Файл: Осипов В.М. Математические основы кибернетики. Начала вариационного исчисления и элементы теории оптимального управления учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 01.08.2024

Просмотров: 46

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

- 5? -

Отметим, что ограничения подобно рассмотренным могут накла­ дываться не только на управления, но и на фазовые координаты. Например, скорость движения автомобиля или самолета (корабля) не моаея превышать некоторую допустимую величину. При управле-

ння выводшкосмичѳского корабля (или спутника) на какую-то траек­ торию полета необходимо заботиться о том, чтобы перегрузка на космонавтов s приборы не превышала допустимую, а это значит, что ускорение не должно превышать определенный уровень.

Учет ограничений на управление и фазовые координаты вносит реаль­ ный смысл в различные задачи управления, что тлеет существенное значение. Более тоге, чаото оказывается„ что неучет ограничений даааег задачу об оптимальном управлении бессодержательной, ли­ шенной реального омыола.

- 62 -

Для того чтобы сделать этс, необходимо сформулировать цель уп­ равления, т . е . мы должны четко и объективно сформулировать чего мы хотим получить от нашего устройства.

Такой объективной характеристикой может служить некоторый функ­ ционал, выражающий меру отклонения переходного процесса от нуля (т;е . от установившегося режима):

%

-- J

F (х,

. . . / ? , ;

і

и,....

U„)eft

при следующе-: граничных условиях:

 

 

Xi(o) = xf

; « ^ о Д я Д - . . . .

x„(oJ* x%

И Х,&)'0 - г ,„ .. Х п М*0^

U,lo)-U*

i

 

' Umio)-Un

к U,(»)-- 0, . . . . Um(<e>)*0 .

Граничные условия

означают, что возникшее г моментt> 0отклонение

в результате переходного процеооа станет равным нулю, В терминах

теории управления это значит, что объект из начального фазового

состояния

х"

переводится в начало координат фазового

прост­

ранства.

 

 

 

 

 

Мы ухе отметили, что функционал У,

выражает меру отклонения

Переходного процесса от нуля. Чем меньше этот функционал» тем

лучше переходный процесс, поэтому мы должны вайти такой вакрн

управления

U(x, xj* U , ноторыА бы миннмиаировал

функционал

У/ и переводил

Он наш объект из проиввольного фабового

состоя­

ния х" в начало координат. Заметим, что функционал й{

называ­

ется оитиьшэирущим функционалом. Теперь мы можем

математически

сформулировать нашу задачу. Найти закон регулирования (закон уп­ равления) Lt-UfaxJ, принадлежащий области допустимых управлений и минимизирующий функционал

при граничных условиях

- 6 3 -

XjO) x~ Xn(0)-- X„ , Х,(*/:0; Xn(ce)*.0

выраааздйй меру отклонения возмущенного движения объекта,

уравнение которого имеет вид

п

Это достаточно общак формулировка задачи об оптимальиоіі стаби­ лизации дашейпого объекта, которую обычно называет задачей об аналитическом конструировании регулятора. Лсзднее мы рассмот­ рим решение этой задачи.

2, Задача о максимальном быстродеиствп::

•Если в общей постановке задачи об оптимальном управлении

цоложнтъ J0 (£,„..„,,

и,.,,..

Um) = Т, то критерий оптималь­

ности получит вид

г

 

Эг*

ft dt г

Г

и задача об оптимальном управлении в этом случае може^ быть

сформулшроваяа так,

 

Дзя объекта,

описываемого уравнением

х

-• Jix,

и)

требуется найти такое управление Се С , при котором объект из начального фазового состояния х'- •х/о-ііереіідет в другое фиксиро­ ванное состояние JC'-X(TJ за щншлрльйсе гремя,'т.е. функционал

У# примет минимальное значение

 

 

Ot

-

Т = m с n

Это и

есть

задача о

максимальном быстро действии. Заметим, что

если

взять уравнение

возмущенного движеілія объекта, задача будет

глодаться

к переводу

ооъекта из некоторого начального еестояния-

в начало

координат

за

минимальное время.

-64 -

3.Решение задачи об аналитическом конструирование регуляторов методом классического вариационного

исчисления

Задача заключается в определении закона регулирования

 

U

 

т . е .

 

U • иі-х)

,

переводящего объект из

некоторо­

го начального состояния в начало координат и доставляющего

жш.-

мум некото

 

>му функционалу,

имеющему смысл меры отклонения

от

установившегося

режима.

 

 

 

 

 

 

 

 

Рассмотрим решение этой задачи ка примере линейного объек­

та 2-го порядка:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а}

X * c?r X + X - к U.

 

 

 

 

с)то по-прежнему уравнение возмущенного движения объекта .

 

предположим

, что

в момент

£ = О объект в результате возмуще­

ния оказался в состоянии х(о):х&

и

х(о)

= 0^

Дам нугло

дере-

вести его

в начало

координат,

т.е.,

необходимо,

чтобы х(^/-

О и

хМ'О,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В качестве

оптимизирующего функционала возьмем ыроетеяашй

 

 

 

jXsс/С

- ІІХІГ\

 

 

Ц

)

 

 

 

 

 

О

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

который представляет собой

квадрат

 

нормы xfe)

как элемента

гильбертова

пространства.

 

 

 

 

 

 

 

 

Для того

чтобы задача шела реальный

смысл^необходимо

язкш-то

образом ограничить

управление

U(*•)

,

т . е . определить

область

управления,. Если этого ке сделать, то тем самым допускается су­ ществование слоль угодно больших управляющих сигналов, что не-

вогчожно.

 

 

 

Ограничим корму управления

 

 

ІиЧі

= lut--

У,

С 2 ) _

в

-65 -

т. е . будем считать, что энергия управляющего сигнала конечна. Нам надлекит минимизировать функционал (I) при изопериметрическом условии (2), что, как известно, эквивалентно миними­

зации функционала

»

 

 

 

где

С - есть множитель Лагранаа.

 

 

 

Итах^в качестве оптимизирующего функционала примем функцио­

нал

% . Постоянную

С будем считать

известной. Сформулируем

окончательно

нашу ^задачу.

 

 

 

 

Требуется

найти

закон

управления

U 11/А^объектом,

возму­

щенное движение которого

описывается

уравнением

 

Оптимизирующий функционал имеет вид:

f(x'+cul;</t

о

Запишем уравнение объекта в виде системы

Имеем общую задачу Лагранаа на условный'экстрему»! п±и.кеголо-

ВОМНЬЕХ свяаях ;

Составляем вспомогательную функцию

 

 

. £'*Х?

+ Си'+Л, У, +Лі%

 

,

и находим безусловный экстремум функционала

ff

Vif

» ÇF*''XI

>^,iyjdt

при граничных

условиях х,(о,> - -тг°

;.

х,іо ) = о

 

 

Х7(ы>) = О

\

Хг (oo)s. О.

Смотрите также файлы