Файл: Малоземов В.Н. Совместное приближение функции и ее производных.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 02.08.2024
Просмотров: 92
Скачиваний: 0
Далее
f |
cos [kx — |
\ |
— k sin {^kx — -’2- j |
cos [kx — r |
' |
^ |
kT |
J = |
kr |
= HF~l |
Отсюда и из (A.l) заключаем, что при г = 3, 4... и любом веще ственном X
Вг (х) = В г - і (х). |
(АД) |
|
Рис. 1 |
Последнее равенство |
справедливо и при г —2, но для хф 2Ы , |
где k — целое число. |
Это непосредственно следует из (А.З) |
и (А.2). |
|
Заметим, что в силу (А.2) —(А.5) функции Br{x), r= 1, 2,..., в интервале (0, 2it) являются алгебраическими полиномами сте
пени г. Эти полиномы называются полиномами Бернулли. |
|
||
2. |
Теорема А.1. Для |
того чтобы 2л-периодическая функ |
|
ция f(x) |
имела непрерывную r-ю производную, равную |
ф(я), |
|
необходимо и достаточно, чтобы |
|
||
|
2т. |
(А.6) |
|
|
j |
ср (х) dx = 0. |
|
|
о |
|
|
и имело место представление |
|
|
|
|
/ (*) = ^ |
+ 4 - f ? (о Вг (х - |
t) dt, |
(Â.7) |
|
|
|
о |
|
|
где а0— некоторая константа. |
|
|
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Д о с т а т о ч н о с т ь . Покажем, что |
|||
из (А.6) и (А.7) следует равенство f(r)(x) =ф(х). |
|
|||
Заметим сразу, что в силу (А.7) и (А.5) |
функция f(x) имеет |
|||
непрерывную на всей оси йроизводную |
(г — 2)-го |
порядка, |
||
причем |
|
|
|
|
|
1 |
2" |
О dt. |
|
f ~ 2) (л-) = |
J ср (t) В2 (X - |
|
||
Учитывая (А.З) и (А.6), для всех х е (О, 2п), получаем
|
(Я_(Л_Ц)» |
+ 12 |
dt + |
|
|
4 |
|||
(я + |
(* -.* ))* |
2- |
|
|
r | ® |
( 0 |
|||
+ 4 - j т (О |
12 dt= - + |
|||
|
|
0 |
|
|
+ 4 ~ { j |
<P(0(x-t)di-^<?{t){x-t) dt\. |
|||
Отсюда следует, что для х е (0, 2я)
/ (Г_1) (X) = ■+■ J *р ( О dt + 4 - ( J ? ( О dt - j cp (О
при этом
lim / (г |
!) (je) = lim / (г_1) (.х) = |
1 Г2,1 /ср (/) dt. |
Л'->-+0 |
л‘-+-2~—0 |
J |
(je— ^)2 ûf^+
(А.8)
Значит, функция f(x) имеет непрерывную на всей оси производ ную (г— 1) -го порядка.
Дифференцируя (А.8), получаем /(г>(х) = ф (х). Последнее равенство справедливо для х е (0, 2я). Однако оно будет иметь
место на всей оси в |
силу непрерывности |
и |
2я-периодичности |
|
функции ср (х). Достаточность доказана. |
/(х) |
имеет непрерыв |
||
Н е о б х о д и м о с т ь . Пусть функция |
||||
ную производную /'-го порядка, равную |
|
ф(х). Покажем, что |
||
тогда выполняются |
соотношения 2-(А.6) |
и |
(А.7). При фикси- |
|
рованном X рассмотрим интеграл J / <г) (О ВГ{х — t) dt.
о
В силу леммы 2.1 главы I
2л |
|
|
|
2т: |
|
|
|
|
|
J / (0 (О Вг (х - t ) d t = f f r) (X - |
t) Br CO dt. |
|
|||||||
о |
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
К последнему интегралу г |
раз |
применим |
формулу интегриро |
||||||
вания по частям. Учитывая (А.5) и (А.2), получаем |
|
||||||||
J2л / (г) (X - |
0в г(О^ |
= 2лf / |
(г“1)(Л- |
ОЯг-і(О |
dt = ... |
||||
о |
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
2;V |
__ |
|
|
|
|
|
2ті |
|
|
• • • = j /'(■« — О |
|
|
■ |
' |
|
|
— 0| |
|
|
' |
|
|
|
|
|
о |
|
||
1 |
2л |
|
|
|
|
2л |
|
|
|
2~JА* - 0^ = */(*) - 4"J /(*)dt- |
|
||||||||
|
о |
|
|
|
|
о |
|
|
|
Значит, для всех л; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/( * ) = |
І f / ( 0 |
^ |
+ 4 - J / (Г>(0 |
(* - |
0 dt, |
(А.9) |
|||
|
о |
|
|
о |
|
|
|
|
|
что совпадает с (А.7), если положить |
|
1 |
2,1 |
Равен- |
|||||
ай —— |
J |
f ( t ) d t . |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
ство (А.6) очевидным образом следует из 2я-периодичности функции f {x) :
|
2 |
- 2 - |
|
|
|
|
|
|
|
J |
< t ( x ) d x = \ |
f |
r) (X) dx |
= / (г_1) (2ic) - f ~ l) (0) = 0. |
|||
|
о |
|
0 |
|
|
|
|
|
Теорема доказана. |
|
|
|
|
||||
3. |
Положим |
|
|
|
|
|
||
ЕЛ*г) |
inf |
j |
IBr { x ) ~ Tn{x)\dx |
(п — 0, 1,2,...). |
||||
Tn^Hl О |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||
Таким образом, Еп (Вг)ь |
есть наилучшее |
приближение в сред |
||||||
нем |
на |
(0,2л) алгебраического полинома Вг(х) посредством |
||||||
тригонометрических полиномов порядка не выше п. |
||||||||
Теорема А.2. Справедливо равенство * |
|
|||||||
|
|
|
|
|
ЕЛ в гѴ |
*Кг |
|
|
|
|
|
|
|
(я+іУ ’ |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А “ |
(-І)ЧН-Р |
|
|
|
|
|
|
г - |
è o |
& + ѵ г+1 |
' |
Ф а в а р [37]. По поводу обобщений этого результата см. [12].
