Файл: Осипов В.М. Математические основы кибернетики. Начала вариационного исчисления и элементы теории оптимального управления учеб. пособие.pdf

Введем новое обозначение

Я- -

У£

,

тогда P. - Q + ¥•

n

n

H(i,x, % и ) - £ ft/é

=

У у*

xL

Функции времени Ч,і_(і}(і-і,2--п)ъсчъ

теже множители Лаграика.

Они отличаются от канонических переменных

Р± постоянными Ci

и, следовательно, имеют тот же физический

смысл,

что и Р- ,

т . е . являются импульсами

сил действующих

внутри

нашей физичес­

кой системы и определяющих

направление движения.

Функция Га­

мильтона

H имеет

смысл

полной энергии системы

(или мощно­

сти) .

Система

уравнений

Эйлера теперь запишется так

Х'=/і

(Х,, Хг r..X„ ; U,,Ut,...Urn

, t h/i(X,U,iJ

fL*f,i

X -

фазовый вектор,

a

U

-

вектор управления.

Нам нужно перевести

объект

из начального состояния х * в

рованное время

T-t0 , причем так, чтобы доставить экстремум

функционалу

„

S--2cKxK(T)

(с,х.(т))

Кг/

выбирая надлежащим образом

управляющие функции <-*і(і/,- Um it) (

рое

минимизирует

функционал

S

(или максимизирует). Подстав­

ляя

U в систему уравнений

объекта и решая её, мы найдем оп­

тимальную траекторию х(і)

и оптимальное значение конечного

состояния х(Т).

Возьмем другое

управление

a также

ü+du, t)-£(£,û,

ij U « /,*..- -n)

Лс -- f

[x + éx,

Умножши ode

стороны этого

равенства

na fi и просуммируем

Î. ъ foi

= t

%lh (x'fe.J*fu>

tJ]

4 -/

I'/

Уаноаам теперь обе части последнего равенства на dX я л*ю»ія-

тегрируек s

пределах от

tc

до Т

:

- 83 -

т

т

è' "

С

П

*ft-(*+tx>û+ ^V -А(*'й> 1и р/£ •

[ I л^Н- ^:

J

Преобразуем интеграл

слева. Очевидно,

с/"

*хі =

Г

"

| Vi fài •

Зі^Ч

J-,

П <Ѣ +

Гавтѳгрнруя в тех же пределах

найдем:

Г

т

тп

откуда

г

.

Г

г „

J X vi А ^ » Ъ Л;- / - J £ ^ А

ледозательно,

_

T

T

'

te

-6)

Рассмотрим выражение в левой

части

равенства

*,

*»'

£x{tj*0

fi '- *Лі-п),

левый конец закреплен ,

^г/ - " Q

согласно граничного

условия на правом конце

л S

- приращение функционала S,

обусловленное

вариацией

управ­

ления в

районе оптимального, т . е . л S - отклонение от

экстремального

значения.

Таким образом,

^

-AS'H

Vi A dt * Il

Vi [f(

(x+tx. Û+fa. t)-к

Ix, Ü, ij]

dt

/г (x+àx,

J+iïu.

t)-fi(x~,Û,i)*(£,u+tu,i)-fi(x,U,i)*.

t У — — r

OX; .

получим главную часть приращения по траектории.

ІІодиятегральная функция теперь запишется в

виде

л

п

-fc(x-,û,é;]

+ l L

Vi —

^ * /

•

то

выражение для

/і S

можно представить так

à

S

--

f I

ъ [fi

(x,u+£u,tj-fi(x,ü,

iß dt

-

-

I

I

f ^ è

[hl£,u+tu,t}-fit£At)]<tx.

dt

Предположим для простоты,

что

J- (£,Û,iJ

есть линейная функ­

ция относительно

-X

,

т . е .

тогда

дх~;

"7

и второй интеграл

в выражении

для

Л S

будет

равен нулю.

Для оассматоиваемого

случая à. S получает вид

Ï я

ifi

fr

о*

<tu, éJ-J

(£,

ü,

ißdt