Файл: Осипов В.М. Математические основы кибернетики. Начала вариационного исчисления и элементы теории оптимального управления учеб. пособие.pdf

числе к для весьма малого, поэтому знак интеграла должен сов- „ падать ос знаком шдинтегральной функции в любом случае. До­

\L это означает, что оптимальное

—* управление и доставляет макси- х(3}?',<и,г/ мум гамильтониану А"'

т . е . в этом случае оптимальное управление доставляет минимум гамильтониану. (Рис.15)

Заметим, что эти вывода сохраняются полностью и для случая не­ линейных дифференцйельнж сравнений. Доказательства в этом слу­ чае оказываются весьма сложными и мы их опустим, итак мы полу­ чили следующую теорему, выражающую знаменитый принцип максиму­ ма ШнтрягЕка:

"Если управление иfi J минимизирует (максимизирует) функционал

а на управление не наложено никаккх ограничений (т . е . об­ ласть допустимых управленай - неограничена)»

Введем новые переменные Z'., ~ X та

О

врезультате получаем систему

=- ах, + U - Л

Задача сводится к минимизации конечного значения координаты

Хг т . е . S= xt(rj.

Таким образом, в згой задаче

С,--О J G?/ .

Составляем гамильтониан (сначала сопряженную систему для У )

Всиовюгатзлькое ёушщш ^ Д Ѵ

Рис.16

к fyfij определяют только моманти перекяючгкияо Щтщв шксяыума, вообще говоря, является необходвдш усжшуаш ош-

тгшальиостн. В одном вадндм частном случаи, когда урашеша задачи линейнш относніально коордшат, г. е.

и

J:f t *

принцип кадсішуша является se только необаодшым, ш и до ­ статочный условием оптимальности.

-89 -

3.Принцип максимума для задач, в которых время движения не фиксировано заранее

Впредыдущем случае мы предполагали, что время, за которое нужно осуществить оптимальный процесс фиксировано,

резузьтаты должны, очевидно, оставаться в силе а в том слу­

иеЕзвзстка, необходимо ещё одно условие, которое позволило бк опред&дать Та

Из зарнационнсгс ясчжслѳкнк известно, что есле правый конец экстремаан за эакрезден, то вариация функционала обусловлен­ ная перемещением правого конца равна нулю. В нашем случае получаем ДДЕ Х- Сij ;