Файл: Малоземов В.Н. Совместное приближение функции и ее производных.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 02.08.2024

Просмотров: 76

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

2.Теорема 4.1. Если функция f(x) имеет на отрезке [—1, 1]

непрерывную производную r-го порядка, то для всех S E [0 : г] и X е [—1, 1] при любом натуральном N будет;і:

где со(б) —co(f(r); ô ) — модуль непрерывности г-й производной функции f, а Аг -— константа, зависящая только от г.

Доказательство этой теоремы опирается на две леммы. Лемма 4.2. Пусть функция f(x) имеет на [—-1,1] непрерыв­

ную первую производную, причем

IГ W к

Ѵі - Х*

I

1 V — 1

 

 

 

N

 

N2

Ш

 

 

где X Œ [—1,1];

ѵ — натуральное

число

и

ш е й .

тех же X выполняются неравенства

 

 

 

 

|/(* )

РN, ѵ+1 ( /;

X)

< а '!)

/ і - * »

I 1

 

N

"г /V.2

 

X Ш

У 1 — &

 

1

 

 

 

'

N

 

N-

 

 

и при S E [ 1 : V ]

(4.3)

Тогда для

X

(4.4)

 

N

1

Y (YÏ - X-

*

., (4..5)

1

 

N2)

ШV /V

^ N2

 

 

Константа

зависит только от v.

 

 

 

 

Д о к а з а т е л ьство. Положим у = arccosх. В этом* случае s i n y = ] / l — X2. Учитывая (1.1), (1.11) и (1.9), записываем

/(* ) — Лѵ,ѵ+і ( /; х ) = J [ / ( c o s y ) —/(cos (£ +

+ у))] UNt V+1 (t) dt.

Функция чр(/) =f(cos(t+y)) непрерывно дифференцируема на всей оси, причем ф'Д) = —f'(cos(t+y))sin{t+y). По формуле Ньютона — Лейбница

t

j 'y (2) d z = ф ( 0 - ф ( 0 ) ,

о

или, что то же самое,

t

/ (cosy) —/(cos (t + y)) = J f (cos (z + y)) sin (z -f y)dz. 0

* P. M. T p и г у б [31, 32], B. H. М а л о з е м о в [17, 18].

Теперь имеем

 

 

 

/( * ) — PNt V+1 ( /;

x) = j

^j f (cos (z -I- y)) sin (г +

y) dzj X

 

r.

t

 

X ^ Vlv+ l( 0

dt== j

[ [/'(c o s (2 + y))sin(z +

y) +

00

+/ ' (cos (2 - y ) ) sin (2 - y ) ] UN ,l+1(t)dzdt.

Меняя порядок интегрирования, получаем

/

ix) - PN, v+i ( / ; *) =

f [ f (cos (2 +

y)) sin (2 + y) +

 

 

 

Ô

 

 

 

 

+ '/ ' (cos (2 — y)) sin (2 — y)] I UNt v+1 (0 rffafe.

Введем обозначения

 

 

 

 

 

*» M “

+ /

. V Ni,+1 (2) =

j

U„ 'V+1 {t)dt.

 

 

 

 

z

 

 

Поскольку в силу (4.3)

 

 

 

 

1 t

 

 

 

 

TZ

 

J f

(cos (2 ±

y)) sin (2 ± y) V Ni „+l (?) dz

<

J j sin (2 ± y) I X

 

X ( \ л щ ± т + ^

■„ ( l ü ü i i r t , +

X

то неравенство (4.4) будет доказано, если удастся установить, что

R ( ± у) < 4 " Ч ) ш (8* (■*> ) • - (4-6) Для этого заметим, что если 2 е [0, я], то

|sin(2 ± y ) | + - i - ^ z

+ siny +

- ^ - < •

< \N z + 1 ) (sin у + 4 -) =

N iN z +

1 ) 3/V( X) .

