Файл: Ашневиц И.Я. Элементы комплексного анализа с гидромеханическими приложениями конспект лекций.pdf

дѵ

_

да

дѵ

_

да

дх

~

ду

'

ду

дх

'

то

ди

да

ѵ(х,у)=

(-»•> у)

—

x + ^

y

+ C.

J -

d

d

Г-i-.i. v<i)

Здесь z = x + iy

переменная,

a z0 = xQ

+ iy0—фиксированная

точка

области D. Функция I(z) =u(x,

y)

I iv(x,y)

регулярна в D, так как

для нее выполняются

условия

С.—R.

В таком

случае

ѵ(х, у) —

вестной

гармонической функции і'(.ѵ, //)

восстанавливается

и со­

пряженная

ей гармоническая

функция

и(х,

у)

— в е щ е с т в е н н а я

часть

регулярной

функции

/ (г) =

а (х,

у)

- i - іѵ{х,

у).

Замечания.

1. Требование

односвязности

области D

сущест­

венно

без

доказательства;

отметим,

что

восстановленная по

и(х,

у)

пли у(.ѵ, у)

в многосвязной

области

D

функция

[(z)

мо­

жет

оказаться

неоднозначной,

т. е. нерегулярной.

2. Теорема 2 позволяет отметить здесь и некоторые

свойства

гармонических

функций,

а

именно

наличие

у гармонических

функции

производных

любого

порядка,

справедливость

для них

и принципа

максимума .

Пример.

Найдем

регулярную ф у н к ц и ю / ( г ) , если ее

мнимая

у

часть ѵ(х,

у) =

("Зсірі )g 1 у-''

Легко

проверить,

что это гармони­

ческая

функция

в любой

области

D,

не содержащей

точку

( — 1, 0). Найдем в D

сопряженную

для ѵ(х,у)

функцию

и(х,у):

да

_ дѵ

U + l ) 2 — у 2

дх

-

ду

*

\(х+1)3+у*\2'

ди

_

дѵ

2 (jc-f-1 )

у

ду

дх

[(х +

1)-\-у

2 1 2

и(х,

у)=

U - . У)

U, у)

( J - J - 1

У-^_ V 2

Г

du(x,yH.C=

j

U\„ y.j)

(.<:„, )'„)

+

" [ № ) ' + У Т ~

D Y ~ R C °

Л о м а н а я состоит из двух

отрезков OA и AM: на OA у = 0,

О < л- < X; на AM л = X,

0 < у < У.

Ï

2 ( ^ + 1 ) у

1

è U + i ) 2

' й [ ( * + і ) Ч у 2 1 2

л - +1

1'

1

( Л " + 1 ) 2 - Ь ѵ -

1

н-

с.

1

Тогда

« ( л , у)

• * - f - l

_ - ,L Г -

( * + 1 )2ЧI у..2

I и і

(лЧПЧу 2

'

у

( л - + 1 ) Ч у 2

— (А-^-1)-гО>

г _

1

Ь С = С -

( А - - Ч ) Ч У 3

" Г

'

z + 1

Функция / ( г )

находится точно, если з а д а ю т

заранее ее

значе­

ние в какой-либо

тоі (ке. Так,

если,

например,

/ ( 0 ) = 0 ,

тс* 0 =

= С - 1 , С = 1 п / ( г ) = 1 - - ^

=

— .

2-1-1

і. - J - ]

Составим

из

комплексных чисел

zn=£n-{-iy„

ряд

V zn=z^z,\-

...

+z„+

...

(1)

/1=1

Сумму

Sn = z\+Z2+

••• -'г z„

назовем

ч а с т н о й

с у м м о fi

ряда ( I ) .

Определение

1. Р я д

(1)

называется

сходящимся,

если

суще­

ствует

конечный

l i m S „ = 5 ,

т.

е.,

если

для

любого

е > 0

можно

у к а з а т ь

такой

номер

N = N(e),

что для

всех

n>N

| S „ - S j < E .

Число

5

называется

с у м м о й

р я д а

(1).

Если

ж е

lim Sn

не

существует

или

равен со,

то

ряд

(1)

называется

р а с х о д я щ и м с я.

П о к а ж е м ,

что изучение

комплексных

рядов

можно

свести

к изучению

действительных

рядов.

Теорема

1.

Р я д

(1)

сходится

тогда

и только

тогда,

когда

сходятся

действительные

ряды

У1 +

У 2 +

...

+У„

+

•••

I

Доказательство

П

II

В самом

деле, если

V

х~а,ѵ

УІ

У ; = Ѵ

Т О Г Д А

5 n

=

a„ +

ib„

и остается сослаться на теорему

1 § 3,

гл. I I . Используя

эту

тео­

рему,

можно

доказать,

что общий

член

сходящегося

ряда

стре-

ся и ряды

(2); но тогда

хп^~0,

)'„->0.

Н о из этого следует, что

тогда

z„=xn-\-iyn-±0.

Л — со

л — і»

Определение 2. Р я д

(1)

называется

а б с о л ю т н о

с х о -

д я щ и м с я, если сходится

ряд

V |г„| = | 2 1

| 4 - | г 2

| 4 - . . . + | г я | + ...

(3)

І * я | < | г „ : ,

| У „ ! < г я |

вытекает

сходимость рядов

(2), а следовательно, и (1).

Однако

ряд (1) может сходиться, а

(3) нет. В таком случае ря д

(1) на­

зывают

н е а б с о л ю т и о

( у с л о в н о ) с х о д я щ и м с я . .

Признак

Даламбера

Если

lim ^ л + І

< 1 , то

ряд

(3), а значит и (1)', сходятся;

если ж е

lim

> 1 , т о

ряд

(3), а т а к ж е (1), расходятся, ибо

Признак

Коши

Если

llijn / " j ^ j <-

^

T 0

р Я д

сходится,

и ря д (1) тоже;

если же

' j ^ i 7 | z j >

1,

то

ряд

(3) и ря д (1)

расходятся, та к

lim

= lim ^ I г„ I = 1.

л - ~