Файл: Малоземов В.Н. Совместное приближение функции и ее производных.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 02.08.2024

Просмотров: 74

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Теперь вводим функцию фпт'

(X) = FN ^ \ X) X Fn{rnPX)

 

4

 

V—2О

 

(2ч +

1) п

\

sin

(2ч +

1) пх

Ч/.

 

 

 

 

 

(2п +

\ ) п +

1

)

 

2ѵ +

1

Х

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

і

( ' - + ■и+

^

= ' 4

-

 

2

 

{('

 

— — ) ^ - s m b : x

'

k=m+1

 

 

 

 

 

 

 

A=/;/+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

J

f i

 

(2ѵ +

1)/г

\

sin

(2ч +

1) nx

 

 

 

 

 

(2n+\)n -I-1 )

 

27+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

(2v + 1) n

 

 

 

 

4

 

І

 

IM

 

/г + 1 /

А

V= о

(>- (2n + 1)n + 1 X

 

 

 

k= /71+ 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

w

co s f(2v +

1 )n — k\ X — c o s [(2v +

1 ) n +

k\ X

 

 

 

 

X

 

 

 

■

27+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Очевидно, что i |w ^

Unm, причем в силу (4.2) и (4.3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ІІФішІК-т-

 

 

 

 

 

(4.4)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Запишем для фПт сумму Фурье порядка п:

 

 

 

 

 

s k (W ; х ) = —

2

f1

/тп+1 1)J~тгk (*

 

(2п + \)п + \

X

 

 

 

 

 

 

й= т+1ч

 

'

'

•'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X cos (n — k) X.

 

 

 

 

 

 

Отсюда следует

 

 

 

 

П

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2

 

n — m

 

 

 

 

 

S n(ФлтГ 0) —

V

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

JU

 

k

 

те

 

n +

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b=m+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

те

 

(2n + ! ) « + !

k

2

 

 

n + 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

= m + l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

2 .

 

 

0(1) =

— l n ( i ± ^ ± l

0 (1 ) .

(4.5)

 

---lQ-

m + 1

 

 

те

 

v '

 

те

 

 

m + 1

 

 

 

 

Поскольку

II

 

(<!>,„„) Il >s„(<b„m; 0),

то на

основании

(4.4)

и

(4.5)

получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[I Sn(W ) К _4_ . n + m + l

+

0 ( 1).

 

 

 

 

 

 

 

II W H

^ *2

 

 

rn+ l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Лемма доказана.

Заметим также,

что

в

силу (А.20)

для любой

функции

f і= СМ П Unm выполняется неравенство

 

 

Д

Д Ж

'

К г

 

 

(» + » + ! ) '

'■

(4'6)

3. Обратимся к доказательству неравенства (4.1). Вначале

установим, что для любой функции f €= CM f) Unm

 

Rn (/м )

(4.7)

 

где /?п(ф) =ІІф — 5п(ф)||.

 

Действительно, пусть f œ. CM р| Unm- Так как

 

f [ / ( 0 - 5 Л(/; 0

]

( COSf f

d

{sin kt j

то по теореме А.З

 

 

| | / - 5 „ ( / ) | | < ;

Кг

(п + т +

1= ^0 при Ае=[0 :п + т],

гг11/(г)- 5 , (,г)(/)1 |.

\у

Учитывая равенство S nr)( ( /) = Sn( / (г)),

получаем

 

^ ■ ( Л < ( Ж

т 7 ^ Л

/ м ).

(4.8)

Пусть T n r & H Ï — полином

наилучшего совместного прибли­

жения функции f

и всех ее производных до /'-го порядка вклю­

чительно. Тогда

 

 

 

 

Еп{ / (Г)) &ПГ. ( Л > 11/° - Т% I> !1/(Г) - Sn ( / (Г)) II -

- Il Sir) ( / )

- Т% Il = Rn{ f (n) -

Il S nr)(

( /) - Tiï II.

Однако в силу (Д.9), (4.8)

и (4.6)

 

 

Il ^ r) ( / ) -

T% И<

rï II Sa( / ) -

TMJ <

tï \Rn ( /) +

+ S nrU ) E nU)) < (й—£ + т ) Ч

( / (r)) +S«r (Л E n [ f r))},

так что

 

 

 

 

 

E n [ f )) # n r ( n > R n { f ' )) -

■к (n + ! h i j r № n { f lr)) +

( /) En [ f r))\.

