Файл: Малоземов В.Н. Совместное приближение функции и ее производных.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 02.08.2024

Просмотров: 81

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Теорема 1.1. Справедлива асимптотическая формула*

4

. п

m

апіп II „2

ln

m + \ + 0 (1),

где 0(1) — величина, ограниченная по модулю абсолютной кон­ стантой . -

Д о к а з а т е л ь с т в о . Введем обозначения

 

m + 1

 

 

2 « + m 4 - 1

ГР

/ .

 

1

^ .

 

 

— f - = Р ,

 

Х 2------- =

\ Р > —

.

Г >

1

 

Тогда в силу (1.2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ю ...\= J -

 

f l

siT + + 4 !l Pt±dt.

 

 

 

 

 

 

nm1

 

9^г

 

 

sin-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Учитывая, что

функция ----Ц------- — ограничена

на

отрезке

 

1

 

 

 

.

sin’ ^ r

 

-+

 

 

 

 

 

[О, я] и

получаем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-g-,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Уо

 

 

 

d* +

0 (l) =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-+гб

 

 

 

 

0 ( i ).

 

 

 

 

 

 

 

2-Г

|sm_^sin£]rfa +

 

 

 

Однако

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

р - . .

 

s i n

и I

^

 

 

(■’ I s i n r u

s i n U I

 

 

 

 

 

 

I s i n r u

 

 

 

<

J + .

 

 

1

 

 

 

 

-

J 1

 

■ du

 

поэтому

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M

J

и

=

2

r I s i n r u I s i n и 1

,

0(1).

 

 

 

K

I

—

j

------ w ------ d u +

 

 

T,

 

 

теперь

тем, что

,

 

S in

U

1

ограни­

Воспользуемся

функция —^ ------ —

чена на

[0, я ] . Это дает

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( 1.8)

* С. М. Н и к о л ь с к и й [22].

Покажем, что при г ^ І

 

I

sin ru I

,

 

2

 

,

 

I

 

i

\

 

(1.9)

 

-------1 du

= —

 

 

n r +

0(1).

 

 

 

//

 

 

 

ТГ

 

 

 

I

 

\

/

 

 

Пусть ss^ r< s + l, где s ^ l . Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S — 1

 

 

 

(v+ 1) 7E

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin ru \ d u =

> (

-

l )

v

 

 

sin ru

du + 0 { 1) =

 

 

 

v=0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

s — l

г

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin ru

 

d u -\-0 { 1)=

\

sinrttX

 

 

SV=oJ о

 

и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S —

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

 

 

 

I

V7t

 

 

\d и -j- O (1 ).

 

 

Заметим, что

:s-a+ —

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Г

sin ru

,

 

f sin и

,

 

 

 

 

 

 

J

------ d u —

J

------ du.

 

 

 

 

 

 

 

M

 

 

 

 

U

 

 

 

 

 

 

Далее

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sln ru

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V7C

. du

<

 

 

 

^ v= l

 

Г

 

 

 

V=1

Г

 

 

 

 

 

/

J

 

\

 

 

 

 

 

 

00

 

1

 

 

l

и sin ru

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u sin

и du.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 V=

1

'

 

 

 

 

 

vV== 1l

0

 

 

Теперь имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

|

i Si2£ttJ_da =

_ £ _ jr

з1пг^

 

2

| +

0

( 1

) =

 

Ü

 

 

 

О

 

 

 

 

v =

1

 

 

 

 

= -^-lns I sin ^

+

O (1 ) =

-^-lns +

O (1) = -^-lnr +

O (1) ■

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Соотношение (1.9) установлено.

Объединив (1.8) и (1.9), получим

4 .

п + т

+ 0 (1),

= ^5- lnr+ 0(1) = - г ІП

т 4 - 1

что и требовалось доказать.

С л е д с т в и е . Для всякой функции f Œ С выполняется нера­ венство

II/-

(/) II <

’ 4

і „

я+.от + І

+ 0(1) Ял(/), (1.10)

тез

ш

m + 1

где

Е п ( Л =

 

mï \ \ f ~ T n\\.

 

 

 

т„^нт

 

Действительно, пусть Тп(х) — произвольный тригонометри­ ческий полином порядка не выше п. Тогда в силу (1.5) и (1.1)

II/ - °вт (/) И= Il I / ■- Тп] - °пт( / - Т„) II <

< ( 1 + | [ « Я« І І ) І І / - 7 ’Я||.

Значит,

I I / - «««(/) IK (1+11 «w II )£«(/)•

Остается воспользоваться теоремой 1.1. Утверждение доказано.

4. Теорема 1.2. Если 0^ п г ^ п , то

 

 

 

inf

4 - 2г Ѵ л т( 0 - 7 \ Д / і И К 2 .

(1.11)

 

 

ітп<=н\

ô

 

 

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Прежде всего заметим, что

 

 

1

п+гп

 

 

V

m-fl —k COS ( Я + k) t.

Ѵ п М =

 

2 Dk (t) = Dn (і) +

 

m +

1

 

 

k = 1

m 4- 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Положим

 

 

 

ni

 

 

 

 

T*{t) = Da (t) -

 

C0S (л ~

 

 

2 "lm + ~ k

*)■L

 

 

 

 

 

k ==0

 

 

 

Тогда в силу

(1.3)

 

 

 

11

 

Vnm(<0 — T\ (t) = COS Ht + 2 COS

m

b

2

Ш ~m

C0S kt =

 

 

 

 

 

 

* =1

 

 

= 2 COS /Z^

+

2

k

C0S

\ = 2 cos ntVom (0-

Учитывая, что Ѵ0т {() > 0 и J Ѵ0т (t) dt = я,

получаем

о

 

2-

 

о

 

откуда и следует (1.11). Теорема доказана.

 

С л е д с т в и е . Справедливо неравенство

 

£ „ К » ( / ) ) < 2 Я я (/),

( 1. 12)

Это утверждение легко выводится из (1.1) и теорем А.4 1.2:

§ 2. Существование полинома наилучшего совместного приближения

1.Через СМ будем обозначать, как и раньше, класс 2я-пе-

риодических функций,

имеющих на

(— о о , непрерывнуюо о )

/--ю производную.

 

 

 

Для произвольной функции / (= СМ положим

Znr(f)

inf

max

Еа ( / W)

 

Tn =Hl «е[0:г]

 

 

где n — целое неотрицательное число и

 

£„(?)= .inf

II ?

тпII.

Предполагается, что En (f)>0. В этом случае, как будет по­

казано-ниже, En(f^) > 0 при всех s e [0 : г].

м у

Тригонометрический полином Тп<=Нп, для которого

max

$ n r U ) ,

JE=|0 : г]

Е п ( f ( s ) )

 

называется полиномом наилучшего совместного приближения функции f и всех ее производных до r-го порядка включительно, или полиномом наилучшего совместного приближения.

Нашей ближайшей целью является доказательство суще­ ствования полинома наилучшего совместного приближения.

2. Введем обозначение

■4"'=TJT T •£= о,+1, ±2,...

Смотрите также файлы