Файл: Киселев В.А. Расчет пластин.pdf

1.

Заделка

{защемление):

1) при

X =

О или

X — а

w^Q

и — = 0;

(2.29)

дх

2) при

у — О

или

у = b

w = 0 и — = 0 .

(2.30)

Поскольку

по линии опирания

w =

0, то как следствие получаем:

1) ^ ! = 0 ; 2) - ^ = 0.

ду

дх

2.

Шарнирная

опора:

1) при X =

0

или X = а

W

= 0 , M x = - D [ ^ +

^ ) = M x t

(2.31)

где Мх—

заданная внешняя моментно-полосовая нагрузка на дан­

ном крае

пластины.

что w =

Следствием того,

0, имеем:

dw

d2w _ Q

ду

diß

При этих

условиях

(2.31) будет иметь вид:

ш = 0 и —

= *±-

'

(2.32)

&са

D

2)

при t/ = 0 или у — Ь

или

и, = 0

и

— =

- ,

(2.33)

где М у — внешняя моментно-полосовая

нагрузка по соответствую­

щему

краю пластины.

3.

Свободный

край

(при

с 2

= 0):

m t o = - D ( l - i i ) ^ = 0

(в)

^ХСУ)

Рис. 17

dm*

тх(ь)

Рис. 18

Рис. 19

В силу этого два уравнения

(б) и (в) объединяются в одно на

основе таких рассуждений.

Составим

производную от тх по у:

дтх

..ч

d3w

ду '

дхду2

Это выражение

просуммируем

с уравнением (б):

Vx

= Qx + d - ^ = - D

dsw

, ,п

ч

dsw

(г)

дх*

г/дхду*

х

х

ду

у

Из выражения

(г) следует,

что приведенные поперечные хилы

Ѵх

состоят из поперечных сил Qx и некоторых условных поперечных

сил

Qx = ~щ^~> статически

эквивалентных

крутящим моментам.

Для доказательства рассмотрим два значения крутящего момента

mxdy в точке k при координате

у и (тх + ^

dy) dy в точке m при

на участок длиной dy, получим Q* =

(рис. 18, s).

Vr

= -D

r J дхду"1

•А

дх* к

V.--D

(Pw

,~

.

d3w

(2.35)

Loy3

1 ~

W

дх*ду\ А-

mx=—D(l

— \i) d*w

Л

(2.36)

дхду

= m„ = 0.

у

тую по всем четырем сторонам и лежащую на упругом

основании

с двумя коэффициентами постели, под произвольной

нагрузкой

стины при изгибе (прогибы) w (х, у)

в двойной

тригонометрический

ряд

и>{х, У)= 2 2 атп

sin — sin

.

(2.37)

m = I n = I

a

b

оо

то

оо

со

i = i n

i

h

sin — s i n — ^ +

2,

2J

a m n 2

—

— X

\ a j

a

b

, n = \ n = \

_ \ a J \ a !

m=

I

n= 1

.

mnx

. nnt/ ,

v

V

/ nn \ 4

. тпх . nnu .

x s i n — s i n — ^ +

2J

2J

a„,n \ - r )

sin —

s i n — +

a

b

m=\n=l

V b

I

a

b

X

s i n ^ ± s i n ^

= - ^ - ^ . (2.38)

a b

D

ОО

оо

тпх

. ппи

/ г

о п

/

\

V

V

,

.

• тпх .

ппи

а{х,

у)=

Ii

2J

< 7 , „ n s i n

Sln-f-

•

( 2 - 3 9 )

m = l n = i

a

b

Для

определения

qmn

умножим сначала

(2.39) на sin '^- dx,

где m — некоторое

фиксированное

значение,

и составим

интеграл

в пределах

от 0 до а:

С , . .

тпх ,

Г

-vi

•

тпх ѵ ч

•

dx.

j q (х,

у) sin —

dx=\

2J

S l n — Zi

ЧтпS

l

n ~t

Sin

0

0

L-m= 1

n=l

Учтем

свойство

ортогональности:

a

Г .

/Птек пх

•

' " ф и к с

пх

\ s i n - ^ — s i n

dx = 0

при

т т е

к = ^ т ф

и к с ;

о

a

ГПТРКПХ

.

' " ф и к с 1

™

j

a

Г .

при

т т

е к = т ф

и к о .

^sin

a

sin

Û

dx=—

Q

^

Следовательно,

а

оо

Г" ,

ч

тпх ,

a

•

яя у

~ Г " •

^ <7 (*,

г/) sin

ах = — 2d -Чтп s m

О

а

1

п=1

0

Полученное выражение вновь умножим на sin

eft/, где а—

фиксированное

значение, и так же составим

интеграл в пределах

от 0 до Ь:

и г- а

.

птх

,

sin ппу

Or-

ОО

ппу

Чат*™

sin — dy.

о Lo

sin

ах

О L

п=1

b

J

По свойству ортогональности:

\

а

Г • л т е к

я у .

" ф и к с пУ <

г.

gfe л ф и к о ;

\ sin

т е к б

у

sin —

dt/ = 0

при п т е к

b

J s i n - ^ - ^ sin

Ф = — ПРИ я т

в к

= л ф я І І С .

Поэтому

а Ь

f

f ,

s

• "и** .

или

. ,

ab

\\q(x,

у)sin

— sm—*-dxdy =

—qmn.

oo

а

а

4

Отсюда

получаем

а

л

(2.40)

4

I' f . . .

тях

.

пяу

,

,

Ятп ^ - ^ )

\Я

(*•

У) S l

n — S l

n "У rf'V' rfy-

О о

Теперь уравнение (2.38) можем записать

так:

СО

ОО

mit

"\ 2

/от \ 2

! ^ /гл \ * .

Ci .

А

І

М

Ы

+

2

Ы ( т ) +

ft") +

Т +

.

ІППХ

. ПШІ

с 2

,' mit \ 2

с 2

/

яп \

sin —

sin —-••

a

b

1

~

"

.

пілх

.

reiti/

(2.41)

— 2 S ? ™ s ,

n T s l

, 1

T

"

m = I n = I

"

0

Ч—M — I + — — sin

sin

- = — s i n

sin —- .

D \ a J D V b j J a

6

D a

b