Файл: Котелевский В.Ю. Автоколебания в системах трения металлорежущих станков.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 03.08.2024
Просмотров: 58
Скачиваний: 0
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
63 |
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(110) |
|
откуда |
|
следует, что |
Со <С0^2 |
|
< Oj |
. Как |
показано |
в |
|||||||||||
[44] |
, |
в |
задаче, |
подобной |
рассматриваемой, |
нормальные |
частоты |
||||||||||||
консервативной системы и парциональныѳ частоты неконсэрЕатив- |
|||||||||||||||||||
ной системы лежат |
внутри |
двух |
возможных частот |
автоколебаний |
|||||||||||||||
/ с м . ( 5 4 ) / |
(рис . 34) . Таким образом, |
из двух |
возможных |
частот |
|||||||||||||||
автоколебаний |
СО/ и |
Cû2 |
устойчивый |
предельный |
цикл будет |
иметь |
|||||||||||||
место |
на низшей частоте |
Cûf . |
Из |
выражения |
(109) |
следует |
усло |
||||||||||||
вие существования |
предельного |
цикла .с частотой СО^: |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
В (со?-а%) |
•< fr• |
• со, • d |
|
|
(111) |
||||||||||
Условие |
(111) |
является |
важным и показательным, |
иоо |
дает |
опре |
|||||||||||||
деленный ответ о путях увеличения или снижения амплитуда авто |
|||||||||||||||||||
колебаний, |
а |
также о |
возможности |
их |
устранения. Из |
(111) |
видно, |
||||||||||||
что уменьшение возбуждающих |
сил |
)ff |
и |
ведет |
к |
снижению |
и |
||||||||||||
даже к исчезновению устойчивых автоколебаний. Существенна роль |
|||||||||||||||||||
жесткости |
p,(Cü0f) |
: |
|
рост |
pf |
приводит к |
снижению амплитуды. |
||||||||||||
Увеличение удельной силы С2 |
|
приводит к |
уменьшению |
амплитуда |
|||||||||||||||
вплоть |
|
до |
полного |
устранения |
автоколеоаний. Выражение |
(111) поз |
|||||||||||||
воляет |
|
установить |
воздействие |
любого параметра |
на |
|
амплитуду^ |
||||||||||||
нормальных установившихся смещений. С учетом известной |
величи |
||||||||||||||||||
ны отношения |
амплитуд |
|
К |
|
становятся полностью |
определенными |
|||||||||||||
решения |
(103). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Для исходных |
параметров, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
полученных |
в расчетном |
при- |
|
|
|
^ « |
|
г |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Содо GOof |
|
|
|
л |
|||
мере S 4, |
гл.Ш, приведем |
|
|
. |
—_ |
|
. |
|
|
|
*—СО |
||||||||
пример построения |
амплитуд |
|
t) |
со, |
|
|
С02 |
|
|
|
|
||||||||
с помошьга |
выражения (111) |
и |
|
Рис. |
34 |
К определению существования |
|
||||||||||||
ПОЛуЧеННЫХ ранее |
(§2,ГЛ.П) |
|
|
||||||||||||||||
|
предельных |
циклов пвтоколобани» |
|
||||||||||||||||
формул |
|
для |
определения |
СО , |
У |
и |
К. |
На ркс.35 и 36 приведе |
|||||||||||
ны значения амплитуд |
смещений |
|
и |
-Х^ |
для исходных |
данных, |
|||||||||||||
приведенных на графиках (рис.32 и 33).. Сопоставляя полученьые |
|||||||||||||||||||
графики амплитуд с графиками, построенными для тех же нечать- |
|||||||||||||||||||
нкх данных на основе эксперимента |
[31 ] |
(рис . 37), |
|
можно |
о т |
||||||||||||||
метить |
их |
удовлетворительное |
совпадение, |
не |
сбитая |
петли |
на |
||||||||||||
64
опытном графике j£2 (У) в районе скорости У =1,6 м/мин.
