Файл: Некоторые специальные разделы курса теоретической электротехники учеб. пособие.pdf

- 6 7

-

между собой. Изучение

геометрических

свойств схемы* , в том числе

и электрической цепи,представляющей

собой ЛИНЕЙНЫЙ графодна

из основных задач теории графов.

Ниже на конкретных примерах рассматривается использование

теории графов в расчете электрических цепей.

§

2

. Использование графа и его элементов в подсчете

узловых определителей и алгебраических дополнений.

Рассмотрим задачу расчета

некоторой

электрической, цепи,

например,

приведенной на рис.1

. Будем полагать известной

величину источника тока и все проводимости ветвей.

Начнем с определения входной проводимости цепи (относитель­

но -зажимоь

источника).Обозначив

её

Y j *

, имеем:

t

где

Чи

- разность потенциалов между указениши зажимами.

Для её определения воспользуемся известным методом узловых

потенциалов.За базисный

узел

примем

<'

. Тогда ;

Ц Д и ^ ,

где

if,

-

узловой

потенциал. Но правилу Крамера

где

Л

-

общий ,

а

Ді

-

частный определители системи урав­

- «Лб * Чг(Ь*с*е)-

4>*е -

б

-

4id -Чге

*

f,(at*e*fl-6.

имеем:

(a+b*d\

-S

-d

«

-в -с*

-Ь

tt*c*e)-t

Ai

-

-d

- е

(d*t*tf

§

-е (d*e*S)

кое дополнение

|(Ь+с*е) -

е j -алгебраическое

4 « e 3 a „ ,

i8e

А"

*

[.e.(cL*e*S)\

дополнение..

В этом случав входная проводимость цепи

ї в * - ^ -

или

Убж -

.

Раскрывая, общий определитель обычным способом,

после

взаимного

уничтожения, 22

слагаемых из 38

, получим:

А = abd

*а6е +at>S*aed

4

+ aee. -ac/ + aed *atS

*••

* Bed

+ dee + всі • bdS * ieS *dcf*dce

+def.

Анализируя полученное

выражение находим ,

что оно представляет

собой, полином,

степень

которого на единицу меньше числа узлов

схемы ( число узлов -<ь

для рассматриваемой! схемы равно

четырем).Кроме

таго,

оно является суммой: всевозможных комби­

наций произведений проводимостей ветвей,

не -образующих замкну­

тые контури.

Д« = hd *bt * 6 i * c d + c e

* - c/*de+/e

или

перегруппировав члены:

&H=(d+S)e+(b*c)e

+(l*c)(d+S).

Как видно из приведенных соотношении, Ан

-

полином. < ф - 2 )

ящие из отдельных, в данном случае

2-х, частей. При этом одна 1

из частей может состоять только из

одной изолированно* вер­

ных уэлов.

;

Иными словами, приведенные подграфы

имеют различную связ­

ность относительно выходных зажимов.Подграфы подобного вида,

содержащие все вершины исходного графа,

состоящие из двух

частей, и не имеющие замкнутых контуров называют двойными

деревья­

ми.Под величиной, двойного

дерева

понимают произведение

проводи-

мостеи. его ветвей. Обозначим

её через

Тг*,|'

|ГДе

индекс

2 указывает

на наличие двух-

несвязныхад-

частей,

а

І , і '

на

различ­

ную

связность узлов

I

и

I .

Фигуры, второго

вида

(рис.36)

, как нетрудно

видеть,представ-

ляют

собой, деревья нового

графа,

полученного из

исходного

замы­

канием накоротко

входных

узлов I

и

I .

Итак:

Ди = 2йТл.»'

»

определение

входной

проводимости це­

пи с

использованием

графов

сводится,

таким образом, к

нахожде­

нию чаетдапо

от деления, суммы величин деревьев

графа

(

без уче­

та источника)

на

сумму величин двойных деревьев

различной

Входная

проводимость - величина, в линейной, цепи не

зави­

сящая от приложенных источников энергии и поэтому для её

опре­

деления безразлично, питается цепь от источников тока или от

источников аде. При питании цепи от источника аде

сформулирован­

ное правило

определения входной, проводимости остается в силе .

Известная! проводимость позволяет в этом случае

определить вход-

вой ток

Поставим новую, более общую задачу расчета цепи,

представ­

ленной на рис.1.При известных параметрах цепи и источника

тока

(или эде) определим ток в ветви 23 с проводимостью

е

Выберем положительное направление искомого тока

от

узда

2 к узлу 3. Тогда по закону Ома : 1е=Ц*з-е

і"1 "

і