

/

- $ W

*

ft*)

<?

=

Є

Тем самым

функция

(2)

является

решением

уравнения (3).

 

Пусть теперь

l^- = Vfy)

есть

решение

уравнения

(8) .

*отда ив (2) находим,

что

 

 

 

 

 

 

ft*)*

\г(*)Є

J

 

 

 

(ч)

•£ r g e - < « ' > ' \

Отсюда, в

силу

(г)

и (8),

 

 

 

т . е . функция (4) есть решение уравнения ( I ) .

 

Лемма докааана.

 

 

 

 

Пусть

область

"2> определяется неравенствами

А * * " £

_ мг*о л. у *

*

•

 

 

 

 

Теорема. Черев

любую точку

области ^

проходит

единст­

венное ревение уравнения ( I ) , в

общее ревени* уравнения U )

дается формуло*

 

'

.

 

Беда переписать уравненяя ( I ) следующем обравом

то легко видеть, что для него в области *Я5 выполняются условия теоремы 2 I I бущеотвованяя в единственности ревеня*» '

Сдедовательно, черев каждую точку &

проходит единственное

ревение уравнения ( І ) .

 

Із предвдущ*! явиш сдедует, что все реиеяяя уравиеяия (З) дамся фориухої

где С -„произвольная постоянная, а поэтому функция (см. формулу

при лобом значении С является ранением уравнения ( I ) .

 

Пусть

W * j .

какое-нибудь частное

ревение

уравнения

(1),

удовлетворяющее

начальному

условию

W>W = Jk

 

, где

точка

<М4 (*.,$.) е 4J

. Очевидно,

что уравнение

(5)

при лю­

бых

 

х в

у

однозначно разрешимо

относительно

С

,

Решав

(5)

при

Х~Уо

,

у*У>

, наїдем

С-С.

 

В силу того,

что

черев точку

 

проходит

единственно* ревени* уравнения

(1),

в некоторой

окрестности

ТОЧКИ

Me

 

 

 

 

где

черев

 

обоеначена

функція

(5)

при

С-С

,

Таким образом, формула (5) представляет общее решение урав­

нения

( I ) , что и доказывает

вашу

теорему.

 

Для однородного уравнения

(Ц)

Q(r) в о , я потому его

общее

ревені* получается їв

(5)

»

виде

Замечание.

Хотя р е в е м *

 

линейного уравнения 1-го порядна

можно находить

непосредственно по формуле (5) , укажем еще один

способ, поаволяварі интегрировать уравнение ( І ) , не мпоми-

 

ная формулу

(5) .

 

 

 

 

 

 

 

 

Будем искать

решение уравнения

(1)

я виде

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

fij

где функции

Ш*і

и

 

V-(f)

выберем

ниже.

 

Так как

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

то подставлял (7) и (8) в уравнение

( О ,

находим

 

 

 

Си'*

Pdjbjv-*

2<v-'= <р/*).

(в)

Выберем в качестве

 

Ш*) любое ненулевое

реиение уравнения

 

с ра«являющимися

переменными

 

 

 

 

 

 

U,'+

Pfrj

и

= Оj

 

 

 

например, функцію

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

tUx)

= Є

J

 

 

 

(га)

.

 

 

 

 

 

 

 

і

'

 

Подставляял ее в (0) ,

наїдем,

 

что

 

,

У

откуда для функции v(x) получаем выражение

W i ' / W e 1 * * " * -і-С.

оо

На (7) , (10) » (11) общее реиение уравнения ( | ) явходяи • ааде

у ы - е ^ - Г с / ъ е ' " " * * ]

Положим J/-UI",

у 1 -

u'tf+UV-',

Xil

Выберем U-(*i как решение уравнения,

 

 

**' У1-і

'

 

 

 

откуда

 

 

 

 

 

 

Далее

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

У=

 

-f С.

 

 

 

Следовательно,

 

= ( x - t 0 і

•C-f &

Iх'"1)

 

 

§5 . Уравнение

Бернудли.

 

 

 

 

Уравнение

/»

_

 

.

 

где

л ^ и

л * і , а

 

и

$ ( х ) -

функции,

непрерывные

на

сегменте

ПЛ>Ю

,

на Бываете я уравнением Бернулли,

В случаях

к = о или

 

л = і мы получаем

линейное

уравнение

_1-го порядка, рассмотренное в $4. Покажем, что вадачу решения

уравнения (1)

можно

свести

к решению

некоторого

линейного

уравнения.

 

 

 

 

 

Пусть

у- yf*) - решение уравнения ( і ) . Подставляя

у =

в

( I ) ,

получим тождество, умножая которое на

Ct/(*l]

' е с л в

" >

0 * , 0

°* б Р а с ывае м

точки, где

У^0'^,

найден,

что

 

 

 

 

 

Полагая

 

 

 

 

 

 

найдем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

_

•

ъ

I ) . В этой

случае

функция у=я есть решение

уравнения ( I ) .

Смотрите также файлы