Файл: Лянце В.Э. Интеграл Лебега - Стильтьеса конспект лекций.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 02.08.2024
Просмотров: 65
Скачиваний: 0
.."ï |
|
|
|
л |
|
|
|
|
|
|
/J* |
- почти всюду на |
. Следовательно, применяя теорему |
|
|||||||
о ограниченной сходимости, находим, что функции |
К |
и H |
, |
|||||||
определяемые как пределы |
|
|
|
|
|
|||||
/ в смысле сходимости |
рлУ* - почти всюду на |
.J) |
/ |
|
||||||
являются |
jx. |
- интегрируемы на |
и /см. /11.6/ / |
|
||||||
|
|
A |
' |
|
д |
|
|
|
|
|
где |
л, |
и |
5 |
соответствующие |
интегралы Дарбу, |
|
||||
•"ледовательно, |
если Ç |
Интегрируема |
на Д |
, то |
есть, |
|
||||
> = Çj , |
то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
$ V s d x = |
$ A w y ° = S A u a / ^ |
/и.?/ |
|
|
|||||
|
Сч. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и, в частности, |
^(.И-\гЫдП = О |
Так как |
іх'^ - почти |
|
||||||
всюду на Д |
, Ніх^къо^О , то, на основании теоремы |
|
||||||||
|
|
|
что ЦIX)-ІаОО =0 |
|
почти В0Ю |
|
|
|||
6.3, заключаем, |
|
|
ДУ |
|
||||||
на |
& |
. Однако, |
так как hbo^Çcx- ) ^ Ц(х) |
|
поч |
|
||||
ти всюду на Д |
, то функции к |
, £ |
и |
H |
|
|
||||
^.эквивалентны на |
Д |
|
, а поэтому ^ £ ^уц.'*' |
|
; |
|
|
|||
Д |
/ |
Д |
/ |
|
и из /11.7/ вытекает /11.5/ |
|
||||
11.2Замечание. Предлагаем читателю доказать,
что ограниченная на Д |
функция -Ç |
является интегри |
руемой по Риману в этом промежутке, тогда и только тогда,
.ѵігда множество точек разрыва этой функции ^А.^ - пренебр»-
ÄMMO в Д
І
Простым примером функции интегрируемой по Лебегу, но не
интегрируемой по Рииану может служить характериотичеокая функ
ция J l u < |
множества |
&евсвх |
рациональных точек промежутка |
||||
д. |
Поскольку все точки промежутка |
Д |
являются |
||||
точками разрыва, то |
не интегрируема по Риману» Ввиду |
||||||
того, что |
J l û |
o |
/*" ~ |
п Реи ^б Рѳ жи>ш 8 8 |
^ |
»иСо |
|
Отметим, |
что функция |
Ч. |
, кваялоь |
ие интегрм- |
|||
руемой по Риману, |
в то же время |
|
г |
вввкваяектна |
|||
функции интегрируемой по Риману / именно, функции тождественно
равной нулю на Д |
|
/, Однако, существуют /ограниченные/ |
||||
функции, интегрируемые |
по Лебегу, и |
эквивалентные функциям, |
||||
итерируемым по Риману. |
|
|
|
|||
Предлагаем читателю построить такое д |
-измеримое |
|||||
множество |
А С Д |
|
, чтодля каждою открытого промежутка |
|||
Д' С Д |
' < выполняются условия j x M |
(A' n А) > 0 |
* |
|||
1 1 |
и |
|
|
|
|
|
JUL'-СА'\ А)>О |
показать, что характериотичеокая функция |
|||||
этого множества А |
|
|
интегрируема по Лебегу, |
но не экви |
||
валентна функции, интегрируемой по Риману, |
|
|||||
11.3 |
Замечание. Напомним понятие несобственного |
|||||
интеграла Римана. |
|
|
|
|
|
|
Пусть функция |
£ |
является интегрируемой по Риману |
||||
в каждом промежутке |
л ' # |
