Файл: Малоземов В.Н. Совместное приближение функции и ее производных.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 02.08.2024
Просмотров: 78
Скачиваний: 0
Лемма 2.1. Для |
всякого |
полинома |
TnŒHJ, |
справедливо |
|
представление |
|
|
|
|
|
|
|
О |
|
|
|
Тп W |
= |
ШГ+ \ 2 |
Т« ( ^ Я)) |
\ Х - ^ Я)). |
(2.1) |
|
|
й= 0 |
|
|
|
где Dn{u) — ядро Дирихле. |
|
|
|
||
Д о к а з а т е л ь с т в о . Заметим прежде всего, что |
|
||||
|
f п + -4г, |
если k = О, |
|
||
А ,( * П |
= |
2 |
k — + 1, |
+ 2,..., + |
2/г. |
|
( |
0, если |
|||
Выражение, стоящее в правой части равенства (2.1), явля ется тригонометрическим полиномом порядка не выше п. Обо значим его через Qn(x). Тогда для всех t e [0:2п] будем иметь
92"
Q.И"> ) = 5ÏTT 1 Т° К "1) о , Н 5.) = Т„ (*'/')).
|
|
|
|
k=0 |
|
|
|
|
|
|
|
В силу леммы Д.1 отсюда следует |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
Тп (•*) —Q„ W |
= 0, |
|
|
|
||||
что равносильно |
(2.1). Лемма доказана. |
|
|
|
|||||||
С л е д с т в и е . Пусть |
{Тпі}, |
г=1, |
2...... — последовательность |
||||||||
тригонометрических полиномов порядка не выше п. |
|
|
|||||||||
Если при і-э - оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
т „ Л о п, |
|
|
|
|
|||
где Q„ Œ. Н п,т |
то при любом натуральном s |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
7 - М |
С |
s-,(s) |
• |
|
|
|
|
|
|
|
|
* |
ni |
—> Ѵл |
|
|
|
||
Лемма |
2.2. |
Если |
последовательность |
полиномов |
{ГПг}, |
||||||
г = 1, 2,..., |
принадлежащих Н І, |
равномерно по г |
ограничена, |
||||||||
|
|
|
|
IIT’J K M |
, |
|
|
|
|||
то найдутся такая подпоследовательность индексов |
{ір} |
и такой |
|||||||||
полином Qn е |
Н тп, что при р |
оо |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
Т ■ - £ о |
|
|
|
|
|||
Д о к а з а т е л ь с т в о . В силу |
(2.1) |
|
|
|
|||||||
|
|
|
9 |
2л |
|
' |
|
|
|
|
|
|
^ |
W |
|
2 |
Т ш № |
°п |
- 4 Я))- |
|
|||
|
|
|
|
|
£= 0 |
|
|
|
|
|
|
Поскольку |
числовые последовательности |
[Tnl ( 4 П))} при |
всех |
||||||
/г е |
[0 :2/г] |
ограничены, |
то |
найдутся |
подпоследовательность |
||||
индексов {ір} и числа ао, аи ..., |
аоп такие, что |
|
|||||||
|
|
|
тпір[*1к )) —+■ak, |
[0:2/?.]. |
|
||||
|
|
|
4 |
' p-t-OO |
|
|
|
|
|
Положим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
2n |
|
4'°). |
|
|
|
|
|
Qn (■*) = 2^ r y |
21 ab°n (X - |
|
||||
|
|
|
|
|
А = 0 |
|
|
|
|
|
|
T |
C |
|
|
|
|
|
|
Тогда QnSZ/л |
и T„i ~^>Qn прир-^оо. |
|
|
|
|||||
|
Лемма доказана. |
|
|
|
|
|
|
||
|
Теорема 2.1. Для любой функции tp е С |
существует полином |
|||||||
Г д е //л , для которого |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
К® — Гд|| = £„(?). |
|
|
||||
|
Полином |
Т'п |
называется полиномом наилучшего приближе |
||||||
ния функции ф. |
|
По |
определению |
£ п(ф) найдется |
та |
||||
кая |
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
||||||||
последовательность |
тригонометрических полиномов {7\»} |
||||||||
из |
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
II ? |
Тпі Ц |
> Еп(ср). |
‘ |
(2.2)' |
||
|
|
|
|
|
І —)- со |
|
|
|
|
Очевидно, последовательность {Г„і} равномерно по і ограни чена. В силу леммы 2.2 существует сходящаяся подпоследо вательность последовательности {Тпі}
Поскольку J) ср — Тпір || -—* I) ср — Г* ||, то, учитывая (2.2), получаем
Лср — Г„ II = Еп(ср). Теорема доказана. |
|
|
С л е д с т в и е . |
Пусть f <= СН Если En(f)>0, то |
En(f(s))> 0 |
при всех s е [0 : г]. |
некотором |
|
Действительно, |
допустим, что En {f(s))— 0 при |
|
s e [l : г]. Обозначив через Qn^Efn полином иаилучшего при ближения функции /<*>, будем иметь
ll/<i,-Q*«|| = £ « ( / (i)) = |
o> |
так что fW{x) =Q n (х). По теореме АЛ' |
|
1 |
' |
f i x ) = -ÿ-+ V- J Q» (* - о ^ (о л . |
|
0 |
|
3 В. Н. Малоземов |
65 |
Значит, f Œ Н гп иEn (f) =0, |
что противоречит |
предположению. |
Утверждение доказано. |
|
|
3. Теорема 2.2. Пусть |
и En(f)>0. |
Тогда при любом |
целом неотрицательном п существует полином наилучшего совместного приближения функции f и всех ее производных до г-го порядка включительно.
