Файл: Васильков Д.А. Начала теории вероятностей учеб. пособие.pdf

Хи

Л 2 ,

. . . . Л й , . . . .

(1)

Подч име iш ы х условиям:

1Л(Хк)

= а

(ft = 1 , 2 . . . . ) .

(2)

D(Xk)<C*

( f t = l ,

2, . . . ) .

(3)

Пусть

. ,

Yn = -JT(X1+

•••

+Х„)

(л = 1 , 2 , . . . ) .

(4)

Y„ (сред.) -> а.

(5)

коэффициенты

корреляции

'«

=

R

* , *

J

удовлетворяют

условию

ги — 0.

lim

(6)

I l-j

| - оо

Бернштейи доказал, что соотношение (5)

справедливо

при

условиях

(2), (3) и (6).

Так же

как в §

43,

1Л(Уп)=

а, поэтому

достаточно

убе­

диться

в том, что при п ->-оо

D (Y„) -

0.

(7)

Представим

D(K„)

в виде

(см. § 44

формула

(15))

п

II

D ( y „ ) = D(JL 2 * 0 = i D

( 2 * 0

=

п

2 r'j °{Xi)

°(XJ]

=

~hr (2D

{ X k )

+

)

•

Взяв произвольное

e > 0 , выберем

такое

К,

чтобы при

| t — jl<K

выпол­

нялось

неравенство

£

где

С — постоянная, фигурирующая

в

условии

(3). Возьмем

п>К

и

оце­

ним

сумму

(8). С

этой

целью сначала

заменим все

a(Xk)

числом С

Далее

представим

сумму

2lr yl в

в и д

е

где к

отнесены

те

слагаемые, для

которых

| i — / \ <К,

а

к S1 ' — те, для

которых | i — Л

>К.

рой суммы — числом е/2С2 . Так как

число слагаемых в 5 ( 1 ' менее 2Кп,

a S ( 2 ) содержит (я — К)2 слагаемых,

то

Теперь

остается выбрать N>K,

удовлетворяющее условию С 2 —

- <

< - i

- 1 и для всех n > W

будем иметь неравенство D ( y „ ) < e .

1. Случайная величина

X

распределена равномерно

на отрезке [ — I , I]

и Y=X2

Показать,

что

X

и

Y зависимы,

но

не

коррелироваиы.

У к а з а н и е .

Вычислить

Р(Х

£

Д,),

Р(У

£

Д2 )

и Р [(X

е

Д,) (У е Д2 )],

где

Д, = Г— - J L - ,

— Д

2

= /

о ,

J L " ) :

вычислить

2М(ХУ) =

L

/ 3

/ 3 J

\

3

J

-1

2. Случайные величины X и

У обладают математическими ожидания­

ми

М ( Л ' ) = а ,

М ( У ) = 6 ,

дисперсиями

o f =

D(X) > o 2 = D ( y )

и коэффи­

циентом корреляции г ^

0.

Выбрать

угол

а так,

чтобы

случайные

величины

X'

~ (Х — а) cos a - f (У— Ь) sin «,

У = — (ЛГ — а) sin а +

(У — Ь) cos а

были иекоррелированы.

О т в е т : tg 2а = 2 М ^ У ) ~ а Ь .

чайные

величины,

М ( ХА )=0,

Ь(Хк)

= а 2

(/г = 1 , . . . , п).

Найти коэффици-

л

ент корреляции Xi

и

^

-^А-

ft=i

О т в е т :

.

4.

J f j , . . . ,

Хп — попарно

некоррелированные

случайные

величины,

для

которых М(ХАУ=0, T)(X/l)=a2

(k=\,...,

п).

Дано

целое

число

т,

под­

чиненное условию

-^-n<Zm<n.

Найти

коэффициент

корреляции

случай­

ных величин Jfi-j

\-Хт

и Хп-т+1-{

\-Хп.

О т в е т :

т

.

[Мп],

Мп<

5.

Дана

числовая

последовательность

такая,

что

< М n + i

( n = 1,

2 , . . . ) ,

Urn М„ = + оо.

Построить

последовательность

слу-

чайных величин Хп,

л-м»

удовлетворяющую

условиям:

D

(Хп)

>

Мп

(п = 1,

2,

. . . ) , Х л

(вер.) -

0.

6.

X — произвольная

случайная

величина, {ап)

—произвольная

число­

вая

последовательность,

сходящаяся

к

нулю.

Доказать,

что

(а„Х) (вер.) -+ 0.

У к а з а н и е .

См. § 24, задача 5.

17.

Даны

постоянные

f5>0,

а * > 0

( £ = 1 , 2 , . . . ) ,

такие,

что

a A > « i + - • • 4-ak-i

Случайные

величины

Хи

Х2, •. •

попарно

незави­

симы

и

Х/{ принимает

значения

± а * с вероятностями - i .

Применим ли

к (A'f t )

закон больших

чисел?

О т в е т :

нет.

:

У к а з а н и е .

При всех п

— (Х:

+

1-

Хп)

п

18. Случайные величины Хи

Х2,

...,Хь

обладающие

математи­

ческими

ожиданиями

M(/Yft) s

а

и дисперсиями

а'к,

удовлетворяют

усло­

вию (10)

§ 43. Показать,

что если

ОА=Яу

х

= 0

при | i — k\>\,

то

последовательности {Xk} применим

Л k

к

закон

больших чисел.

5

У к а з а н и е .

2 | г,-, ; + ]

| о/ ai + ]

< a2

f о 2

+ ] , следовательно,

D(.YH

f-

л

+ *„) < з2 £•»*•

19. Случайные величины Х\, Х2,...,

Хк,

• • •,

обладающие математиче­

скими

ожиданиями

М(Я^) = а

и

дисперсиями

а | ,

удовлетворяют

усло­

вию (10)

§ 43; т—целое

число

> 1 . Показать,

что если

Г / ^ = R

X

x k ~

=

0 при

| i — k I >т, то к {Xk)

применим

закон больших

чисел.

л

л

У к а з а н

и е.

В

выражении

D ( 2 -^А) = ^ J ° j +

2

r'j°iaJ

вторая

сумма,

распространенная

на

l

i

1Ф]

для

которых

комбинации

индексов

i,

j ,

л

т

It — / | < т , по абсолютной

величине

не превосходят

2

2

2

°'°'+А <

л

т

п+т

/=1

А=1

<-2 2<a? + °'+*)<2m2 «?•

/=1 А=1

/=1

20.

Случайные

величины Хи Х2,...,

Xk, • .. попарно

независимы,

M(Xk)

= a;

случайные

величины

Xt,

Х2,...,

Xk

,...

также

попарно

неза-

п

л

внснмы и ЩХ'ь) = а. Пусть

Уп = —У,

Xk,

у'

xi

(п = 1, 2 , . . . ) и

*

1

я

1

оо

РА = Р (X/;

^ д ) . Доказать, что если

Y„ (вер.)

-+ а и ряд 2

РА сходится,

1

У к а з а н и е .

Если \<N<n, то | Ул —У„ I K " - 1 2 Ix k ~ К I

X

я

А=1

W

X 2 I ^ A - ^ A

I . следовательно , (| У„]-У^1 >Е) (=2(I^A

I >

A—N + 1

А=1

л

N

>(вд)/2Я)+ 2

( | ^ А - ^ А 1 > М / 2 ( П - Л 0 ) С 2 ( 1 ^ А - ^ 1 > ( ^ ) / 2 Л 0 +

А=ЛГ + 1

А-1

89