Файл: Малоземов В.Н. Совместное приближение функции и ее производных.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 02.08.2024

Просмотров: 80

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

причем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

^ + i > ( * ) |< V 2m( / <0; дг)-

 

(5-3)

Здесь s e

[0:r],

х е

[-1 ,1 ]

и п > г ,

 

 

Обозначим через

G2,-H M

алгебраический

полином

степени

не выше 2г + 1, для которого

 

 

 

 

 

0£Ѵі(±1)

= / W( ± l ) - ? (ni)( ± l ) , s e [ 0 : r ] .

(5.4)

Как известно

(см. Дополнение

В),- G2r+\(x) можно

предста­

вить в виде

 

 

 

 

 

 

 

 

Озг+і (х) =

2

(1 -

*2У W + i ( - 1 )a,j (х) + Giï+i (1) Ьту■(*)},

 

 

/ = о

 

 

 

 

 

 

 

где а,-j (х)

и

b,-j{x)

— некоторые

полиномы

степени

не выше

2(г —/) + 1.

 

 

_

_g

 

 

 

 

Положим N =

 

 

. В силу следствия из теоремы Б.2

для любого / е [0 : г] найдется

Œ # JV такой, что

 

I (1 _

X2)J _

(1 _

Л'2)

- ^ .

(1 - Л'2) |<

І у , Г + І — /

(5.5)

Введем обозначение

 

 

 

N2j.'

 

 

 

 

 

 

g (*) =

2

{(1 - ■**)' “ (! - *8)r+1/?*y a - *2)} X

 

 

y =°

^

 

X {C?î/+i(— 1) arJ (X) + Gttli (1 ) brj (X) }.

Функция g{x)

является

алгебраическим полиномом, степень

которого

не

превосходит

2r+2+2N + 2r+ 1 = 2 Я + 4 г+ 3 ^/г.

Поэтому

будем

писать g(x) =gn(x). Искомый полином gn(x)

определим следующим образом:

=

+

 

 

(5-б)

.Покажем, что для gn(x) выполняются неравенства

(5.1).

Лемма 5.1. При п ^ 4 г + 5, s e

[0:г]

и ж = [ —1,1] имеют

место соотношения

 

 

+ і ) ' -

г x

I/и <*> - gP <*)I< А ? [ Щ

Х

X » ( / w; Х І Е Х +

-L) ,

(5.7)

- | г Г ' > М | < 4 ' Ѵ « ( / м ; ^ ) ,

(5.8)

/ (") ( ± 1 ) - ^ ’ ( ± 1 )

=

0.

(5.9)

Константа АТЬ) зависит только от г.

,

 

 

 

.54

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Прежде всего

заметим,

что при

/г^4г + 5

 

 

 

 

 

 

 

 

1 < ( 4 г + 7 ) і .

 

(5.10)

 

 

N

 

 

 

 

Действительно, если я е

[4г + 5 : 4г + 6], то

 

 

 

 

1 = l < ( 4 r + 7)-J-.

 

 

 

 

N

 

 

 

 

Пусть n^zAr+7. Тогда

 

 

 

1

п

1

<

—

< (4г + 7) —

N

п — 4г — 3'

п

^ _ 4г + 5

п

 

 

Неравенство (5.10) установлено.

 

 

 

Теперь в силу определения gn {x),

(5.5),

(5.4), (5.2)

и (5.10)

имеем

 

 

 

 

 

 

iI,м

I< Л» ±

»(/«; 4 )< 4 ”

+ 4г)'х

х е

Воспользуемся теоремой 3.1. Это даст для

всех s е

[0 : г] и

[—1,1]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

гМ (X) < А Л » І Я = * + ± Г

X

 

 

 

 

Хсо

/'>• У Т= *

+ ± ,

 

’

(5.11)

 

 

 

Л

\J

 

п

 

’ ~ п2)

 

 

 

 

гГ+,,М І<л,4Ѵ»(/и; 4).

(5.12)

 

Объединяя (5.3) и (5.12), получаем (5.8). Неравенство (5.7)

следует из (5.6),

(5.2)

и

(5.11).' Осталось

заметить,

что при

s e

[0 : г]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f s ) ( ± 1)

-

g ,P(

( ±

1 ) =

;(■?)

 

 

 

As)

 

 

Огг+і ( ± 1) -

g if' ( ± 1)

 

 

_ЁІ (1 -

x 2)r+1 2

^V;(l

-

X2) \Q ii\ ! ( - \ ) a rj(x) +

 

dxs

 

7 = 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ G ^ . I ( 1 ) ^ W |

 

= 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Л‘ = ± 1

 

 

 

Лемма доказана.

 

Теперь

нетрудно

установить

справедливость

неравенства

(5.1). Действительно, зафиксируем я ^ 4 г + 5 и s e

[0 : г]. Если

 

X

 

 

то

(5.1) следует из

(5.7), ибо в этом случае

 

 

І/ и

(X) -

gl? (X) I

< 2 Г+ІД<1) (:^

- )

Г~* X

 

 

 

 

 

 

Хсо

fW.

/1

-

Л?

 

 

(5.13)

В силу (5.9)

неравенство

(5.1)

выполняется и при х = ±1.

 

Пусть

теперь

] / l —x2< - L ,

причем

х ф ± 1. Положим

т

1

 

 

 

Очевидно, т — 1

-У 1 —

< т %так что

= ;У 1 —л2.

1.

 

 

 

—

< т / і - х

2 <

—

,

у 1 - х * <

— Ц - .