Далее

» ("‘"‘‘У ' 11 + / ) <

+ 2>» fiv W ).

 

 

 

 

 

 

 

 

sin-Nt

 

\ 2ѵн';4

^ д 7, ѵ+ 1

( г )

—

\

 

ч+і №) d t —

ѴЛГ, ѵ+ 1 ]

У дг gin

 

dt<C

 

 

 

Г2ѵ+4

 

 

JVM2V+4

 

sin ■

 

2v-f- 4

 

 

sin

 

_2ѵ+4

 

 

< 7ÏÏT

ІѴ

 

/W2-J

d t <

 

 

ûl/г.

л

ѵ + 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теперь имеем

 

 

 

 

Ліг

 

 

 

 

 

дг-2ѵ+ 4

.

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ж

±

У )< ~~77П 5Л; (•*) “ (8Л' (Л)) X

 

 

 

 

 

 

 

л(1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Уіѵ-ЬІ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2ѵ4- 4

 

 

X

)

(Л& +

1)ѵ(Л/г +

2)|

[ [ sinj T j

dujdz<s£

 

 

 

 

 

 

\Л7г

 

 

 

4ѵ+4

 

 

 

 

 

 

 

“ /

„

\ 2ѵ+ 4

* М

М

- * 0 )

(/ +

1)ѵ(^+ 2)

sin-

 

dudt,

< ^ 8 Ж

J

 

Л+1

 

 

 

 

J

 

 

 

 

причем

00

. 2ѵ+4

 

sin ■

( * + ! ) ’ (*+ 2)

 

t

 

, 2ѵ+ 4

 

sin -

X

dudt +

d u d t < )

(Н- l)v(< +

2) X

0

 

 

 

{t + l)v(/ +

2)

du

d t -4.

^+4

:з-2ч

 

sin- iL \2v+4

 

 

1

(t + l)v (t + 2) dt.

 

— )

du +

 

 

 

 

 

 

2v + 3

2v+3

 

Неравенство

(4.6), а вместе с ним и

(4.4), доказано.

в силу

Переходя

к

оценке

P'N

г ( /; х),

замечаем, что

(1.11), леммы

1.3 и (1.9) для X œ (—1,1)

 

 

P'N . ѵ+1 ( /; *)■ = у —

j

f

(cos (14- y)) sm (t + y) X

X UNt v +1 (t) dt = y - L ^ - j

[ f

(cos (t + y)) sin {t +

y) —

"X~ 0

—f (cos (t — y)) sin (if — y)] UffiV+l (t) dt.

Рассуждениями, аналогичными предыдущим, устанавливается, что для х е (—I, 1)

 

IPN,ѵ+

 

(/; х) I

 

 

N

 

sÄ ' W ® ( V W ) x

 

 

і

VT-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N z

Лі+І

 

 

 

 

 

 

(А^г-f l)v(/Vz + 2)

Sill -

 

dz-Y

 

X

TN, V+I

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(:hf sin -

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

<

N

 

 

 

,

 

,

n

2v+4

 

 

 

 

 

 

Y \ —Jta

8 * ( X )

со (8д, ( X ) )

 

л(1)

\

( и +

1 r

( « +

2 ) X

 

 

 

 

 

 

 

 

лѵ+1

 

 

 

 

 

 

 

(i

\ 2 v + 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Sill -

 

 

du = A™ ■

 

N

=•8ЛГ(■*) tu(8yv (x)).

 

 

X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/ I

— л2

 

 

 

 

 

Полином P'N V+1 (/ ;

x)

имеет, очевидно,

степень, не превышаю­

щую (v+ 2)N=n.

 

Обозначим

его

через

Gn (x).

Поскольку

àN(x) ^

(v-I-2) 2ôn {x), то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

| G , , ( x ) | <

, 4 < 3 ) ( v

- f 2

f

+1

Y î —x2 K (x) CO(8n (x)).

