Файл: Малоземов В.Н. Совместное приближение функции и ее производных.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 02.08.2024
Просмотров: 72
Скачиваний: 0
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Установим, |
например, первое |
неравен |
||||||
ство. Положим у = arccos X'. Так |
как |
,ѵ>0, то уе^О , |
-^г) > по |
||||||
этому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
cos2 |
> |
1. |
|
|
(1.13) |
|
Кроме того, по условию |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin у < |
|
|
|
|
(1.14) |
||
Имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
IPNl U- , x) — PNi (f\ |
І)| = |
J [/(cos(* + |
y )) - /(c o s * )] X |
||||||
X Um ( t ) i t < |
f |
“ |
sin ( t + |
sin ~ |
UN1(t) dt. |
||||
|
(5 |
|
|
|
|
|
|
||
Теперь замечаем, что в силу (1.13) и (1.14) |
|
|
|
||||||
sin ( t + -£-) sin ~ |
< |
Jsin £ sin у I + |
2 sin2 У < |
|
|||||
< \ t J sin у -f |
sin2 у < |
sin у |
|
|
|
||||
~ w ~ ( W l |
+ |
D , |
|
||||||
так что
I PN1 (/; X) - PN1 (/; |
1) I <co |
j" (N\t\ + 2 ) Um |
|
Из этого неравенства и (1.7) следует требуемое: |
|
||
IРN \ (/; х ) ~ |
PNI (/> ^) I ^ |
Аім (/; ^ дг |
) • |
Лемма доказана. |
|
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о т е о р е м ы . |
Положим |
N-- |
|
(t ) d t . '
+1;
rAf) = f —pNi( Л ; |
L х)( / ;= - ^ 4 ^ / ( 1 ) + /-( ^- Di |
|
= Лѵі ( /) + |
L (/•„ (/)). |
По построению |
|
f - g n |
= rn{ f ) - L ( r n(f)). |
Докажем, что |
для полинома gn е Явыполняется неравен |
|
ство (1.12). |
|
|
Пусть вначале У 1— х2 —j- . Тогда в силу теоремы 1.2
|
I |
|
/ |
|
W |
|
|
- |
|
£ |
|
|
„ |
( |
|
* |
|
) |
! |
|
+ |
4 |
± г п (А - 1 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
+ А-ш (л 9 < ЗЛ2Ш(^ Tv |
|
|
< |
|
|
( V I - # |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
6ЛзШ \ — п |
|
|
|
|
|
|||||||||||
Пусть |
теперь V \ —х 2< -j~-. |
Для |
определенности |
будем |
|
счи |
|||||||||||||
тать, что JC> 0. Имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
I |
/ |
Sn ( |
W |
) I *= |
[ra(/; - X) - |
rn(/; |
|
1)] + |
|
|
X |
|
|
|
||||
|
X |
\rn (/; |
1 ) - / • „ ( / ; |
-1 )] |
< ! / ( • * ) - / 0 ) 1 |
+ |
|
|
|
|
|||||||||
|
+ 1Л ѵі ( / ; * ) - Л ѵі ( / ; 1 ) I + Л (1 - X) со |
l |
. |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
В силу леммы 1.4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
\pNAf>x) ~ pm(f> |
1 |
) | < |
A |
V i —# |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
■4Ш1— ÂÂ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Далее |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J |
|
/ |
W |
|
|
|
- |
|
|
/ |
|
< |
|
( |
i |
< )0 |
|
( |
К |
Наконец, в силу (Г.5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
( 1 |
c o ( i ) |
< (1 -Л -2) О) ( i ) < |
А |
ш (1 _ |
|
Л2) < |
2 |
с о |
( ^ |
^ ) . |
|||||||||
Объединяя |
четыре |
последние |
неравенства и |
учитывая, |
что |
||||||||||||||
д г < — , получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
! |
/ |
( |
|
|
* |
) |
|
- |
А2£) ш |
„ |
|
|
( |
■ |
* |
) |
||
Теорема доказана. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
5. |
В заключение этого параграфа будет установлена |
|
|
|
|
||||||||||||||
Лемма 1.5. Для |
|
Ï Ë |
(—1, |
1) |
выполняется |
неравенство* |
|||||||||||||
|
|
IД ѵ і(/; |
|
АьN |
|
|
|
УТ — xs |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
Jc)|< ,V\ —x* |
|
/ ; |
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
||||||
где Л5.— абсолютная константа.
* Р. М. Т р и г у б [32].
Лѵі (/; |
х) |
= |
г |
1 |
Г / |
(cos t) UNI U — arccos x) dt |
|||
|
|
|
У |
1— x- |
J |
|
|
|
|
Полагая |
здесь |
ÿ = arccos.t |
и |
учитывая, что |
функция U m’ (z) |
||||
является нечетной, получаем |
|
|
|
||||||
P ’N \ (/; |
х) = у - і —=- |
f [/(cos (J + y)) - / ( c o s |
(z1- y ) ) ] u'Ni{t)dt. |
||||||
Отсюда |
|
" |
x |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
PNI (/; |
JC) I< |
|
1 |
|
0) ( 2 s in |
S in y ) I £ /v i ( 0 I |
|||
/1 — Л2 J |
|||||||||
|
|
|
|
r |
f |
||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
||
|
< |
Уі — |
|
(VT. |
I 4 |
Г |
|
||
|
|
|
|
|
|||||
|
Nt \3 |
X |
d |
dt |
|
|
/У sin |
/ sin — 9
d t .
