ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 03.08.2024
Просмотров: 105
Скачиваний: 0
т. -.аУ = \ |
vxvdzdyz= |
\ |
——f-.p^-dzdy*. |
Jfc |
u |
Jft |
дхду |
my
ami 0*
rix
Рис. 16
После |
интегрирования |
получим |
|
|
|
Eh3 |
ff*w |
= |
|
|
12(1 фц.) |
охо</ |
|
|
Также |
получим, что |
|
|
|
|
ту = тх=— |
D{\— |
||
§ 7. Общий случай изгиба
- D ( l - | x ) |
(2.12) |
|
дхду |
jx) |
(2.13) |
дхду |
|
пластины
Рассмотрим равновесие бесконечно малого элемента пла стины (рис. 16).
|
1. |
%Z = |
|
-Qxdy+(Qx+dj?dxyy- |
|
|
- Q „ |
+ (Qv + |
j j |
dy) d z ~ Ü |
+ 0 d x = |
После |
упрощений |
получим |
|
|
|
|
|
a<2* |
dQu |
(2.14) |
|
|
|
дх |
ду |
|
|
|
|
|
|
||
* |
Момент от касательных |
напряжений тхг |
относительно нормали в цент |
||
ре тяжести площадки dyh высшего |
порядка малости. |
||||
18
2. 2 A ï ï = |
— Mvdx+ |
\My + -^dy\ |
dx— mxdy+ |
+ [mx + |
f dx) dy+ |
(Qx-Qx-fxdx) |
f - |
|
/ |
dQ,, \ |
|
|
|
du |
—lQy+-^dy\dxdy |
|
+ (q + r)dxdy— |
= 0. |
|||
Упрощая |
это |
выражение, |
получим |
|
||
|
|
дМу |
дтх |
-Qy |
= 0. |
|
|
|
ду |
дх |
|
||
3. |
^M1i |
= Mxdy—[Mx+^dx)dy |
|
+ medx- |
||
— ( mV ' |
дт,ldyyx+^Qy |
+ d ^ d y - Q y ^ + |
ду |
|
|
+ ( Qx |
+ d-^dx) dy dx-(q |
+ r)dxdy^- = 0, |
или с упрощением
дМх |
дту |
Qx |
= 0. |
|
дх |
ду |
|||
|
|
Из выражений (2.15), (2.16) имеем
дМх |
дт, |
дх |
ду |
дМу |
дтх |
Qv = ~ + |
- - • |
ду |
дх |
Составим частные производные:
(2.15)
(2.16)
(2-18)
дх |
дх2 |
дх |
ду |
dQy _д*Мѵ |
дЧп* |
||
ду |
ду2 |
дх |
ду |
19
Подставим полученное в (2.14):
д*Мх д*ту д3Му д*тх ••q + r.
дх* дхду ду* дхду
Учитывая, что ту=тх, будем иметь
^ |
+ 2 ^ |
+ ^ = 9 + г. |
(2.19) |
дх* |
дхду |
ду* |
, |
Теперь составим производные от (2.8), (2.9) и (2.13):
дМх_ |
г-. / d3w , |
d3w |
(2.20) |
|
дх |
-DI |
\-a |
|
|
V ÔJC3 |
дх ду* |
|
||
|
|
|||
дМу_ |
г-. / d3w . |
d3w |
(2.21) |
|
ду |
-DI |
f-u |
|
|
\ду3- |
|
дх*ду |
|
|
дтх |
|
|
||
г - . , , |
ч |
daw |
(2.22) |
|
дх |
— D(l |
— j-i) |
дх* dy |
|
v |
|
|
||
дпіу |
_ |
|
d3w |
|
ду |
~ _ D ( 1 - H . ) — - . |
(2.23) |
||
|
|
|
dx dy* |
|
По (2.17), (2.18) получаем окончательные выражения поперечных сил:
« - ~ D ( S + i £ ) : |
<2-24> |
Составим вторые производные от (2.8), (2,9) и (2.13):
дх* |
\ дхх |
|
дх* dy* |
дЩ, |
ъІд*ю |
, |
d*w |
ду'2 |
\дуі |
r |
dx*dy* J |
^ = - 0 |
( 1 - ^ ) - ^ . = ^ . |
|
дхду |
дх*ду* |
дхду |
Подставим полученное |
в (2.19): |
|
_ . D ( ^ + ^ ] - 2 D ( l - ( x ) ^ - D ( ^ + ^ J Î Î L U 9 + r.
W*4 дх*ду*.І г,дх*ду* \дуі * dx*dy*j
20
Отсюда получаем дифференциальное уравнение прогибов пла стины, обычно именуемое уравнением Софи-Жермен:
^ |
+ |
2 - ^ + ^ = - |
^ ± - |
г . |
(2.26) |
|
дх* |
|
дх2ду2 |
ду* |
|
D |
|
Это же уравнение |
записывается |
еще так: |
|
|||
|
|
Ѵ*Ѵ2ш = |
|
—ч-$1, |
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
где
дх2 ду2
Для пластины на упругом основании с двумя коэффициентами постели уравнение (2.26) с учетом (1.18) будет:
d*w |
. g |
d*w , |
о4ш . |
сг w |
|
дх* |
дх2ду2 |
ду* |
~Ъ |
|
|
с 2 |
/d2w |
d2w\ |
= |
q(x, у) |
(2 27) |
D |
[дх2 |
ду2) |
|
D |
К |
При динамическом расчете пластин надо к нагрузке q присоеди
нить: |
|
|
|
|
i \ |
|
d2w |
|
|
1) силы инерции |
m -^, |
направленные вверх; |
|
|
2) |
силы сопротивления, |
принимаемые приближенно с3 |
на |
|
правленные вверх (возможны и другие формулы для сил сопротив
ления).
После этого уравнение (2.27) для динамического расчета пластин принимает такой вид:
|
|
dAw . g |
д*ш |
. d*w |
. Ci w |
|
|
|
|
|
Их* |
дх2 |
ду2 |
~ду* |
~5 |
|
|
с 2 |
(d2w |
d2w\ |
m |
d2w |
, cs |
dw _ |
q(x, y, t) |
(2 28) |
D |
[дх2 |
ду2) |
D' |
dt2 |
D' |
dt |
D |
' ^ ' |
где m — масса пластины и часть приближенно присоединяемого основания на единицу площади пластины, а с3 — коэффициент про порциональности .
§ 8. Контурные (граничные) условия
Контурные условия зависят от вида закреплений сторон пластины (рис. 17).
21