\ X £ fêt : а<х< І>'\ , где û.< 4 ' < 4 |
||||
|
Предположим, что существует предел |
|
||||
-89
Тогда функция £ |
называется интегрируемой в ^ÄJÖQJÖ^HOM |
|||||||||
омысле по Риману в промевутке & ^ ^ х.fcIRS : О- <• Л <. Ь \ |
||||||||||
а предел /11.8/ называется несобственным интегралом от Ç |
||||||||||
в промежутке Л |
и обозначаетсп через Sa |
V |
> сі^с |
|
||||||
/также, как и обычный интеграл Римана /. |
|
|
|
|||||||
Напомним, |
что функция -Ç |
является интегрируемой в |
||||||||
несобственном смысле по Римаиу в промежутке |
Д |
, если |
||||||||
этим свойством обладает функция |
l y l |
& этом случае гов |
||||||||
рят, что |
абсдпетно интегрируема в несобственной смысле |
|||||||||
по Риману в промежутке |
А |
. |
|
|
|
|
|
|
||
.Если |
^ |
аб^шп^о^шт^^ |
|
|
|
|
|
|||
cj; iH3ie^jio_J[MaH^B_np^^ |
|
Л , то она интегрируема ъ |
||||||||
3T0jjjy)0M*^Tj<e_^j^ |
|
|
|
|
|
|
Римана |
|||
равен ее интегралу Лебега. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Для доказательства обозначим через Ç v |
|
функцию,' |
||||||||
удовлетворяющую / при достаточно бопьшом -О |
/ соотношению |
|||||||||
|
|
\. ос) |
при а < X < <ь - |
-, |
|
|||||
|
(•О |
|
|
|
г, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при |
f i |
- i |
< Х |
< |
Ь . |
|
В силу теоремы 11.1 i f v £ L ^ u i |
Сл^ |
|
|
и |
|
|||||
b. |
I |
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
Кроне того, |
для всех ѵ |
|
і начиная с |
некоторого, |
|
|||||
Ç„ OOS |
, |
v feЛ |
|
|
|
|
|
|
||
|
5, с „ < ь ^ « $ b i ç ( x ) l d x . |
|
|
|
|
|||||
Следовательно, к последовательности ^ ^ V " |
применима |
|||||||||
|
|
|
- |
90 |
|
|
|
|
|
|
теорема О монотонно)! сходимости, в силу которой-f=t^n^v Ё^ц«>(й1,
J-*>-~ О- |
|
|
G- -, |
|
'тметаш, что, |
если Функция -Ç ' является интегри |
|||
руемой но Рииану в несобственном смысле условно,(то есть, не |
||||
абсолютно/ то она может |
не быть интегрируемой |
в смысле Лебега |
||
/ Например, { ОО = |
-~~ |
-ЪС<У\ ~г , 0 < X < \ |
/ |
|
Аналогичные замечания справедливы по отношению к несоб |
||||
ственным интегралам |
Римана для функций, неограниченных вблизи |
|||
левого конца промежутка Д |
, а также в случае, когда область |
|||
интегрирования неограниченная. |
|
|
||
11.4Замечание. Ввиду! топо, что для функций,
интегрируемых |
но Риману / в обычном смысле, |
или, абсолютно, в |
|
несобственном |
смысле / |
и н т е г Р |
а л / 1 0 есть, интеграл . |
Лебега / совпадает о соответствующим интегралом Римана, то оба
интеграла обозначают одним и тем же символом |
|
Поскольку аналогичные обстоятельства имеют место для |
|
Функций многих переменных, то и / ^ ^ ' ~ И ! И Ѳ Г Р а л обозначают |
|
такке как к |
o t - мерный интеграл Римана, то есть, |
|
D |
i) |
|
= |
^ • ' ' S Ç U n - , О |
rtx,. .. dxu, , |
|
где J ) |
- произвольное |
jat '*'w интегрируемое множество |
|
- &i -
