Файл: Ашневиц И.Я. Элементы комплексного анализа с гидромеханическими приложениями конспект лекций.pdf

или

что

'

J

Ш

dz-2rà

f

( z 0

) =

j Ш

<

ь

-

f(Zo)

f _ *

L

=

J Z - Zo

J z - Z o

4 0

J Z - Zo

Kp

7P

7P

Г /

( z

)

-

/ ( ^

o )

rfz

=

0.

(8)

,

Z — Zo

If

Так

как

/(z)

непрерывна

в

D,

а значит п в z0 , то по любому е

можно

найти

такое

рь

что

н е р а в е н с т в о | / ( z j — / \ г 0 )

| < г

выпол­

нится,

как только | г — г 0

| < р,. Возьмем

н в ш е р < р г Тогда

для то­

чек

ТР тоже

I / (z) — / (z0 ) I <s

H

/ ( z ) - / ( z 0 )

< J _

Z—Zo

p

Поэтому

по теореме 2 §

1 данной

главы

неравенство

тр

г

_ г

°

I

выполняется

для всех

z^ -- ^,

р = р(г). Из

последнего

неравенства

следует,

что

Но

ведь левая

часть

(7)

от р не зависит,

значит и

левая

часть

(8) тоже от р не зависит,

тогда и правая

часть (8)

не за­

висит

от р. Поэтому

при

всех р

f

iMz/_(£-L

d z

= 0 .

TP

Z — Zn

Этим формула

(6)

д о к а з а н а .

Интеграл

т " —

1

—

dz

называется

и н т е г р а л о м

2-1

-L

Z-ZQ

К о ш и.

Интеграл

Кошн вычислен

нами

для

г 0

внутри

L . Если ж е

z0

л е ж и т вне L , т. е. в области

D'

Hz)

(рис 26),

тогда

функция

ре-

гулярна в D и непрерывна

в D п по теореме

z—zQ

Кошп

dz=0.

Итак,

1

f

Hz)

f / ( z „ ) ,

z0

£

ö ,

2тЛ

J

z-zo

~

{

0

,

z0

£

D'.

Замечание.

Можно

показать, что формула

(6)

справедлива

и

для многосвязиой

области D, ограниченной

сложным контуром

L ,

состоящим

из внешнего

контура

L 0

и и

внутренних контуров

/.,,/_,, .../,„ (рис.

22).

Д о к а ж е м

важное

свойство регулярных функций:

регулярная

в области D

функция

f(z)

имеет

в этой

области производные

лю­

бого порядка,

и все

они

также

являются

регулярными

в D

функ­

циями.

В .предыдущем

п а р а г р а ф е

было дано

интегральное представ­

ление регулярной

в D и непрерывной в D

функции f(z):

L—контур D, га— л ю б а я точка

D.

А для этого достаточно доказать,

что

разность

J

(z—z0 —Az)

(z—z0 )

l

(Z—ZQ)

''

1

1

rfz

=

1 № (z—Zo—àz)

(z—z0)

(z—z0)2

/ ( z )

l (z—z0 —Az) {z—zo) ,,-dz

стремится к нулю при Az->0. Очевидно, что для

любой точки

z

контура L

справедливы

неравенства

[ z — z „ j > Л.

| z - z 0 - Д г | > А - | Л г |

/ ( z )

Af

(z — г 0 — Az) (z—z0 )

( A - | A z | ) A 2

'

где M — наибольшее

значение

модуля

функции

f(z)

на кон­

туре L . Тогда (теорема

2, §

1).

/(z)

(z—z0 )—

dz

<

Ml

І

(z—zo—Az)

( A - | A z , f t J

) '

где / — длина дуги

контура

L . И

окончательно

J

(z—z0 —Az) (z—z0 ) '

{

( z — z 0 ) 2

dz

<

Az

Ml

( А - | Д г | ) А 2

'

П р а в а я

часть этого

неравенства

при Az->0

тоже

стремится

к нулю, значит к нулю стремится и левая часть

и т. д.

Аналогично, составив разность ['(z^

+ àz)

— f (z0 )

и придя

к _

пределу при Дг->0,

получим

Az

"2

с

f(z)

dz.

2TÙ

J

( z - z o ) 3

Так ж е можно доказать и более общую формулу для произ­

водной любого порядка

/г:

Zo) n + 1

dz

(Ю)