* - V мм/сек
Rue. 35. Иомононип амшштуц н чистоты в функции скорости при:рг* 12700 и/мм
20 |
W |
ÖO |
V мм/сек |
80 |
Рис. 30. Иомопоішя амплитуд и частоты в функции скорости при: -57QO hJMM
|
|
|
Рис. 37. Изменения пмплнтуды и частоты |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
и функции скорости, полученные п эксперименте |
[37] |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Из рассмотрения представленных графиков появляется повод |
|||||||||||||||
для предварительного |
анализа |
связи между интенсивностью |
|
авто |
||||||||||||
колебаний и |
величиной |
тангенциальной |
силы трения |
|
Т% • |
Вспоми |
||||||||||
ная выводы |
§ 4 гл.Ш о влиянии |
жесткости привода |
рг |
на |
|
|
, |
|||||||||
можно |
констатировать, что при изменении жесткости привода |
в |
||||||||||||||
сторону возрастания амплитуды автоколебаний уменьшаются, |
а |
|
||||||||||||||
постоянная |
составляющая |
Тг |
силы трения при. этом |
возрастает |
||||||||||||
за счет |
роста |
контактной |
деформации |
&ущм движении |
с |
большим |
||||||||||
Рг. |
• |
Поскольку |
увеличение контактной деформации |
« ^ э к в и в а |
||||||||||||
лентно |
увеличению нормальной |
нагрузки + А & |
, можно |
заключить, |
||||||||||||
что уменьшение амплитуд автоколебаний должно приводить |
к |
воз |
||||||||||||||
растанию износа |
<£f |
сопряженных поверхностей в |
силу |
известной |
||||||||||||
зависимости |
М.М. Хрущова |
[4Э] |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
<У=А |
|
, |
|
|
|
|
|
|
U12) |
|
где |
УІ |
- |
коэффициент сопротивляемости поверхностному |
износу; |
||||||||||||
|
i f |
- |
путь |
трения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
В работах |
[бО,6о] |
дано экспериментальное |
подтверждение |
н а з |
|||||||||||
ванной связи, где указано на возрастание срока службы фрикцион ной пары тормоза с увеличением автоколебаний в системе. Указан ная связь между интенсивностью автоколебательного процесса и изнашиваемостью поверхностей трения имеет важное прикладное значение в машиностроении.
-66 -
§2. Представление автоколебательной системы
пои смешанном трении в виде релейной системы автоматического регулирования
Рассмотренный выше энергетический метод справедлив |
по П зоне |
|||||||||
(рис.32) скоростей |
в связи |
с допущением о близости |
автоколеба |
|||||||
ний по форме к гармоническим. Будем полагать, |
как это принято в |
|||||||||
нелинейной |
механике, что критерием малой нелинейности |
системы |
||||||||
и близости |
ее решений к |
гармоническим является |
ограниченность |
|||||||
нелинейной |
функции |
ß(Vj |
на фазовой |
плоскости |
в обЗіасти 9 : |
|||||
|
|
|
-jf<et(4)t-jf, |
|
|
|
(из) |
|||
и парамечр |
< ^ = |
^ настолько |
мал, что внутри |
области |
9 |
|
||||
удовлетворяется |
неравенство |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
У |
\£f\« |
/ |
|
|
|
С114) |
Если jf\ßj\близко |
к 1 или больше, то система |
становится |
существен |
|||||||
но нелинейной, а форма автоколебаний оказывается релаксационной.
Известно, что наибольшее беспокойство |
доставляют |
автоколе |
||||||
бания фрикционного типа в 1 зоне - малых скоростей, |
іде наблю |
|||||||
дается прерывистое движение, а форма |
автоколебаний |
далека от |
||||||
гармонической ( с м . р и с . 8 ) . Роль |
нелинейной |
зависимости |
$(Ѵ) ъ |
|||||
динамической системе трения в области |
малых скоростей |
возрас |
||||||
тает, что приводит к релаксационной форме |
автоколебаний. Нашей |
|||||||
задачей в настоящем разделе является |
проследить |
возможность |
||||||
расчета |
автоколебаний релаксационного |
типа при помощи той же |
||||||
модели, |
которая |
использовалась |
при рассмотрении |
автоколебаний |
||||
гармонического |
типа. С практической точки |
зрения в |
подобных |
|||||
расчетах |
важна |
критическая скорость |
Ух |
, ниже |
которой движе |
|||
ние носит прерывистый характер |
[з?] . |
|
|
|
|
|
||
Вернемся к вопросу о роли нелинейной функции в колебатель ной системе. В механике машин нелинейные функции параметров по своим характеристикам разделяются на "жесткие" и "мягкие".
Данное разделение относится прежде всего к восстанавливающей силе, которая в случае жесткой характеристик растет быстрее отклонения, например, по закону:
- 67 -
а в случае мягкой характеристики - медленнее отклонения:
(116)
В отношении диссипативных сил монет быть проведено подобное разделение:
|
|
|
|
|
(117) |
|
|
|
|
|
(118) |
Полагаем в выраяениях ( 1 1 5 * - 1 1 8 ) и |
jutположительными. |
|
|||
Колебательные системы с функциями (118), |
а иногда |
и (116) |
ока |
||
зываются самоБОзбуждшощимися и составляют самостоятельный |
|
||||
класс нелинейных |
задач. Последние две |
зависимости |
встречаются |
||
в связи с проявлением сил трения. Выражение (118) |
близко |
к |
|||
той зависимости (47), которая включена нами в динамическую |
|||||
модель смешанного |
трения. |
|
|
|
|
С развитием средств связи, автоматики |
и управления были |
||||
искусственно соэданы многочисленные автоколебательные системы, описываемые уравнениями с функциями типа (116) и (118). Часто, в подобных системах нелинейные функции отражают явления "насы щения" ( в электромагнитных приборах) или "ограничения" вслед ствие зазоров в механических устройствах. Здесь получили рас-т пространение существенно нелинейные функции - релейные, выра
жаемые через d - |
функцию Дирака [Ею] |
. Теория |
автоматичес |
кого регулирования |
для релейных систем |
позволила |
надежно р а с |
считывать движение в подобных системах сравнительно простыми методами. Оказалось, что для релейных автоколебательных систем частота и амплитуда частного решения не могут быть найдены в замкнутом виде, но сравнительно просто определяются с привле
чением построения |
решений на комплексной плоскости, либо мето |
|||||||
дом припасовывания |
отдельных частей |
решений |
и |
др . [з] . |
|
|||
Представим модель |
(48) в |
виде |
системы |
автоматического |
р е |
|||
гулирования. На рис. 38 |
изображена |
блок-схема, |
соответствую |
|||||
щая динамической |
модели |
(48). |
|
|
|
|
|
|
Передаточные |
функции <Л(р) |
для |
составл |
|
элементов |
с х е - |
||
мы (рис.38) в операторной форме имеют вид:
(119)
- |
68 - |
|
(120) |
Ж3(/г) |
A |
|
(121) |
d
где А ' ^ ^ "
%j f ^
'А/ |
-г /с3 |
~ символ дифференцирования;
- постоянные времени соответствующих сил;
- коэффициенты усиления элементов системы.
