Файл: Осипов В.М. Математические основы кибернетики. Начала вариационного исчисления и элементы теории оптимального управления учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 01.08.2024

Просмотров: 47

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

- 71 -

дарования н в тоже время давал сравнительно простое решение основной задачи. Иайти такой критерий - задача очень трудная. Она яе решена пока, хотя предпринимаются усилия в этом направ­

лении « Значит ли это,

что в настоящее время

теория аналитичес­

кого конструирования

не имеет практического

значения? Совсем

не;?. Это значит, что теория имеет слабое место, которое в по­

следующих работах, несомненно, будет устранено.

В частности,

перспективным является использование в качестве

оптимизирующих

- взвешенные квадратичные функционалы вида

 

 

 

где

р(і)

- некоторая весовая функция .

 

 

 

 

Выбор /з/^/существеннов влияет на свойства функционала.

Можно найти такие весовые функции, которые подчеркивали

бы

нужные нам свойства и обеспечивали бы наилучшие

показатели ка­

чества

переходных процессов.

 

 

 

 

2. При решении задачи об аналитическом конструировании

мы не накладывали особых ограничений на управления и

,

следо­

вательно,

допуск/иш существование весьма больших хот.

и

кратко­

временно действующих убавляющих сигналов. Более естественным было бы ввести в постановку задачи ограничение на управление в виде неравенства

/и/ S Umox.

Бели "решать задачу с учетом такого ограничения при тех же кри­ териях оптимальности, то получим регулятор с нелинейным зако­ ном регулирования.

- 72 -

' i . Другие задачи оптимального управления. іі^цоОразоданае критериев оптимальности.

Возможно много других постановок задач оптимального уп­ равления л зависимости от цели управления и реального смысла зьдачи.

àcm функіѵі налу г-

о

придать с.ѵшсл расхода кьких-либо ресурсов за время управления, го задача будет состоять в определении таких управлений,при которых расход этих ресурсов будет минимальным. Здесь возмож­ ны рьзличньіц варианты. Например, можно требовать, чтобы на­ чальное и конечное состояние объекта, управления были фиксиро­ ваны заранее (например, управление полетом самолета из одного

фиксированного пункта в другой) В этом случае

3

имеет

смысл

расход

топлива за время полета)'.

 

 

 

 

 

 

Ь других случаях конечное состояние системы

не имеет

значения.

Ва&но лишь обеспечить экстремум функционала

 

(например,

если

й есть количество какого-то продукта

за

время

Т

,

то тре­

буется

управлять агрегатом, производящим

этот

продукт

 

так,

•чтобы U было максимальным, т . е . была максимальная производителы.'ость за время Т ) .

лсао также, что вршя за которое требуется оптимизация

системы, может быть

как фиксированным заранее так и

не фикси­

рованным. Так, если

самолет соверш&ет рейс между двумя пункта­

ми по р&списании, то

время полета Т фиксировано и

требуется

шінимкзиі/овать расход топлива за фиксированное время, іісли *е время яесущиствешю, ъ требуется обеспечить на;!ьысиул экоко-

- 73 -.

мичность полета мевду двумя пунктами, то время Г Ht должно быть фиксировано заранее.

Рассмотрим такую задачу. Требуется выбрать управление it [і ! так, чтобы за данное время Т управляемый объект перешел из начального состояния Х° в такое состояние, что одна из фазо­ вых переменных, например, Х,(і] в момент t- Г (т . е . Х,(ТІ) приняла бы максимально возможное, a другие координаты фикси­ рованное значение. Такая задача возникает в теории космичес-

. кого управляемого полета. При расчете закона управления раке­ той, выводящей искусственный спутник земли на заданную орби­ ту, требуется , чтобы на заданной высоте в заданный момент вре­

мени .горизонтальная скорость

была максимальной, а вертикаль­

ная скорость равнялась нулю.

В данной задаче

требуется, что-

ббы одна фазовая координата -

горизонтальная

скорость (обоз­

начим её

через

)

в момент

Г была максимальна.

Иногда

не требуется

фиксировать

другие координаты. Число рас­

смотренных постановок задач оптимизации можно было бы увели­

чить. Все эти

внешне

различные

задачи в математическо'1. отно­

шении оказываются тесно связанными мевду собой и треб; ..' ана­ логичных методов исследования. Более того, одни из них могут быть сведены к другим. В частности отметим, что в этом смысле наиболее общей задачей оптимального управления оказывается задача об оптимизации фазовой координаты. Действительно, рас­ смотрим вадачу с интегральным критерием оптимальности:

Требуется

выбрать

управление U(*•)£• U

объектом, описывае­

мым системой

уравнений

 

 

 

 

4

ZÂ (*,,•••

; a

..L'm.t)

( с = I ,

2

. . . . п ,1

так,

чтобн

функционал

 

 

 

 

 

 

3 = /Л

Iх,

, - Хп ;

Ц ... Um

•

tjc/t

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

- 74

-

 

принимал экстремальное

значение.

 

Введем новую фазовую координату

 

J to

fa,.-

х„;

U,,...Um; t)dt,

x„f/(Q>-0

s

 

 

 

 

Тогда к системе

уравнений' можно прибавить ещё одно

 

X./,„zJofa.--v"i

Ui

Um ; £ ) ,

 

а задача определения экстремума интеграла сводится к задаче

оптимизации /'п+ /) - ой

координаты xntl(Tlt

т . е .

Задача об оптимизации некоторой функции от конечного значения координат

<р[ф)гхг{Т),

-XntrjJ

также монет быть сведена к задаче об оптимизации конечного зна­ чения одной координаты, если функция Ф - дифференцируема. С этой целью введем новую координату

Возьмем производную по с

Если теперь к заданной системе уравнений объекта добавить

 

полученное дифференциальное уравнение для координаты xn*t

,

то задача сводится к оптимизации конечного значения координаты

SC„f/

т . е . JC„+, (Tj . Отметим

также,

что задачи оптимиза­

ции с интегральными

ограничениями

типа

 

 

/

Ff«,,...

,Х„ . U,,...Unit)

Л * Л

 

могут

быть сведены к обычной

задаче

оптимизации с огра­

ничением типа неравенств на конечное значение новой координа­ ты, зс (Tj <• Л . Для этого достаточно добавить к систе-

Смотрите также файлы