 

Воспользовавшись леммой 3.4, для х е [—1, 1] получим

 

 

I Gn (x) I <

A<2)A<3) (V +

2)2ч+і8Г1(X ) ш(8„ (х)).

 

В силу

теоремы

3.1 при

s e [ l : v

— 1]

 

 

 

 

 

IGis) (x) I <

A

, _ Ä

3) (V +

2)2ѵ+і8Г1_" (X ) со (8„ (x)).

 

Из последних двух неравенств следует требуемое:

 

 

I Я#ѵ+1 ( /; x) I <

Ä

" S (x) ш(о,j

(x)) <

all% 7s (x) o>(М * )),

где s e [ l : v ]

и

X œ

[ —1,1].

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Лемма доказана.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Напомним определение функций Ф/4:

 

 

 

 

 

' Ф 0 = / ( г ) ;

Ф к = / [ Е - Р т ) [ Ф „ - 1 ) , £ е = [ 1 : г ] .

 

Лемма 4.3. Если /(х) ішеет на отрезке [—1, 1] непрерывную

r-ю производную, то для всех ѵ е [ 0 : г ]

а х е

[—1,1] будет

ds

( £ - ^ . , +і)(ф,; x)

<

Ä

T

 

( х )

со ( / < г); S/v ( x ) ) ,

( 4 . 7 )

dxs

 

где s e

[0 : ч],

 

(x) =

^

 

 

+

—

и

а*2)

— константа,

зави­

сящая только ОТ V.

48

Д о к а з а т е л ь с т в о проведем индукцией

по ѵ.

Пусть ѵ = 0. В этом случае неравенство (4.7)

следует из тео­

ремы 1.2, если учесть, что Ф0(х) =/<г>(х).

 

Допустим теперь, что утверждение леммы имеет место при v = k — \< г, и- докажем его справедливость при ѵ = А.

Рассмотрим функцию

®.(М= ({Е -Р шк®,-,; t)dt.

-1 '

По индуктивному предположению

I ед (X) | = | [ Е - Рт

) (Ф*_і;

х) I < a£LФ ^\(х) <о ( / (г); 8Лг (х) ) .

Значит, в силу леммы 4.2

 

 

 

I

PN,f t + i ) ( ® ê ; х) I

а*1'

( ;с ) ш

8 д - ( х ) ) ( 4 . 8 )

и при

s œ [1 : k]

 

 

 

 

 

I Р/ѵ,к+ 1 (Ф/Ц

х) I а

au - i ^ N

s (х) ш ( / м ;

8д- ( ^ ) ) .

Снова воспользуемся индуктивным предположением. Это дает для всех s f= [1 : /г]

 

 

 

 

rfS~1

 

 

 

dxs

 

 

X)

dx

 

 

 

+

I

(Ф*; х) I

(ßft-i +

 

Syv 5 (х)

X

 

 

 

X o ) ( / (r); 8JV(JC)).

 

(4.9)

Объединив (4.8) и (4.9), получим требуемое.

 

 

Лемма доказана.

тео рем ы . В силу (4.1)

 

Д о к а з а т е л ь с т в о

 

f

s) (X) -

(S)

X)

 

Px,r + i) (®i4

XY

Qffl ( / ;

dx*

 

 

 

 

 

 

 

Остается воспользоваться неравенством

(4.7) при v = r.

Теорема доказана.

 

 

 

 

 

3.

Более удобна для приложений другая форма теоремы 4.1.

Теорема 4.2. Для всякой функции f{x), имеющей на отрезке

[—1,1] непрерывную r-ю производную,

и любого натурального

п ^ г найдется такой алгебраический полином qn(x)

степени не

выше п, что при всех s е

[0 : г] и х Œ [—1,1]

будет *

l / W(х)-Цп}( *

) |< Л

Гг Г

 

Г

1ПТ-

^ /г-1

Константа Ar зависит только от г.

* А. Ф. Т и м а н [28], случай s —0.

Смотрите также файлы