Файл: Малоземов В.Н. Совместное приближение функции и ее производных.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 02.08.2024
Просмотров: 77
Скачиваний: 0
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Положим N - г + 2 -f 1. В |
этом |
случае полином QJV,-(f; я) |
имеет степень не большую, чем п |
(см. |
лемму 4.1). Его и возьмем в качестве qn{x). На основании тео
ремы 4.1 при всех s е |
[0 : г] |
и х е |
[—1,1] |
|
|
|||||
I/W {х) _ |
|
{х) I < Л Г ут^-д» |
, 1 |
у |
X |
|||||
|
|
|
|
|
|
N |
|
/V2 |
|
|
|
ч/ ... I |
f(r). |
Л |
л2 |
I |
1 |
|
|
(4.10) |
|
|
|
|
|
|
w------Ндпг |
|
|
|||
Заметим, что при п ^ г |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
1 < ( 2 г + 2 ) - і - |
|
|
|
(4.11) |
|||
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
Действительно, |
если п е [г : 2r+ 1], |
то |
|
|
|
|||||
|
|
1 = 1 < ( 2 / - + 2 ) і . |
|
|
|
|||||
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть п ^ 2 г + 2. Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|||
N |
п |
|
1 . г + 2 1 |
< ( 2 г + 2 ) — . |
||||||
|
+ 1 ^ 7 “ г |
|
п |
^ ' |
' |
' п |
||||
г-1-2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Неравенство (4.11) установлено. Из (4.10) и (4.11) следует, |
||||||||||
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| / (s) (л) - |
(X) [ < |
(2г + |
2 f +-2А, (р |
^ |
~ |
+ |
^ ) Г~ S X |
|||
|
|
х И |
Hr). |
|
V l - x * |
, |
J _ |
|
|
|
|
|
Л |
|
п |
' |
п- |
|
|
|
|
Теорема доказана. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
С л е д с т в и е . Справедливо неравенство * |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
2r+iA' J / r ) . _ L |
|
||||
l / W (*) - |
(*) 1< |
|
|
|
|
|
||||
a ö e s e [ 0 : r ] , |
х е |
[ —1,1] |
и |
г. |
|
|
[—1, 1] будет ** |
|||
3 а м е ч а н и е. Покажем, что при п ^ г и х е |
||||||||||
|
^ |
+1)( я ') |< Я « 2“ ( / м ; |
|
|
(4.12) |
* |
Д ж е к с о н |
[40, 41], случай s = 0 ; С е г ё [42], случай s = l ; |
А. О. Г е л ь ф о н д |
[8], общий случай. |
|
** |
P. М. Т ри г у б [32]. |
|
Q'vr+I) ( / ; |
X) |
= 2 |
|
|
|
(ф &; х ) = Лѵ! ( / (г); |
Л') + |
|
||||||
|
|
|
|
Ä = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 2 PN, Æ+X(Фа; .я). |
|
|
|
|
(4.13) |
||||||
) |
|
|
|
|
А= 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
На основании леммы 1.5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
P'N I ( / (г>; |
х ) I < |
АЪМ |
( / (г); |
8,ѵ(х)), х е (-1,1). |
|
|||||||||
|
Ѵ і |
— |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
JC2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Учитывая, |
что |
PN і ( / м; х) |
|
является алгебраическим |
полино |
||||||||||
мом степени не выше, чем 2N, в силу леммы 3.1 получаем |
|
||||||||||||||
|
|
I А Д / А |
х ^ в Л ^ л Л ^ / И |
. А -j. |
|
|
(4.14) |
||||||||
Возьмем теперь |
А е [ 1 : г ] . |
|
Поскольку |
|
|
|
|
|
|||||||
f ф* (X) I = I [Е - |
Рт ) (Ф*_і; х) I < А А А |
(X) со ( / (г); |
8дг (X )), |
||||||||||||
то на основании леммы 4.2 |
|
А'А-ко(/ <г); |
oN(х)). |
|
|
|
|||||||||
|
|
IP$k+і (Ф*; |
Je)! |
|
|
|
|
||||||||
Полином |
А * ГА |
(®s; х) |
имеет |
степень, |
не |
превышающую |
|||||||||
(k + 2)N. Учитывая леммы 3:3 и 3.1, получаем |
|
|
|
|
|||||||||||
(*+1) |
|
|
|
|
|
А Ч |
(k + 2)4М о ( f \ |
У2 |
|
(4.15) |
|||||
I РN, |
й+1 (Фа; л ) I < 4 J) 4 А |
|
|||||||||||||
Объединим |
(4.13) —(4.15). |
|
Это |
даст |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|Q!VA ( / ; |
х ) | < л А Ѵ 2ш ( / м ; ± у |
|
|
|
(4.16) |
||||||||
Поскольку |
дп (х) =Qntr{f', |
х) |
|
при N |
— |
+ |
1, |
то |
в |
силу |
|||||
(4.16) |
и (4.11) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А |
|
|
/ А |
± |
|
Утверждение доказано. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
4. |
Из теоремы 4.2 легко следует |
имеет на отрезке |
[—1,1] |
||||||||||||
Теорема 4.3. Пусть |
функция f(x) |
||||||||||||||
непрерывную производную г-го |
порядка и |
{рп {х\ } — последо-- |
вательность полиномов такая, что рп <^Нп й для X œ [—1, 1]
I / (*) - Ра (X) I < 8' (х) cö( / А 8„ (х)).
