Файл: Малоземов В.Н. Совместное приближение функции и ее производных.pdf

Скачать файл (4,20Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 02.08.2024

Просмотров: 79

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

изводиых до т-го порядка включительно (в силу теоремы 2.2 такой полином существует). Для всех s <= [0 : г] имеем

	\| \| / (i)- ^ i < ^ ( / ) £ «	( / W).	(3.6)
Пользуясь (3.6)	и (Д.9), получаем
II/<г) - т Р II < \| \| / г)- Г Й? I +		ИТ%} -	Т (пг) И<
<	8пг (f ) E n{ f r)) + >iTII T „г- T n \ \ <

< %„г ( Л Eni f r)) + H'r \%nr{f)EnU)Jr \ \ f - T n\\] =

= «r I I / - TnII + <^яг ( / ) \ѣтЕп(/ ) + Еп (/ (г))}.

Тем самым установлено первое неравенство в (3.5). Второе не равенство следует теперь из (Ä.19) и (А.14). Теорема доказана.

С л е д с т в и е . Пусть feCM. Если последовательность поли номов {7\,} такова, что

	\ \ f - T n\\<AEn{ f ),
то
II / (г) -	7ІГ) II <	(і + - ^ ) { ( / ) + Л }£„ (/ (г)).	(3.7)
Д о к а з а т е л ь с т в о		очевидно.
На основании	(3.7) и теоремы 3.1 делаем следующий вывод:
если последовательность тригонометрических полиномов			{7/}

доставляет для функции f œ СМ приближение порядка наилуч

шего, то и {7'|,г)} доставляет для /М также приближение порядка наилучшего.

Отметим, что обратное утверждение не имеет места.

Для любого натурального г, любой функции f е СМ и произ вольной последовательности положительных чисел {am} можно указать последовательность тригонометрических полиномов {Qn}, удовлетворяющую условию

Ь " - 0 . П < А г Е п{ ^ 1

где А г зависит только от г, и такую, что при всех п = 0, 1, 2,...

будет

II/— Q J	> < V
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть	Т \ — полином наилучшего

приближения порядка п функции f,

Введем последовательность полиномов

Qn (х	)	Тп (х)—	+	En		( «	/ л	) +	(	«
Имеем		Q«’ !I = \|		\| -	Т/	І (Г) I	I<0
\| \| / (г) -		Q«’ !I = \|		\| -	Т/	І (Г) I	I<0	А гЕп( / (г)).
С другой стороны,						/ I„ /		IТ'пI• => - -
I I	/	•	-	En	Q(	/ I„ /	I )	IТ'пI• => - -	« «	Яя .

Утверждение доказано.

3. Теоремы 3.1 и 3.2 позволяют получить некоторые резул таты и о совместном приближении функции и еепроизводных алгебраическими полиномами. •

Теорема 3.3. Если f(x) имеет на [а, b] непрерывную r-ю про изводную и для последовательности алгебраических полиномов {Р„(х)}л гг=1, 2,..., Pn ŒHn, выполнено условие

max	\| / W - / > „ W \| = o ( i ) ,							(3.8)
то {Рп^С*)} при /г->оо сходится к f^{x) во всякой						внутренней
точке отрезка [а, Ь], причем на любом			отрезке	[а',		ß']	с (а, Ь)
сходимость будет равномерной.			проверить,		что		из	(3.8)
Д о к а з а т е л ь с т в о .		Достаточно	проверить,		что		из	(3.8)
следует соотношение		(*) — Р'п (Je) I=о(—
шах	\| /	(*) — Р'п (Je) I=о(—		)
■vela', b']			\ П	)
где [а', Ь'] <ш(а, Ь).	Не	ограничивая	общности,		считаем,			что
а = —b= — 1, а'= —Ь'=—с, причем 0<с<1.
Положим ф(0 —f (cos t), Tn {t) =P,i(cos i). Очевидно, ф e								CM
и Т п<=Нт. В силу (3.8) имеем
	\ \ ш - Т Л = о 1 1
Для оценки Кр« — ТпIвоспользуемся (3.5) :
I? —TпI< АіЕп (<р') + о			■					(3.9)

Поскольку ср' имеет непрерывную (г — 1)-ю производную, то по следствию из теоремы 2.1 главы II (случай s = 0)

2Ч _ і“ т(0;

£ « ( ? ' ) < -

„ г - 1

(3.10)

Подставляя (3.10) в (3.9), получаем
	= о	„Г-1

Вернемся к функции / и полиному Рп:
г™?*] ISin 1 № ( C 0 S ~ Р п' ^C0S I =
= max Y	1 — -X2 \ f (A ) — P'n (A )
A-S[-l,l]
Отсюда
maX	I/ ' (A) — P ’n { x ) \ = o ( —У .

Теорема доказана.

§4. Асимптотическая формула для <§ ш.

1.Напомним, что

Snr=	SUP	&nrU)-
f<=С (г)
Теорема ІЛ.При р-^оо,	где	р = шіп {я, г), справедлива

асимптотическая формула *

(§пт= Ыр -f О (ln ln ln р).

Д о к а з а т е л ь с т в о . В силу теоремы 3.1

^,,г< ^ 1 п ( р + 1 ) + 0(1),

где 0(1) — величина, ограниченная по модулю абсолютной кон стантой. Отсюда следует, что для достаточно больших р

<%пг<

1п Р + 1п 1п 1пР-

Осталось показать, что найдется,- такая абсолютная кон станта А>0, что для достаточно больших р будет

— Alnlnln/7.

(4.1)

Предварительно установим некоторые вспомогательные предложения.

* А. Л. Г а р к а в и	[4, 5]. В [29] приводится обобщение этого результата
на случай приближения	целыми функциями конечной степени.

cos kt) ,, _ , г . 1 ,

\ dt —0, k Er [ц “j“ I \ ti -f~ m\ sin kt J

2. Обозначим через Unm множество непрерывных 2л;-перио-

дических функций f (х) , для которых 2ти

Лемма 4.1. Существует функция фnm£=Unm такая, что:

Il Sn(фят) H- _4_ ,	n + m +	1
Il Фяя. Il ^	m + 1	f 0(1),
Il Фяя. Il ^	m + 1

где Sn (фпт) — п-я частная сумма ряда Фурье функции фпт. и 0(1) —величина, ограниченная по модулю абсолютной кон

стантой.

• Д о к а з а т е л ь с т в о . Если т ^ п , то можно положить фпт (х) = 1, ибо в этом случае

Ш У І - і ІІФятІІ

0 < 1 П£ ± І + І =	,„[! +	m +1 С ln 2.
Пусть m<n. Введем функцию
rm{x)=	У	sin kx
	k = m-h І

и составим для rm сумму Фейера порядка ѣ (см. § 1):

п- /	\	^	/ч		Æ \ sin ifeje
f . h , ; - * ) - 2			>— s + r j - r - •
В силу (1.7) и (Д.З)
Далее рассмотрим функцию
, ,	.	,	4	^	sin (2v +	1) пх
р (X ) =	Sign Sin п х =		—		2ѵ +	1 — ;