Файл: Малоземов В.Н. Совместное приближение функции и ее производных.pdf

Значит.

I Л, (cos (* +

e

)

)

+

i)| ' ( « | <z | + 2)X(

a

|

X

(3.7)

Положив

x'= cos0,

где 0 <

Ѳ<

л,

воспользуемся

соотноше­

ниями (3.6) и (3.7). Получим

IК (л:) I<

22г-Ил2

/1 -

+

VT-

+

X

т- ѵт- ■XJ

sin

nz

2Г+4

X

(л|г) +

Г)г(«1г| + 2)

~2~‘

dz.

n sin

z

Остается заметить, что

sin

nz

2r+4

22г+4и

dz

( д | г | + ' 1 ) Г(/г[г( + 2)|

4 _ 2 ^ V L

(2/iz -f- 1)г (2/12 + 2)

I р п (JC) I <У 1 — х*

Ÿ \ —х*

( V 1 — л2 , 1

(3.8)

+

0) I------------ {--- -

\

п

1 /7-

где ш е Q, то для всех х е

[—1,1] будет

кт-:

/г3

Ѵ\ — Х2

^

К

пѴ і

1+

-С 1 +

Л

— х?

1

• < 3 .

(3.9)

п'Ѵ1 - 1

Отсюда и из (3.8) следует, что при ѵ=1

и |л:|<; 1 — ^

выпол-

няется требуемое неравенство

■ К

К

l < 3 « o ( Æ ^

+ 4 r) .

(ЗЛО)

Осталось рассмотреть случай

1 —

<

( х |

1.

Положим

Q„ (г) = Рп^1 —

,

где г е

[—1,1].

Тогда в силу

(3.10)

и

неравенства ] / а +

b

+ Y b ,

спра­

ведливого для любых неотрицательных а и Ь, получим

Qn(2 ) К

З

«

1

2/7=

z

=

к <>

Зш

V ' - ^ + W

, 1

( . К К + Л г і -

(3.11)

К полиному - g 'Q„ (г) применим лемму 3.3 при

*■

даст

г= 0. Это

В силу леммы 3.1

I Q/i ( z )

I

6A

QÂ

O ^/1~U) (— 'j,

2 œ . [— 1,1].

Учитывая,

что

Q„ (г) =

( 1----Р'„ [{1 —

}z),

записы­

ваем

шах

I Р'п (х) I <

2 . . . I

/

1

-

12Д04 Ѵ «

г

U K i - - ^

откуда в силу теоремы Б.1 следует, что

шах

I Рп (х) I <

ігААо-Ло'Ѵш

= Лі/г2ш

,

(3.12)

где Л1 — абсолютная константа.

I Р„ (X) I =

\ р п { х ) ~ р п (\ -

-*У1 +

Рп f

-l

і

j"

P n (z ) d z Q n(\)

<

2na

n

‘

n-

При \’ = 1 лемма доказана.

леммы имеет

место

при всех

Допустим, что утверждение

и докажем его справедливость при ѵ = /г + 1.

Если | а | <! 1---- ^ ,

то в силу

(3.8) и (3.9)

+

п

+'

11-

(3.13)

Положим Qn (z) — Рп[[і —

г ] . Также,

как

и

раньше

(см. (3.11)), показывается, что для всех г е

[—1,1]

ІО,Л2) К

п

1

ti­

ll

Р

+

'

пг

з .2 * + '( £ ІН 2 +

Т ) ' »

( ^

1

ложение, при «= 1 , 2 , . . . , А и г е

[—1, 1] получаем

Qhs) (г)1<Д (,)^У1 - . 2*

.

1

У"* „ f / 1 -г*

,

1

(3.14)

ы

п

+ ■

п

'

II-

'

п-

Кроме того, в силу лемм 3.3 и 3.1

[(З Г , , И І < / 1 Г ,,Л . ( А ) .

Поскольку

Q(n'-1(г) = ^1 — - ~ J Р У

2,ï- z

,

то

.

max

!РІй+1)(а) |< 2 а+1^

+1)и2шШ

,

1-ѵI ^ 1 —1JF

так что в Силу теоремы Б.1

max

2 / 1

(3.15)

I Pik+1) (а) I < 2 6+1Д ^+1)Д/г:ш

/г-

л-е 1-1,1}

‘