Файл: Киселев В.А. Расчет пластин.pdf

д3

wi

1

(-wn

+ 2wd-2wb + wl);

(4.47)

дх3

2%î

д*Щ=^т-

[6wt-4

(wd + wb) + wn + wi\.

(4.48)

a*4

%%

Учитывая

(4.49),

дудх2

Xx [

2kv

2Xy

2ku

Это выражение совпадает с (4.53).

2)

d3w

д

I

d2w

dxdiß

дх

\

diß

Составляем по (4.44)

d3wt

1

/

d2и>ь

д2wd

dxdiß

~

2%х

\dy2

äß~

С учетом

(4.50)

d3wi

1 /

wg — 2wj,^-Wf

•

ш/i —

2wa-\-we

(4.54)

dxdy2 ~~2kx~

(

k~l

Это же выражение может

быть получено,

если

применить такую

запись:

о3

ш

д

i

dw ^

dxdy2

ду2

V дх J

3)

ä*w

д

( д- w

дх"~ду2

дх2

\

ду2

Составляем по (4.45):

a* ШІ _ I ( д2 wd

2 д2 Wj _j д2

дх2ду2

Хх \

ду2

ду2

ду2

Применив

(4.50),

d*Wi __

1 / Wh — 2wd

+ we

0

wc

— 2WJ -\-wa

j wg

— 2wj, - f wf

дх*ду2

%i \

ц

К

4

Окончательно:

diwi

1

• [4Wi—2 (wa + wb + wc + wd) +

дх2ду2

ХЩ

+ {wB

+ wf + wh + wg)\.

(4.55)

Это же выражение может быть получено,

если исходить из равен­

ства

_ JP_

d*w

I'

d2w

дх* ду2

~

ду2

\

дх2

После

получения

всех

необходимых

производных

подставим

их в исходное дифференциальное уравнение

(4.38),

записываемое

для точки

і:

D

6Wj — 4(wb

+ Wd) + U>l + Wn i

ч

>2D

4 W i ~ 2

^Wa

+ wb + wc + w<i) 4- (щ + щ +

wg + щ)

j

3

44

,

D

6WJ —

4 (wc

+ wa) + (wm

-1- wh)

TT wd—2wj

+wb

Ц

x

4

_

H

Wc-2wt

.

КУ

( Wd

— Wi-j-Wb

!

Wc — 2Wj +

Wa

Ч

ч

+

к

X2

Обозначив

далее

через а отношение -т-^-, можем записать:

[6wt —4 (wb +

te)d) - f Wt + wn]

a2 +

'y

\

2D

[4шг

— 2(wa+wb

+ wc + wd) +{we

+ wf

+ w„ + wh)]a +

1 3

+

- ^

[6Wi—4 (wa

+ wc).+

oifc + ovj —

Ky

— - r f - {Щ—2wt+wb)

a—-f-

(ше — 2шг

+ wa) + c[ wt

—

Ky

4

— -4^[{wd—2wi

+ wb)o,+

(we—2wt

+ a/a)l =

qt.

После

преобразований

окончательно

получим

о с н о в н о е

вибрационной

нагрузки,

без учета

сил сопротивления:

6 ( Х г +

8 _ g j L a + 6 _ g 2 _ +

2Н*%«

а +

2 Н У Х У

+

Di

Dx

D,

ßi

с{ЪІ

,

Ci%l 0

/ 1

.

Л ,

Г '

4£>з

.D2

^ + - D T 2 ( 1

+ a

) \ + W A ~ - D 7 a

- 4 ^ -

Di

D i ^ J +

^ L

Di

Di

+ w

Г 4

а - 4 а 2 - - ^ ^ - ^

К, а| +

+

{We + W; +

W8 +

W„) 2D, a

D,

-г-(шг +

Г2)п ) а 2 =

Qi Xy

(4.56)

Di

где

а =

(4.57)

М.

п

( wd

— 2wj +

wb

WC

— 2Wj + Wg

(4.58)

M

n

/ wc

— 2wj +

Wg

wd

— 2wt

+ wb

(4.59)

%1

2)

Крутящие

моменты по

(3.27)

Найдем сначала

производную

d*-w

dw

дх ду

дх

\

ду

По (4.44) и (4.49)

d2wi

1

/ dw \

( dm \

1 ( Wj — Wg

We — W)t

дх ду

2%х

\

ду

}ь

V ду

Id

2%u

2Яц

Теперь

можем

получить

mxt = myi

=

2Dap- 4Ях %y {—we

+

Wj — wg*\-wh).

(4.60)

3)

Поперечные

силы по (3.32)

(3.34)

Применяем (4.47), (4.51), (4.53) и (4.54):

Q x i - - D 1 [ ^ { - W n + 2 W d - 2 W b + W l ) + f i

. - - L j - x

X [{wg — 2wb

+ wf)—(wll—2wd

+ we)iy,

(4.61)

Qu1=D* {êf{~Wm+2w*

~2Wa+Wh)+

+

К ш . - 2 ю а +

да/)-(%-2гое + аѵ)]} . (4.62)*

D i

D i

D 2

D 2

V

'

/-£ = c1wi~

с%

д2 иц

+

дх2

t

/ WH — 2W! + Wh

, WC—-2Wi + Wa

\

/л г*л\

= c1wi—c.1{-^—^2

+ —

X2

J •

(4-64)

Все

выражения

(4.56) — (4.63),

приведенные

ранее

и приводи­

мые далее,

применимы

и для

расчета

изотропных

пластин,

если

в

них

положить:

DX

= D2 = D3

= D = Eh3

: 12

(1 — p.2);

e

= F = 2 -

p . ; 2

D K p

= D ( l

-

ix).

При написании уравнения

(4.56) надо иметь в виду

следующее.

нение (4.56), а оно требует ^наличия [двенадцати точек а, Ь, с, d, e, f,

g, h, k, l, m и n вокруг центральной точки і, для которой оно записы­

вается, с обязательным их размещением по

стандартной

схеме

рис. 56. Кроме того, как видно из выражений

(4.58) — (4.64), для

определения всех внутренних усилий в данной

центральной

точке

исключить их

из общих

уравнений.

*

В связи с изменением

направления оси у (рис. 57) у тХі в (4.60) и Qyi

(в 4.62)

изменен

знак .