Д о к а з а т е л ь с т в о . По определению Snr(f) найдется по следовательность полиномов {Тпі}, і'=1, 2,..., принадлежащих
Н тп, такая, что
шах |
І-*-оо #„,(/)■ |
(2.3) |
s 1= [0 : г] Еп |
|
Из (2.3), в частности, следует, что последовательность {Тпі} равномерно по і ограничена: На основании леммы 2.2 заключаем, что существует сходящаяся подпоследовательность последовательности {Г,,,-}
ТШр
причем в силу следствия из леммы 2.1 для всех s e [ 0 : г]
|
‘ГІЛ |
__ |
'pis) |
|
|
* ni |
|
*■*п . |
|
|
P |
|
|
|
Теперь имеем |
|
|
|
|
I A s ) __-г(s) |
|
|
f(S) _ T(s) |
|
\J |
ni |
|
|
|
max |
|
|
max |
|
,se|0:rl En (/^) |
p->-oos<=10:r) En (/^*) |
|||
С учетом (2.3) получаем |
|
|
|
|
|
]/(*)— умГ |
|
||
max |
|
, |
|
= &nrLf), |
je[0:r] |
£n(/()) |
|
||
так что Tn(x) является полиномом наилучшего совместного приближения.
Теорема доказана. 4. Положим
&пг= sup &пг(Л
(по определению <§„,.(/) = 1, если f е Нтп),
и пусть p = min{n, г}. В § 4 будет показано, что при /?->-оо
&пг = InР + О (ln ln ln/?).
§ 3. |
Оценка величины |
<g nr(f). Некоторые следствия |
|
||
1. |
Основным аппаратом для получения результатов этого |
||||
пункта являются суммы Валле-Пуссена |
(см. § 1). |
полином наи |
|||
Лемма 3.1. Пусть Tnm(x)—Tn (onm(f); х ) есть |
|||||
лучшего |
приближения порядна п |
суммы |
Валле-Пуссена |
||
onm(f; х), |
составленной для функции, f Œ ОТ. Тогда при m = ^ j |
||||
справедливо неравенство * |
|
|
|
|
|
|
Il A s ) _ T (s). [I |
|
|
|
|
|
4 Г . Г М + ) |
< ? ' " ^ + 1) + O «), |
(3.1) |
||
где p = min (я, г) и 0 (1) — величина, ограниченная по модулю абсолютной константой.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Заметим, во-первых, что в силу (1.6) при всех s e [0 : г]
Значит, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
olsU f ) - T < % II. |
(3.2) |
Учитывая |
(1.10), записываем |
|
|
|
|||
|
|
(S)\ |
< |
4 .. |
11 + m -г î |
0(1)' |
(3.3) |
HZ' |
( / |
—г ln-------г-.---- |
|||||
|
|
л2 |
m + 1 |
|
|
||
Далее, разность önm(f) — Tnm является тригонометрическим по линомом порядка не выше п+т, поэтому в силу (Д.9)
II а«! ( / ) - Т%г II < (Я + /Я Л І °ят ( / ) - Т „ т |і =
= (n +m)sE„(aem(f)).
Воспользуемся теперь, неравенствами (1.12), (А.19) и (А14). Это дает
II (/) - T il II < 2 (я + т)*Еа( /) <
< 2 К |
п -f т |
п + т |
|
(3.4) |
« + 1. |
, п + 1 |
|
|
|
Подставляя (3.3) |
и (3.4) в (3.2), получаем |
|
|
|
ІІ/М |
п + т + 1 |
0 ( 1 ) + ' |
п + т |
E n k f (*)] |
т ~г I |
1Г+Т |
|||
* А. Л. Г а р к а в и [4, 5]. Менее |
точный результат был |
получен Ципце- |
||
ром и Фрейдом [36]. |
|
|
|
|
3* |
67 |
Il / (,) - T™ II < |4 - Ш (п + 1 ) + О (1 ) + *}Еа{ f (s)) =
= { 4 і п ( / ? + 1 ) + 0 ( 1 ) ) я Л / И).
Если же г ^ п , то
||/ (,г>— 7 '^ [|< |- ^ - ^ п | |
|
■+ n |
+ 0(i) + «l |
п + 1 |
X |
||||
|
I * I |
I |
|
1 "V |
|
||||
X Еп( / (i)) < |
4 |
. , , |
іч |
Л /ІЧ |
, |
Л , |
I V |
( / (i)) = |
|
|
In (r + |
1) + |
0 (1) + |
* (l + |
-jrj |
|
|||
= ( ^ 1 п ( р + 1 ) + 0 ( 1 ) |£ ’Л / М).
Таким образом, при всех s e [ 0 : r ]
■ | | / w - rJÄ II < { 4 - in (р + 1 ) + О (i)} £ Л / W).
откуда и следует (3.1). Лемма доказана.
Теорема 3.1. Для любой функции { œ CW справедливо нера венство
%nr{ f ) < A r ^ { p - { - \ ) + 0 { 1),
где р = тіп{п, /•} и 0(1) — величина, ограниченная по модулю абсолютной константой.
Достаточно сослаться на определение <g«r(f) и лемму 3.1. 2. Из теоремы 3.1 могут быть выведены важные следствия.
Теорема 3.2. Пусть f œ CT) и Тп — произвольный тригономет рический полином порядка не выше іі. Тогда *
|І /(Г) - 7 |
I] < nr I I / - |
ТпИ+ <Г„г ( /) |
\пГЕп( / ) + £ „ ( / |
(Г))І < |
< |
nr \ \ f - TJ |
+ fl + - f ) %nr(f) E n{ f r))- |
(3.5) |
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Обозначим |
через TnrŒ.Hh |
полином |
|
наилучшего совместного приближения функции f и всех ее гіро-
* А. Л. Г а р к а в и [4, 5]. Менее точный результат был получен ранее Фрейдом [38].