> к Л П [ \ - к , ( 1ГТ± Т т]' ■

Из последнего неравенства очевидным образом следует (4.7). Применим теперь неравенство (4.7) к функции Фпт(л:), /'-я

производная которой задается равенством

Фni {X) = фяя (Л) -

f,

Ьт (0 dt.

 

Ô

 

Очевидно, что Фпт^ &Сг) П Упт. По лемме 4.1

Rn К

Rnі (bun) Ъ)

І ) = + г

(

W

)

l

£„(«+>)

EnWnm)^

IIW II

 

 

 

 

= 4 l n » + ”» + 1. + Q(l).

Поэтому в силу (4.7) и (АЛ4)

 

 

 

 

<®.»> » {> - ж , Ы

Ы ' 1

- +

+

4 + + о т } >

и

Я - + І Я + 1

п + те -j- 1

ln

те + 1

1 + 0 ( 1 ) . (.4.9)

^ **

Ш те + 1

Пусть п и г достаточно велики и п ^ г .

Положим /п=і[2 Inin«]. Поскольку при больших р

1

2 l n l n р \ р 1п ( / ? + 1 ) < Ш 2!і і ,п р 1п 2/; =

I \2 ln lnp

ln In p

< 1 .

(4.10)

ТО

4

, _

rn + [,2 l n

l n /2 ]

+

1

^ пг{Фшп) > ~ Ы

Г"

n ] +

1

n 1 n - f

 

 

[2 I n ln

X ln

n

+ 1 + 0 ( l ) > 4 l n

І п л

2 l n

 

 

 

3 l n

 

n

X

2

l n l n n

l n

n

 

1

2 l n l n л

1 ІП (« + 1) + O (1) =

= - \ l n n

— ^ l n l n l n « + 0(1).

(4.11)

7lJ

7C2

I V /

 

Пусть

теперь п>г. Положим т =

2 — in-ln г

Поскольку

при больших г

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

п +

2 —

 

ln ln г

+

1

 

 

 

 

 

 

 

Г

 

 

 

 

>

 

 

> 2 In ln г + 1 ’

 

2 — ln In г

+ 1

 

У—

 

 

г

 

 

 

 

 

 

г

 

 

 

 

то в силу

(4.9)

 

и

(4.10)

 

 

 

 

 

 

 

&пг' (Фпт)\ - /

 

^

 

4

4

 

г

 

 

 

 

X

 

 

*2

Ш 2 ln ln Г +

1

 

п -f 2 -4L ln ln г

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X Inj

 

 

 

 

 

+

l U

o ( l ) > ^ l n

г

 

 

 

2 —

ln ln г

 

 

 

 

те2

3 ln ln r

 

 

 

 

 

г

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

І Д

7

ln (г +

1) + О (1) =

 

 

 

 

 

 

1-t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

-4-ln г ---- 4-ln ln ln г +

О (1).

(4.12)

 

 

 

 

 

7t2

 

 

Tv2

 

I

\

/

 

На основании

 

(4.11)

и

(4.12) заключаем, что при достаточно

больших п и г, т. е. при больших р,

 

 

 

 

 

%пг > &пг (флJ

>

1 д ^ р - А \ п

ln ln р,

 

где А — абсолютная константа.

 

 

 

 

 

Неравенство

(4.1), а с ним и теорема доказаны.

 

А.Полиномы Бернулли

'1. Положим при любом натуральном г

°°,

\’ C O S IÆJ : ------^

(А. 1 )

Ä= 1

 

 

В частности, при четном г будет

 

 

яд-*о = ( - 1 ) 2 2

^ ’

 

ft=l

 

а при нечетном

 

 

г - 1

 

 

2

2

^

5Д х) = ( - 1 ) *

k= і

Разложением в ряд Фурье легко проверяются следующие ра­ венства (рис. 1):

гі

/ \

Вг(х) =

5 aw = - 2

cos kx

№

ft= 1

 

оо

{ ТС--

-,

 

О <Х < 2тс,

 

Sill k x

2

 

(А.2)

2 ——

 

 

 

 

s =i

О,

 

 

х=,0;

 

• ^

— + 4 »

 

° < - * < 21г.

(А.З)

(* + ■*)*.

**■

-2я:-<Х<;0.

 

 

 

12

 

 

 

 

’

 

Вообще тригонометрический ряд, определяющий В,-(х), является рядом Фурье этой функции. При r= 1 этот факт установлен непосредственно, а при г ^ 2 следует из равномерной сходимости указанного ряда.

Очевидно, что

2я

j Br (x)dx = 0. (А.4)

О

Смотрите также файлы