Для всей линейной части передаточная функция принимает вид:
\к], . _ |
'-Af • Аг • А3 •/* |
|
(122) |
Линейная |
часть |
T(t)
ß
—»-/ |
У |
|
|
J |
Релеіінь/ù |
|
"jAejfteH/n |
*/0 |
a |
1_Л |
j |
Рис. 38. Представление системы аптоколоблнш! |
|
в виде |
рилеиной системы Автоматического регулирования |
Нелинейный член выделен на схеме в отдельный релейный элемент, характеристика которого может быть аппроксимирована к характе ристике некоторого релейного элемента, обладающего запаздыва нием при срабатывании:
и |
г |
(123) |
|
|
|
|
- |
69 |
- |
|
|
|
|
где |
X |
- пороговое значение |
аргумента |
. |
|
|
||||
Характеристика |
релейного элемента |
имеет выражение |
|
|
||||||
|
|
|
|
2Cs К |
|
|
|
|
(124) |
|
|
|
|
|
і |
|
|
|
|
|
|
Выражение (124) |
получено на основании формулы (47) |
для |
нелиней |
|||||||
ной функции подъемной силы в момент |
сѵ£ =/і££~ |
при |
подстановке |
|||||||
вместо |
J£> и |
.^.выражений (103): |
|
|
|
|
|
|||
|
|
С |
= Сэ (•/-jUfJfjJ, |
|
К |
со |
|
|
(125) |
|
Здесь |
учтено |
то |
обстоятельство, что |
угол |
сдвига фазы между «2> |
|||||
и JCZ |
|
близок |
ТИ0Г/2 и оказызается |
во |
второй чѳтзерти, так что |
|||||
COU <ѵ£ = - ôin (cv£+fx
При Л, -~^1J3JUf функция ( 125) принимает максимальное зна чение, представленное формулой (124).
Характеристика релейного элемента (123), изображенная рис.39, содержит вону нечувствительности данного элемента
і-Х, X ) .
Q
Обращаясь |
к нелинейной функции |
|
|
|
|
|
||||||
(47), |
можно отметить два |
обстоятель |
|
|
|
|
|
|||||
ства, |
приближающие |
ее |
к |
релейной |
|
|
|
|
|
|||
функции (рис . 40) . |
Во-первых, значи- |
-1С |
|
|
|
|||||||
тельность |
коэффициента |
нелинейно |
|
|
|
|
|
|||||
сти уМ-у |
в |
области |
малых |
скоростей |
A |
|
|
|
|
|||
( I зона) обуславливает быстрое огра |
|
|
|
|
|
|||||||
ничение |
роста |
Û ' |
, |
что приводит |
|
|
|
|
|
|||
к сравнительно быстрому "сраоатыва- |
|
|
|
|
|
|||||||
нию" |
данного |
члена |
относительно дру- |
р , , ^ . Х |
п р а к т Р Г „ с т |
н к а |
^ с Ы о Г О |
|||||
ГИХ. ПО ЭТОЙ ЖѲ Причине уСЛОВИе ( 114) |
эломонта |
с |
зоной :ючуисѵіыталыіостн |
|||||||||
не выполняется. Во-вторых, в силу |
|
|
|
|
|
|||||||
того, что в действительности угол сдвига фазы |
у Г^/З |
, |
появ |
|||||||||
ляется |
зона "нечувствительности" у функции |
Qf^2) |
по |
отноше |
||||||||
нию к входным сигналам от линейной части системы. При этом спра ведлива зависимость: %= f((/J - В случае (/=Ж/2 , %•= О и зона "нечувствительности" отсутствует. Введение зоны "нечувстви тельности" в характеристику релейного элемент* рассматриваемой