Тогда при п ^ г для всех s <= [0 : г] и х <= [—1,1] будет*
|/ (î> (-0 - Рп] (х) I < aro ' s (je) eu(/ (г); 8„ (л)).
Константа аг зависит только от г.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Имеем
\ f (s) (X) - р{,? (X) I < | / (*>(X) - |
qV (X) I + |
|
+ I |
{x) — Pa) {X) I. |
(4.17) |
Поскольку
I 4n W - Pa W К I / (x) - pn(JC) I + I qn(JC) - / (x) [ <
< (1 + /C )8 rn(^)cu (/(r); 8„(*)),
то в силу теоремы 3.1
|<7«S>( ^ ) - ^ S>W l < ( l + ^ ) ^ rC S(A-)m(/r); 8Л{x)). (4.18)
Учитывая (4.17), (4.18) |
и теорему 4.2,.получаем |
|
|
|
|||||
I f (s) (x) - p{ns) (x) I < |
[К + (1 + А*) Ar] K~s (x) ш( / (r); |
8„ (x)). |
|||||||
Теорема доказана. |
|
|
|
|
|
|
|
||
5. |
Теорема 4.2 без труда может быть распространена на тот |
||||||||
случай, |
когда |
вместо |
[—1, 1] |
рассматривается |
произвольный |
||||
конечный отрезок [а, b]. |
|
имеющей на отрезке |
|||||||
Теорема 4.4. Для всякой функции f{x), |
|||||||||
[a, b] непрерывную r-ю производную, и |
любого |
натурального |
|||||||
ѣ ^ г найдется такой алгебраический полином gn(x) |
степени не |
||||||||
выше п, что при всех s e [ 0 : r ] |
и x œ [a, b] |
будет |
|
|
|||||
I / И (X ) - |
gl->(x) I< д;(Ѵѵ>- Tа-- |
°L |
+ |
А |
= |
± р X |
Константа Ат зависит только от г.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Введем функцию
F { t ) = f [ a + ^ - { t + 1)), |
* е [ - 1 ,1 ] . |
|
||
В силу теоремы 4.2 найдется |
полином qn е Нп такой, что при |
|||
всех s e [0 : г] и 1 е [—1,1] |
|
|
|
|
> |
м ( ^ ) - ^ ) ( 0 І < ^ Х “ 5(7)ш(Д(г); 8Л(0). |
(4.19) |
||
Зафиксируем |
X œ [Ü, b], и |
пусть |
2 |
■{x —а). |
t — — 1 + ~qj _ |
* С. А. Т е л я к о в с к и й [27].
|
|
f |
is) (о |
= |
(je), |
|
|
|
|
|
2 / |
(Ä — x) (jt — a) |
л b — a |
|
|
|
S, (O = T — a \ |
|
n |
' 2n? |
|
||
|
|
(/*>; |
8) = |
|
» (/'> ; |
E = i s ) , |
|
то в силу |
(4.19) |
|
|
|
|
|
|
I/^ (*) - ?«} (*)I= /6_aV / W (JC) — 4n ( - 1 + |
ÏZ T jX |
||||||
X (л — a) |
(J) |
|
|
|
+ ш Д ~ ' х |
||
< л ; ( |
|
|
|||||
|
|
X » ( / ', ; |
|
) + j g L ) |
|
||
Полагая |
g-,, (ж) = qn |
1 + |
і Д |
а (x ~~ a) )> |
получаем |
требуемое. |
|
Теорема доказана. |
|
|
|
|
|
§5. Теорема И. Е. Гопенгауза
1.Имеется в виду следующая
Теорема 5.1. Пусть функция f(x) непрерьівна вместе со всеми своими производными до г-го порядка включительно на отрезке [—1, 1]. Для любого /г^4г + 5 можно указать алгеб раический полином gn {х) степени не выше п такой, что при всех s Œ [0 : г] и x œ [—1,1] будет *
й) |
|
( / і - * |
|
/ |
(Г ). |
ѴТ- |
(5.1) |
|
І / (і) (■*) - Sn ( * ) 1 < Л |
|
|
|
|
|
|||
Константа Атзависит только от г. |
|
|
|
|
|
|||
Эта теорема усиливает теорему 4.2. |
|
опишем |
построение |
|||||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Прежде всего |
|||||||
gn(x). По теореме 4.2 найдется такой полином |
е Яп, что |
|||||||
If is) {x)-qF C*)l<^'• Гѵ,Х |
і |
+ і і |
x |
|
||||
х » ( ^ П |
= * + Л |
_ }, |
|
|
(5.2) |
|||
* И. Е. Г о п е н г а у з [10, |
11]. |
|
С. А. Т е л я к о в с к и й |
[27], |
случай s = 0 . |
53