\N sin
Покажем, что
Nt
|
|
d / |
sin — |
i |
< |
/V— 1 |
|
|
(1.15) |
|
|
|
dt |
|
. |
|
|
|
|||
|
|
|
/V sin - y |
|
|
|
|
|
||
Действительно, поскольку |
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 |
|
|
|
|
|
|
. |
2k + 1 |
||
+ |
COS t + |
. . . + |
cos k t |
sin--- — |
||||||
— |
— ------------ J - |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2sin-4- |
|||
t |
. |
3t . |
|
. |
|
2k — 1 |
, |
- |
sin kt |
|
COS —R |
j- COS —R— |
|
|
COS---- ^-----t |
= |
---------- - |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 Sin — |
то при нечетном N = 2k + 1 будет |
|
|
|
|
|
|||||
. 2k + |
1 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
d l sin~ т ~ і |
_2_ |
d (Ц- + |
cos t |
4 - ... + cos kt < |
||||||
dt 1 |
t |
|
N |
dt |
|
2 |
|
|
|
|
N sin - g- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
< 4 ( l + 2 + ...+^)=^(Æ+ 1) |
4N |
N |
"!2 B. H. Малоземов |
33 |
Если же N — четное число, N = 2k, то
_d_ 1 sin kt |
_2_ d t |
t |
, |
Zt |
|
2k — 1 |
, |
||
dt |
N |
ICOS |
|
г cos • |
COS — R— |
t |
|||
N s in 4 - |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^ Ж I ~ "b ~ + ■• ■+ |
|
2A — 1 _ k°- _ N ^ N — 1 |
|
||||||
|
|
“ /V " 4 ^ |
2 |
|
|||||
Неравенство |
(1.15) |
установлено. |
|
|
|
|
|||
Учитывая |
(1.15) |
|
и (1 .6 ),д л я х е (—1, 1) получаем |
|
|
||||
ІѴ Т = * '
X u> |
(4 * + l) |
sin t |
dt. |
t ~ |
|||
|
ü |
|
|
Лемма доказана. |
|
|
|
§2. Периодический случай
1.В предыдущем параграфе был введен оператор 7Ѵі(<р),
действующий из С в H^N- 2. Рассмотрим дополнительные свой ства этого оператора.
Обозначим q>(t + h) = (f>h{t). Тогда
T N I (? ft; t) = Т т (<р; t + h). |
(2 .1 ) |
Далее, для любой функции cp е С
( 2.2)
Наконец, если 2я-периодическая функция cp (t) имеет непрерывную производную первого порядка, то
■?I- |
Тт (?) |
< |
N |
|
|
|
|
|
|
АII у' И |
(2.3) |
где Л, — абсолютная константа. |
|
|
определения Дѵі(ср) |
||
Соотношения (2.1) |
и |
(2.2) очевидны из |
|||
и (1.9). Неравенство |
же |
(2.3)- |
следует из |
теоремы 1.1, если |
|
учесть, что в рассматриваемом случае
1
2. При натуральных N и г положим
0Л,Д?) = { £ - ( 5 - 7 лч)^} (?) = J (-1)*+1С,*+,Пі(<р), k=1
где Е — тождественный оператор, а Т%і-—■k-я итерация опера тора Тт- Очевидно, что GNr{ср; ^-является тригонометрическим полиномом порядка не выше 2N — 2. При этом
9 — О^Дср) = ( £ - r wi) ^ ( o ) . |
(2.4) |
Заметим также, что в силу леммы 1.3
t) — GNr (ф(і); t) |
(2.5) |
для любой функции ф <= СЮ.
3.Теорема 2.1. Если 2п-периодическая функция ф (/) имеет
непрерывную r-ю производную, то для всех s е [0 : г] будет *
„ ( і ) |
G $ (? ) |
,{Г) : |
N |
|
< |
|
|
|
|
N r |
|
Константа Ar зависит только от г.
Доказательство этой теоремы основано на следующей лемме.
Лемма |
2.1. Если ф ^ |
СО, то |
|
|
|
|
||||
где А\ — абсолютная константа. |
|
|
|
|
||||||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Положим Ф/і(0'= 'Ф(^+^1)—-ф(0- |
|||||||||
В силу (2.1) и (2.3) при фиксированном h будет |
|
|
||||||||
|
sup |
\ ( E - T Nl)W; |
t + h) — (E — TN1)-{f,t)\=^ |
|
||||||
— Oö< t |
<00 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А, Фи |
|
|
|
" _ і “Р < Д Е _ 7 " 0 ( ф»: 4 I < |
дг |
|
|
||||||
Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ж ) = |
suPj |
|
|
|
t + h) |
||
|
|
|
|
|
f,,« F |
I^ |
SUP 4 |
ФАI/V |
|
|
|
|
|
[E |
^Ni) (І5 |
|
|
||||
= |
S 4 |
U |
fSP |
U |
P |
+ |
( |
0 |
І |
= |
N |
.I |
1 |
— CO< |
t. <03 |
|
|
|
/V |
V iV / |
|
|Al<Tv |
|
|
|
|
|
|
|
|||
* И. П. Н а т а н с о н |
[20], случай s = 0 ; |
И. Ю. Х а р р и к |
[33, 34], |
общий |
||||||
случай. Обобщение этого результата на случай совместного приближения периодической функции и всех ее производных, включая дробные, получено в [15, 16].
2* |
35 |
