Файл: Лянце В.Э. Интеграл Лебега - Стильтьеса конспект лекций.pdf

u i A , Л

B j < Я<

А ло/

Из /9.Ѵ/, /2.Я/ и /Г'. 10/

заключаем,

что

1 Дс(.С)-дЦА)

- ^ ( В ) I <

6 £ ,

.откуда, в силу ПРОИЗВОЛЬНОСТИ пололптсльиого £

,

Jü.{C.)~

Отметим, что, поскольку ссношмі. нромсздток До ,

как

элементарное

множество, является

уц. - :ІЗМСІ.І:І..,І!І'., ТО

ИЗ пр

ложений 9.G

1°-3° втекает, что система

/> - нпмерииік

мио-

яеств является алгеброй множеств, 'іспорь мм H СОСТОЯНИИ доказ

что эта система является

олгеороИ. ,.лн этого нам д

^i^!£^^ДSïii£!LÄiSiêt!ы

}*- -. игкс m um гнокеств

/^'Jî^

Доказательство, ьусть A,,

AL,'...

yjL

- измеримые подмножества основного промечутка А 0

и

А =

І Ѵ ^ А^лолагая

А = А , ,

А^' =

А ^

^ .ЬСі' А * 1

пл

iL , - - -

', по-нре.".:нему гмеом А =

U ^ L ^

но, кроме того, множества А, ,

> •••

уЧ - измеримы и

юпарно неперсекаютсн и, для какдого натурального тп.

,

Так как U ^ ,

Ак' С Д 0 ( то

( U ^ , АуЛ ^

Д (Л 0 ) ,

а поэтому-рпч HjZA

>-х С А ^ ")

/ о

неотрицательными членами/

сходится. Пусть £

-произвольное положительное

число, a U ~

такое

натуральное

число, что

21

и ( А . , 0 < -f-

•

/ 9 Л 1 /

Полояим

А £

- как

конечное объединение

y-t - Измеримых множеств,

ти, существует такое

элементарное множество

А £

, что

^ А > \ Л < ІЯ_

/9.12/

Применяя /9.6/ находим

A * A t = [ А / и ' С U

А;{] A [ A t

o S ] c

TON

С(А £ ' А. А ^ Ѵ Д ^ А . ' )

а п о э т о « у ,

используя полуаддитивность функции jx*

,

получаем

(А *

4 /л CAT'

* A > I k

f

1 Aoî ) -

Отсюда, в силу /9.11

/ и /9.12/, ^JL* (A A A t ) < £

, что

и требовалось доказать.

и (.и

. U = I . ^ L A ^ .

Доказательство. В силу 9 . G . b ° , множество

А —

U

А.-,,

у. - измеримо. Так как А S3 U^-.^ АЛ

то, в

силу аддитивности

меры п. , Ч^АІ

U,,_, _Д^- ^ А «. )

,

а поэтому также, U ( A I >

X '

ДД. А-,,.^

. Обритние

нера-

венство вытекает из

того, что <" ^

^ <>-і и, что

внеш­

няя мера ц*

, равная ,и_

на

/д-кзмерииых множествах,

обладает

свойством счетной

полуаддитивности.

е.6.6°. Мера^Леоега -^тильтье^а^эбладтт следующие

-

сно^сдікм^ор^мльнміі^

Ад. 1 А д , • - - U- иаые

ри«ы, А, s А р Т ^ А м э...

V

А и - à

, до

Ь>ѵи L L [ A ^ - 0 .

Действительно, в силу счетноН аддитивности

меры U. ,

jiA f O

= jut (.A m4 A ^

Л * ^ САм«\ A ^

) + ••••'

так, что

juA£\„v\

является

n -ым остатком сходящего­

ся ряда

Х-»?.

u( . A чч -^-пЛ

/с суммой равной

Доказательство того, что из аддитивности л нормальности

вытекает

счетная аддитивность, приведено, в

следующем пункте

/с

ности .

' - 28 - •