Файл: Малоземов В.Н. Совместное приближение функции и ее производных.pdf

Лемма доказана.

тео рем ы .

Рассмотрим

вначале

слу­

Д о к а з а т е л ь с т в о

чай s = 0. В силу (2.4) и теоремы 1.1

II ? -

аяг(?) Il

=

Il

(Е - Тт у*> (?) Il = II (£ -

7)Vi) X

X

((£ -

г

»

і ! ' <?)) II <

A “ ((f -

Wjr -m ) '

(? );(2 .

N r

( 2.8)

При s = 0 теорема доказана.

(2.4)

и (2.5)

Пусть теперь s e

[1 :г]. В силу

?

( J )

-

G

$

( ? )

XII [ Е - т ту~>

-4<PW) II = 2s 1«pW- a N,r- t («,«) Il <

<

2 4 - S+I“ ( TW;4-) <

5(r)^~FT

N r

N r~

где x4r = max

s+1.

Теорема доказана.

j e

[0 : г]

С л е д с т в и е . Для

всякой функции

ф œ См и любого

нату­

рального

п

найдется

такой тригонометрический

полином

Тп œ И І, что для s e

[0 : /•] будет *

2г+1Дгш

1_

; п

7f>II <

Достаточно

положить

Тп = GNr (œ), где

N =

л

1,

и

вос-

~2

Лемма 3.1. Пусть п — натуральное

число

и

Рп{х)— алгеб­

раический полином степени не выше п. Если для X œ ( —

1, 1)

Рп (

А

I

У 1 — X-’

_ 1

(3.1)

1 -

<

п?

V

**

где и е й

— некоторый

модуль непрерывности

(см. Дополне­

ние Г), то для всех x œ [—1, 1] будет

I рп

(

А

I

<

А

«

Здесь Л0 — абсолютная константа.

1

Г,

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Допустим, что | х |

1 — 7ГТ ■ В этом

2п-

случае

■ В

силу

(3.1),

(Г.5)

и определения

класса Й получим

у 1 —

1А, W i e - У 1— Л-2

ут-

X-

< 2 (2«=) « Ш

+ 2А> Ш

< 6 А Ш .

Значит,

max

Рп (X) I <

6п2ш

ном Tn {t) порядка

не выше п (п — натуральное

число),

при

любом целом г^О справедлива формула *

Tn(t) = 22rn2

nz

2г

Т п {z + t)Hrn{z)\

dz,

(3.2)

где Hm — некоторый

тригонометрический полином, не

зави­

сящий от Тп, для которого на всей оси \Hrn(z) | ^ 1 .

Q2(ft+1),,3

. nz Ч 2 « * * 1»

s m -

Tn (0)

= ---

,

\

Гв ( г ) Ъ + ,іЯ(г)

^

z

äs,

(3.4)

n sin

причем

(2) I <

1. Формула (3.4)

справедлива

для

лю­

бого

тригонометрического

полинома

порядка

не

выше

/г,

и в частности для

Tn {x + t)

при фиксированном х. Таким

обра­

зом, при любом вещественном х '

(

nz

(А-І-1)

T',, ( X )

2~

sm —

dz.

Лемма доказана.

------ т -

п sin —

не

Лемма 3.3. Если

алгебраический полином Рп(х) степени

выше п при некотором целом г>0 и всех

х е

[—1, 1] удовле­

творяет неравенству

I Р п (

•

*

)

V 1 — X2

<

/1

-

Л*

(3.5)

п I

/г

где

ш е

Q, то для х е

(—1,1) будет

I Рп (X) I

А^п

У \ —х2

п

Константа АУ

зависит только от г.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Применим лемму 3.2 к тригонометри­

ческому полиному Pn (cos0), заменив в

(3.2) г на г+ 2: