ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 03.08.2024
Просмотров: 99
Скачиваний: 0
По формуле |
(4.36) |
a |
b |
'к ~ |
|
о |
о |
|
|
+ Ы ( т ) " ( - ) " + ( т ) Г |
|
|
+ + |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
m*к \ 2 |
^ |
/г* я j 2 |
j |
^ |
/ля |
у |
^ / |
/гя |
\ 2 |
|
|
. |
m* яд: |
|
|||
|
|
|
|
sin |
|
|
X |
|
||||||||||||
|
X |
|
п* пи . |
пгпх |
|
/гя(/ |
|
|
а а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Sin |
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
b |
Sin |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
о о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
w / |
/г* я |
\ |
т*пх |
|
п* пу |
( inn |
\ I |
пп |
\ |
тпх |
|
|
|
ппу |
, , |
, |
||||
X |
|
cos |
cos |
— |
|
|
|
|
cos |
|
cos —- |
dxduA- |
||||||||
\ |
b |
) |
a |
|
|
b |
V. a ) \ b J |
|
a |
|
|
|
|
b |
y |
1 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
1 и |
a b |
|
\ |
m* пх |
|
. |
п* пи ( |
тп |
\ |
|
|
тпх |
|
|
|
|||
|
|
Г Г / m* я |
|
|
|
— x |
|
|||||||||||||
|
+ Н х |
j J — ) c o |
s — S |
l |
n |
-г |
—) |
c |
|
o |
s |
|
||||||||
|
|
|
о 0 |
|
|
|
|
a |
fc |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nr Я |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
X sin |
|
dxdy ~\- Ну |
|
|
\ |
. ОТ |
ЯХ |
X |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
sin • |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
о 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n* ny I |
пп |
\ |
• |
mnx |
|
nny |
, |
|
< |
|
|
|
|
|||
|
|
|
X cos |
|
— |
|
sin |
|
cos — — |
dx |
|
du. |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
b |
\ |
b |
) |
|
|
a |
|
b |
|
|
|
J . |
|
|
|
|
Учитывая ортогональность тригонометрических функций, полу чаем chi = 0. По той же формуле (4.36)
a -b
'Aft
0 0
я |
b |
|
|
+ j |
j 4 D K p f |
2 ( JHL ) 2 cos2 Ä cos2 ^ |
+ |
о 0 |
|
|
|
яb
|
|
mn |
о mnx |
• |
о |
nnu j , |
, |
о о |
|
cos- |
s i n 2 |
— dxdy |
+ |
||
a I |
a |
|
|
b |
|
||
о |
b |
|
|
|
|
|
|
+ Я у j |
j |
( |
2 sin2 ?f- |
cos2 |
Ä |
d* dy. |
|
Q о
J27
После интегрирования
ah |
|
|
|
— |
+ 2 D i l h |
— |
— ) + |
|||
chk |
|
|
|
|||||||
+ c\ - f c2 |
mn |
V |
|
|
|
|
mn |
|
+ |
|
а |
|
|
|
|
|
а |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
Нх |
mn |
|
nn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~b~ |
|
|
|
|
Каноническое уравнение |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
отсюда |
|
|
ckh ah + Chp |
= Q< |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a b |
|
|
innx |
|
nny |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Я |
q (д.-, у)sin |
|
sin —-— dx dy |
|
|||
|
|
|
о О |
|
Chh |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Полученный |
ответ совпадает с тем, что имели по методу Бубно |
|||||||||
ва—Галеркина |
(4.17) |
и |
по |
точному |
|
решению |
(3.59) — (3.61), по |
|||
скольку исходили из |
точного решения (4.15). |
|
|
|||||||
В тех случаях когда выражение |
(4.31) |
не |
удовлетворяет диф |
|||||||
ференциальному |
уравнению |
изгиба |
пластины, решение |
получает |
||||||
ся по методу Лагранжа — Ритца приближенным. |
|
|
||||||||
§ 25. Метод конечных разностей
Метод конечных разностей состоит в том, что все произ водные в дифференциальном уравнении изгиба пластины
|
|
-2D, |
d*w |
|
д* w |
г, |
д2 w |
|
1 дх* |
дх2 ду2 |
|
ду* |
- п„ |
|
|
||
|
|
дх2 |
|
|||||
|
d2w |
|
|
d2w |
. д2 w |
х |
|
|
- я , |
|
с* w—с2 |
|
-q(x,y) |
(4.38) |
|||
ѵ |
ду2 |
|
|
дх2 |
ду2 |
|
|
|
заменяются конечно-разностными отношениями, и оно становится алгебраическим уравнением с неизвестными прогибами в отдель ныхточках пластины. В результате этого вместо решения диф ференциального уравнения в частных производных (4.38) должна решаться система алгебраических уравнений по числу намечен ных точек пластины с неизвестными прогибами. Естественно, что чем больше точек с неизвестными прогибами будет намечено на пластине, тем решение будет более точным.
Нанесем на прямоугольной пластине прямоугольную сетку (рис. 56), узлы которой будут определять точки пластины с неиз вестными прогибами. Будем далее придерживаться приведенных здесь обозначений.
128
Рассечем горизонтальную пластину вертикальной плоскостью, параллельной плоскости XOZ и проходящей через центральную точку і сетки (рис. 57). Выразим две первые частные производные
вцентральной точке і через прогибы пластины в центральной точке
идвух соседних с ней точках b и d. Для этого аппроксимируем кривую прогибов в точках i, b и d параболой второго порядка, про
ходящей через три ординаты прогибов wd, wt |
и wb, отстоящих друг |
от друга на равном расстоянии Хх (рис. 57). Пусть координата цент |
|
ральной точки і будет X, координата точки |
b (х + кх) и координата |
точки d(x — Хх), а парабола, проходящая |
через прогибы в этих |
точках, имеет выражение |
|
|
|
|
|
W i |
= Ax2 |
+ Bx + C. |
(4.39) |
||
Соответственно: |
|
|
|
|
|
д |
щ |
*=2Ах + В\ |
(4.40) |
||
|
дх |
|
|
|
|
|
д2 |
щ |
• 2А. |
(4.41) |
|
|
|
дх2 |
|||
|
|
|
|
|
|
По выражению (4.39): |
|
|
|
|
|
wb = А (ж + К)2 + В (X + Kx) + C = wt |
+ A {2х%х + Я») + ВКХ; |
(4.42) |
|||
Щ — А (х—Я,.)2 |
+ В(х- |
Хх) + C = wt + |
|
||
+ А(—2хХх |
+ Хх)~ВІх. |
(4.43) |
|||
Из (4.42)—(4.43) имеем |
|
|
|
|
|
wb — wd |
= А4хХх |
+ 2В%Х.. |
|
||
Учитывая (4.40), |
|
|
|
|
|
" |
|
d |
х |
дх |
|
Отсюда получаем первую производную, выраженную через |
|||||
разность прогибов пластины в точках b и d: |
|
||||
dwj |
|
wb — wd |
(4.44) |
||
дх |
|
2ХХ |
|
||
|
|
|
|||
Из тех же уравнений (4.42), (4.43) |
|
|
|||
®>ь + Щ = 2оУг |
+ 2Ак% . |
|
|||
Отсюда с учетом (4.41) получаем вторую производную
d2 w i = |
о л ^ т ч — 2т + wb |
(4 45) |
од:2 |
Ч |
' |
Далее составляем следующие производные в конечных разно стях, для чего в свою очередь аппроксимируем параболой второго порядка соседние точки вторых производных, т. е.
^±- = А1х* + В1х + С1. |
(4.46) |
дх2 |
|
129
Ь |
I |
I |
I |
I |
а. |
|
|
I |
I |
I |
I |
L k .
Рис. 58 |
Рис. 59 |
Производя затем такие же операции с применением уравнения (4.46), какие были проведены с применением уравнения (4.39), получим аналогичные выражения, как и (4.44) — (4.45), с заменой в них прогибов пластины на вторые производные:
|
Ö3 Ші |
1 |
/ d2wb |
d2wd |
|
|
дх3 |
2ХХ |
дх2 |
дх2 |
|
diwi |
_ |
1 / d2wd |
g а2 Ш; . д2щ_\ |
||
дхі |
~ |
Il |
[ дх2 |
дх2 |
дх2 |
Учитывая (4.45),
d3Wi |
1 f Wi — 2wb — wi wn — 2wdJç-wl |
дх3 |
2%x |
i _ 1 / wn—2wd + Wj 2 wd —2 w i + w b j m — 2wb + wi
dx*
130