Файл: Васильков Д.А. Начала теории вероятностей учеб. пособие.pdf

Функцией

распределения

векторной

случайной

величины

U называется

функция

f(x,

У) = Р\(~ со

< * < * ) ( - с о

< У<у)].

(2)

Q={(x,

у); а < * < 6 ,

c<y<d}

вероятность P(U б Q) выражается

посредством

функции

(2)

следующим

образом:

P(0e

Q) =

Р [(а < X < Ъ) (с < У < d)] =

=

F(6,

d)-F(b,

c)-F(a,

d)+F(a,

с).

(3)

Так же, как в § 14, можно

показать, что F(x,

у)—возрас­

тающая функция от х (от

у)

при

любом

фиксированном у

(соответственно при любом

фиксированном

х),

lira F(x, у)

=

х,у-++оо

Закон

распределения

векторной

случайной величины

U [X,

У)

однозначно

определяет

законы

распределения

ее

компонент — случайных

величин X

и

У. В самом деле, если,

как обычно, До = (—сю, + о о ) ,

а А — любой

промежуток чис­

ловой

оси,

то

и

( * е л ) = ( * е д ) ( Г б л 0 )

р(*ед) = р [ ( * е д ) ( г е д 0

) ] .

(4)

В частности, если F(x,

у)—функция

распределения

U,

то

функция распределения

F'x(x)

компоненты X выражается

че­

рез F(x, у) следующим образом:

/%,(*) = Р(Л < х ) =

Р [ ( - с о

< * < * ) Х

Х{-са<У

<

+

&>)] =

F(X,

+ао).

(5)

Точно так же

и

р ( Г е д ) = р [ ( * € Д , ж е л ) ]

FY{y)

= F(+™,

У).

(6)

Все сказанное в этом параграфе почти непосредственно

распространяется на n-мерные

векторные

случайные

величи­

F

(*,

*«) =

Р К*. < *i) • • • № <

*„)]•

Так, при п =

3

Р [fa

< Л, <

bt)(a2

<Х3<

Ья)(а, <

* 3

<

6.)]

=

=

/="(6ь Ь2, b3)~[F(ah

b2, b3)+F(bu

а2,

b3) +

F{bu

b2, а3 )] +

+

[F(au

a2,

b3) + F(au

b2, a3)

+ F(bu a2,

a3)]

— F(au

a2,

a3).

§

18.

Дискретные

и непрерывные векторные случайные

величины

Векторная случайная величина U {X, У)

называется

ди­

скретной,

если ее компоненты

X и

У представляют

собой

ди­

скретные случайные величины. При этом, если X способна

принимать значения

Х\, х2,...,

а

У— значения

у\,

г/г,...,

то

U

{X,

У\

может принимать

лишь

значения

иш {xt, yk)

(i

=

множество

(в последнем

случае—без

точек

накопления),

с определенными

вероятностями *:

Р(0

= щк) =

Р \{Х= х,)(У

= ук)\

=

=

p/fe

( i = l ,

2

; fe =

l ,

2,...).

(1)

Коль скоро

вероятности

(1) известны,

можно

указать закон

—•

любого.прямоугольника Q

распределения U: для

P{U

6 Q ) =

2

Pik-

(2)

Вероятность того, что X принимает значение xt,

обозна­

чим Pj, а вероятность того, что У примет значение ук,

обозна­

чим р k .

Тогда

(Х=

х,) =

(X

= Xl)

[(У = у,)

+

(У =

у2)

+

• • • ]

=

=

(Х^х1)(У

= у,) + {Х=х1)(У

=

у2)+

•••

,

откуда

следует, что

P ( *

=

* , ) =

^Р[(Х=х1)(У

=

ук)],

к

* U принимает, вообще говоря, не все значения

и ik,

так как при

не­

которых i и k события

(X

=xi)

и ( У =

ук)

могут быть

несовместны;

для

таких (', А полагаем

ptk

=

0.

ний интеграл

в (9) сходится равномерно относительно х хотя

бы в малой окрестности точки

х =

х0, то Fx(x)

будет иметь

непрерывную

(в точке х =

х0 )

производную

рх{х)=

^

р(х,

y)dy.

(10)

- - ОО

закон распределения

U {X,

К),вообще

говоря, не

определяет­

ся

законами

распределения

Л" и У. В

самом

деле,

пусть X

принимает

значения

— 1 ,

0,

1 соответственно

с

вероятностями

Т'

~2'~4

'

Р а

с с м о

т Р и

м

случайные

величины

Y\ =

X

и Y2

=

=

—X,

имеющие

то

же

распределение, что

и X.

Случайный

вектор

U

{X,

К,}

будет

принимать значения

l

«, ( — 1 , — 1],

-»

->

1}

с вероятностями

j

i

l

,

j

,

а

случайный

и2

(0, 0}, и3{\,

, у

вектор

U {X,

Y2]

— значения и\{—

1,

1),

и\[0,

0),

и,{1, — 1)

соответственно с теми же

вероятностями.

Итак, для

того чтобы, зная законы распределения

I и

У,

можно

было

восстановить

закон

распределения

векторной

случайной величины

U

{X,

Y], нужны

какие-то

дополнитель­

ные условия. Важнейшим из таких условий является условие

независимости X

и Y.

Случайные величины X

и У называются

независимыми,

ес-