Файл: Осипов В.М. Математические основы кибернетики. Начала вариационного исчисления и элементы теории оптимального управления учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 01.08.2024
Просмотров: 48
Скачиваний: 0
- GS - |
|
Уравнения üiuicpa имеют вид |
|
* d с* - п - -3 _ а. |
э _ |
Из последнего уравнения следует
Іюдставлян t:o значение U в уравнение объекта получим сле дующую систему вместе с уравнениями Эйлера
X. = *г
*-£-7.'Я,
Я, : Ях, + £ Лг
К---*, +
Имеем 4 уравнения и 4 неизвестны* функции Запишем эту систему в операторной форме
Рас, (Р) • «к (р) |
* О Я, LP) * О-A,(PJ |
-- X* |
|
|||||
2*, (Р) |
* O-XtffiJ |
-Р-АЛР) |
* £і |
A (PJ ' |
О ; |
|||
0-х,{р;< |
|
0-Xt(PJ- |
Я, (Pjf |
(Ц1.-Р |
)яг(Р) |
*0. |
||
Определитель |
системы равен |
|
|
|
|
|||
Р |
- / |
0 |
0 |
Решение |
запишется в виде |
|||
A(pJ*\ât |
I в / г |
/ |
* с * / |
Х Л Р І |
ИТ) |
' |
'Л<ІР'~~ПР7х' |
|
|
й» LP) |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
' |
. |
о |
-* |
(%-Р)\ |
|
|
|
|
Ьсли раскрыть определитель, то окажется , что он являет ся полиномом 4-ой степени. Два его корня Рі к Рг лежат в левой
полуплоскости, |
а два друхш. - |
к прмвоЬ |
|
|||||
дуе.' МІ |
то J O , |
что уравнениебудит оикшицхдтшш, т.к. выполня |
||||||
ется условие A(PJ - л{-Р), |
в соответствии |
о этим решение, для |
||||||
координаты |
х, |
будет равно |
|
|
|
|||
-, ; |
„ |
Prt |
|
P,t |
, |
Pst |
, РѴІ |
|
х, N/= |
Cr e ' |
+ Q e |
* с, e |
t Q e |
|
|||
Постолиные |
можно найти из граничных услсшім, ни для того 'что |
|||||||
бы обеспечить Х,(сз) |
- О И XF{<X>)=Xz{ai)zQ |
f необходимо ПО |
||||||
ДОМ!Та СІ - О и |
Сг |
~0 . |
|
|
|
|||
Таким образом., частно?, решекие удовлетворякадее ираьому гранич ному условии ИМЗеТ вид
Из первого уравнения системы следует
xt |
Ü) = ж, = С.Р, е*е* |
clp,eP,i |
||
Ш второго урелнения найдем |
|
|
||
Если подставить вместо Х< и |
|
их значения, то Л* можно |
||
записать в виде |
|
|
|
|
Из последнеічз |
уравнения получим |
|
||
Из уравнений |
^ |
|
к* |
|
|
зс, - с, г |
+ Q e |
|
|
наЁдем |
Ö ' 5 * ; о',, sc-, |
+ d'n |
хг |
|
|
еГ** - о£, |
|
|
х. |
Ііо&стаашг a вырчАйЫс для |
Л, . Будем икс-ть . |
|||
|
,Іг z 3, X, |
|
Х2 |
|
mas. ь веду, ".то w : - і ^ - -?г , лолучим окончдеѵльно ііскоійй 3t.su.-a регулирования
Un к для оптшіізіодтощего |
функционала j (хК> си2/ |
c/i зеков, уи- |
|||||||||
равл<-.ния |
оказался |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
ЛІШЬИННМ. |
|
' |
' |
dx |
|
|
|||||
ііиш иметь в виду, |
что х, |
- sc І |
|
, |
го |
||||||
= se, = _r - |
OL. |
||||||||||
гюлучиіЧ уравнение |
риіулятора в виде |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
А: |
|
|
|
Передаточная |
фуьішия |
""акотх? |
||||
aLf -ta,Pii |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
регулятора будет равна <Puc.JC3) |
||||||
|
|
|
|
|
|
Wp(rJ= Кгг+ |
КІ |
> У - Е - П РЗД- |
|||
|
|
|
|
|
ст&вляет |
собой |
параллельно |
||||
|
7 i |
|
сложенные безинерцисдшое зве- |
||||||||
|
|
|
|
|
но и идеально^ дишфереяцирую- |
||||||
|
I к~г |
I |
|
щ е |
е |
3 вено. Ясно |
, |
что такой |
|||
регулятор |
|
' |
Рис.13 |
|
Этот вывод |
оказывается |
|||||
не монет |
быть реализовав |
||||||||||
справедливым и для более |
общей задачи, когда возмущенное дви |
||||||||||
жение объекта описывается системой п -го порядка |
|
|
|
||||||||
|