Предварительно докажем две леммы. Лемма А.1. При 4 е [0 : п] будет
J cos Assign cos (и + |
1) tdt = 0. |
(АЛО) |
о |
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть вначале Іг + п — четное |
число. |
|
После подстановки t = n — х получаем |
|
|
тт |
“ |
|
^ cos Assign cos (я-fl) tdt — (—і)й+л+1 j“cos Ax: X |
|
|
у |
о |
|
X sign cos (п + |
1 ) x d x , |
|
откуда и следует (АЛО).
Пусть теперь k + n — нечетное число. Рассмотрим интеграл
J е lkt sign cos (я + |
1) tdt — j cos kt sign cos (n + |
1 ) tdt -f |
|
-f i I”sin kt sign cos (я + 1 ) tdt. |
|
|
|
0 |
|
|
|
Сделаем подстановку |
t = x -f n y y • Это даст |
|
|
|
lkr- |
П+.1 |
|
j e lkt sign cos (n -f 1) tdt — — e n -f 1 |
j |
e ikxX |
|
|
|
Л+ 1 |
|
X sign cos (n + 1 ) xdx.
Однако
e lkl sign cos (11 -f |
1) tdt — (—l)fe ' "+1 j |
e lkx x |
|
« + I |
|
n + 1 |
|
X sign cos (it + |
1 ) xdx. |
|
|
Значит, |
ik“ |
к |
|
T. |
|
||
j e lkt sign cos (n + 1 ) tdt — — en+1J e M sign cos (n -f 1 ) tdt,
о |
о |
откуда и следует (АЛО). Лемма доказана. |
|
Положим при четных г |
П |
|
|
Ф, (с, х) = ВГ(х ) — |
2 Сиcos kx, |
|
ft—о |
где с= (со, си ..., Сп).
4 В. Н. Малоземов
|
Лемма |
А.2. Функция ф,-(с, х) при любом с |
имеет в |
интер |
|||||||||||||
вале |
(0, я) |
не более п+ 1 нулей (с учетом их кратности). |
|
|
|||||||||||||
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . Допустим, что |
при некотором |
с функ |
||||||||||||||
ция ФДс, х)=Ф,-(л:) |
имеет в (0, я) более п-И |
нулей. Тогда |
по |
||||||||||||||
теореме Ролля Фг (х) имеет в |
(0, я) |
более п нулей. Ввиду |
чет |
||||||||||||||
ности г получим также Фг (.0) = Фг (іг) = |
0, ибо в силу |
(А.5) |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Фг (X) = Дг_1 (х) + "У Ігс, sin kx. |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Ä=*=I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Значит Фг (х) |
имеет в (0, я) |
более п+ 1 нулей. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Продолжая эти рассуждения, получаем, что ФгГ_2) (х) |
имеет |
|||||||||||||||
в |
(0, я) более п + 1 |
нулей. Функция |
ФгГ_1) (х), которая |
в интер |
|||||||||||||
вале |
(0, я) |
допускает представление |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
0Х + |
П |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ф^_1) (х) -- |
У о.кsin kx, |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
А= 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
по |
теореме |
Ролля |
имеет |
в |
(0, я) |
более |
п |
нулей |
и |
еще |
|||||||
ф<г_]) (ті) = 0. |
Значит, ФгГ) (х) |
имеет в |
(0, я) |
более п |
нулей |
||||||||||||
(с учетом их кратности). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Теперь замечаем, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
, |
л- |
л |
fo cos kx = Рп(cos х ) , |
|
|
|
||||||
|
|
ф‘г) (х) = _ |
У |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
А== 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где |
Pn(z ) — некоторый |
алгебраический |
полином |
степени |
не |
||||||||||||
выше п. Введем обозначение |
Т„(х) =ФгГ) (х). Очевидно, |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
2т. |
Тп (х) dx = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
J |
— я. |
|
|
|
|
|
(А.11) |
|||||
|
|
|
|
|
о |
корнем Тп {х) |
|
|
|
|
s, то cos х0 |
||||||
Если х0е (0 , я) является |
кратности |
||||||||||||||||
будет корнем |
Pn (z) |
той же |
кратности. Это |
следует из |
соотно |
||||||||||||
шения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Т(п }(х) = |
( — sin х)к Р 1к)(cos х) + |
^ |
ß/y- (х) Р п}){ |
(cos х),& |
|
|||||||||||
&= 0, |
1, 2,..., |
которое легко |
проверить индукцией |
по /г. Кроме |
|||||||||||||
того, различным корням Х\ и х% из (0, я) |
полинома |
Тп(х) |
соот |
||||||||||||||
ветствуют различные корни cos |
и cos х2 полинома Р„(г). |
|
|
||||||||||||||
|
Подводя |
итоги сказанному, |
заключаем, |
что |
Pn {z) |
имеет |
|||||||||||
с учетом кратности более п нулей. Значит, Р „ ( г ) = 0 и, следова тельно, Тп (х)= 0. Последнее тождество, однако, противоречит
(А. II)-
Лемма доказана.