(5.14)

 

 

 

г»

^ г

 

^

п

»

f

 

т

— 1

 

На основании

(5.9)

 

и равенства x=|x|s ignx

будем иметь

 

Igm (JC)

-

gnS) (х) I= I [gm

(JC) -

g(? (JC)] -

[gif (S ig n JC)

 

- g l ?

(signJC)] I =

J

[gm+ I) ^ ) - g [ f +1)(0] d t

= (1 — |jc|)|gm+1> ( C x ) - g [f +1) (Cx) I ,

где |x| < |£i| < 1. Аналогично получаем

I g if

(je) - g î f

(je) I < (1 -

1je] )r- ,+I I gi;+:i) (Cr_f+ .) -

 

 

 

— g ir+1)(Cr-J+l) I, .

 

 

где IX I <

JCr_ ä+11<

1. Отсюда

в силу (5.8),

(5.14)

и (Г.5) сле­

дует, что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L (f(r>;

JL)

I g 'f (JC) -

g</> (X) I

(1 - *?)'-*+' (

i

+

+ ^

11Hr

 

( / 1

- X 2)2{r~s+1)

(/ (r); Lp) <

 

 

 

 

fC).

У 1 — X3

 

<

12X1’

/И ; У 1 -X*

(5.15)

С другой стороны, поскольку Y 1 — д;2> - ^ - , то по доказанному (см. (5.13))

Объединяя (5.15) и (5.16), получаем требуемое. Действи­

тельно,

 

 

 

 

 

 

 

 

' I / (,) (х) — gns) (х) I<

| / (f) (х) -

g % (Jc) I + I

(X)

- g nl ] (x) I<

Теорема доказана.

без труда

может быть перенесена на

случай

2.

Теорема 5.1

произвольного конечного отрезка [а, Ь]. -

непрерывной вместе

Теорема 5.2. Для всякой функции f{x),

со всеми своими производными

до г-го порядка

включительно

на отрезке [а, 6], и любого натурального

/г^4 г+ 5 найдется

такой алгебраический полином hn (x)

степени не

выше п,

что

для всех s œ [0 : г] и х е [а,

Ь]

будет

 

 

 

 

 

 

^

А Г (

 

Г — S

 

 

 

х ) ( х — а)

X

 

 

| / (s) (x ) - h W ( * ) | < а

(-

 

 

 

Константа Аг зависит только от г.

Доказательство вполне аналогично доказательству теоремы 4.4.

НАИЛУЧШЕЕ СОВМЕСТНОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ И ЕЕ ПРОИЗВОДНЫХ

§1. Суммы Валле-Пуссена

1.Пусть Sn (f; X) — гг-я частная сумма ряда" Фурье 2я-пе- риодической функции f(x), интегрируемой на отрезке [0,2л]:

S n (/;

X) = 4 - 1 f ( t ) Dn ( х - t) dt =

= 4-

2/î + l {x — t)

■dt ,

2 sin x — t

 

где Dn{u) — — +

^

cosk a — ядро Дирихле.

é= 1 Суммой Валле-Пуссена называется следующее выражение:

п + т

c«m( /; X) = — T f 2

•*) (Л>0, га>0) .

k =

п

Очевидно,

2я

( /; X) = 4 - 1 / ( 0 к яи (X— о dt= 0

= 4- f Я * - о v n,n (t) dt,

' (1.1)

~\ ô

1 л+m

г д е V nm ( и ) =

2 D k ( « ) •

Поскольку

П щ

fl + Tfl

. I

1 \

 

 

. 2п-\- т + 1

 

. оі 4- 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

s m

I Æ 4 - - 2~ I «

S l n -------- 9---------к

s i n — ^— 11

ft = п

 

 

 

2 sin

и.

 

 

 

 

2 ski­

ll

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ТО

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j

.

2 п 4- т 4- 1

 

. то 4- 1

и

 

 

 

 

s m

----------g--------- ■»

sin — ^—

( 1.2)

V пт ( Л

то 4- 1

 

 

2 s in 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

При л = 0 сумма Валле-Пуссена ö0m(f; х)

 

носит название суммы

Фейера и обозначается Fm(f\ х). Таким образом,

 

 

 

( /;

jc) = 4 " j

/ ( 0

n ( x - t ) d t ,

 

 

где в силу (1.2)

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/И

 

 

 

 

/И

 

то 4- 1

 

 

Ѵ 0т (и) =

то-4- 1

V

0 ( ( « > - 4

+

у

 

 

 

COS Æ« =

 

 

т 4- 1

 

 

/г =

О

 

 

 

ft= 1

 

 

 

 

 

 

 

 

,

то 4- 1

а

\ 2

 

 

 

 

 

1

'

s in — 4—

 

 

 

(1.3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 (т о - И )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin -

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заметим, в частности, что Ѵ0т(и) > 0

и

 

 

 

 

 

 

 

 

r r j v 0n(u)du= 1.

 

(1.4)

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Приведем простейшие свойства сумм Валле-Пуссена.

Так как для любого тригонометрического полинома Тп ^ .Н Тп

при k ^ n будет Sh{Tn, х) = Тп (х), то

 

°ппЛТп, х ) = Тп{х),

(1.5)

Далее, из (1.1) следует, что

 

с«,„(/; X) *=aam(f'; X)

(1-6) •

в случае, если 2л-периодическая функция f{x)

имеет непрерыв­

ную первую производную. Наконец, в силу (1.4)

 

ІІ Л Л Я І К І І / І І -

(1.7)

3. Положим

 

Смотрите также файлы