л |
|
+ь{и |
|
|
і,г,... |
п |
; ; |
|
|
|
^ |
= 1 |
|
|
|
|
|
|||||
где U - единственный управляющийпараметр, а оптимизирую щий функционал имеет вид
|
\ [ZdLKX^CUl)dt |
. |
Граішѵиыи условия такого типа: |
|
|
xjohx. |
х-„/о} = х°п ; X, («>/•-О |
.Xn(*>J=0, |
т . е . требуется перенести объект из некоторого начального сос тояния в начало координат БАЗОВОГО простракства. Оказывается, что и для этой задачи закон /іегулирования являмся линейным;
йслк объект опи':иваеі-!;й ъщ^ь^еитьлтш• уравнеаие ß - го дорядка, -ю фазовис координата имеат смысл производных
и, следовательно, закон управления |
запишется в ыщи |
||
и. - |
2. |
2-7 , а |
передаточная функция |
ПФ регулятора |
будет |
равна |
|
Wp(p;-~ |
І К І Р ^ |
|
|
т . е . имеет вид полинома степени ( п - I ) . |
|||
Такая ПФ не может быть |
реализована. |
||
В такой постановке задача не имеет |
практического значения. |
||
Причина такого результата заключается в выборе оптимизирующе го функционала.
Использованный функционал |
f |
|
|
||
|
|
|
о |
|
. |
запрещал длительное |
существование больших |
значений функций x(t |
|||
и u(ijt но никак |
se |
учитывал |
их гладкость |
(характер), |
поэто-* |
му при наличии разрывов I рода или просто быстрых изменений |
|||||
производные могли |
принимать большие значения и даже содержать |
||||
S - функции в то |
время ішк функционал был небольшим. |
|
|||
Недостаток фунвционала может |
быть значительно ослаблен, |
если |
|||
сделать его чувствительным к изменению производной от функции управленияІЛ.. \Функционал запишется в виде
о
Веди теперь рассмотреть ту же задачу (для объекта 2-ѵо порядка) то после выкладок совершенно аналогичных предыдущему получим
уравнение |
регулятора |
в виде . |
|
|
||
|
|
ù |
- /С('х, |
+ КІ^г |
-jbU. |
|
где |
</ |
и кг |
. и /* |
- некоторые постоянные определяемые по |
||
ходу |
решения |
задачи, |
іискольку хг = .тг = х |
, го |
||
- 70 -
u4> такого |
регулятора равна |
|
|
|
|
Wr(PJ-- К, f КІ Р |
|
|
|
ІІСЛИ удается обеспечить K'L = 0, |
то Wp(P)~~pJf |
t |
т - е . |
|
регулятор |
решающий поставленную |
8здачу представляет |
апериоди |
|
ческое зве, . 1-го порядка, что всегда |
можно реализовать. Если |
||
Xf^O , то іегулятор |
представляется в |
виде параллельно соеди |
|
ненных апериодического звена |
к реального дифференцирующего |
||
ѵ/" |
pif |
Piß |
|
Замечания |
|
|
|
I . Приведенные примеры и практическое применение теории аналитического конструирования со всей очевидностью убеждают, что выбор оптимизирующего функционала является главным вопросом теории и его слабым местом. В зависимости от выбора оптимизирующего функционала мы получаем различные законы регулирова ния, оптимальные с точки зрения выбранного критерия качества. При этом часто оказывается, что полученный оптимальный регу лятор все-таки хуже по целому ряду показателей, чем регулятор, полученный обычными методами проектирования, основанными на инженерной интуиции. Причина заключается в том, что применяе мое на практике оптимизирующие функционала либо совеем не учи тывают, или учитывают очень слабо (неявно) показатели качества регуляторов, по которым производятся их сравнение (перерегу лирование, быстродействие, колебательность). Задача состоит s том, чтобы сформулировать такой критерий оптимальности„ кото рый бы объективно учитывал основные показатели качества регу-
