Файл: Ашневиц И.Я. Элементы комплексного анализа с гидромеханическими приложениями конспект лекций.pdf

З д е сь

интегрирование

по

всем

контурам

L 0 ,

L u ...

L

n произво­

дится

против часовой

стрелки.

Д л я

доказательства

соединим

контуры

Z.Q,/_,, ... / . „

кривыми /(,, lu •••

hi

( Р и с -

23).

Тогда

об­

ласть

D

разобьется

на две

односвязные

области с границами

L '

и L " . По

замечанию

к теореме

Коши

для

односвязной

области

( 7

(z) dz

= 0

и

f / ! ( 0

dz

=

0,

т.

е.

ï'

1"

j 7

{z)dz

+

\f

(z) dz

=

0.

З д е с ь

обход контуров

L '

и

L "

против

часовой

с т р е л к и . Н о

\f

(z)dz

=

\f\(z)dz

+

f

/

(-z)rfz

,

так как при сложении интегралов по U и L "

уничтожаются

ин­

тегралы

по кривым /,,, lt..../,,

вычисляемые

в "каждом случае

для

U

и -L"

в

противоположных

направлениях . Этим доказано, что

1'[(z)dz

—-Ö, и утверждение

(4)

справедливо.

L

Из

(4)

получим формулу

f

f

(z) dz = § f

(z)

dz

-(- ... +

j

f'(z)

dz

.

(5)

§ 3.

Вычисление

интеграла от

регулярной

функции.

Понятие

неопределенного

интеграла .

Из

интегральной

теоремы

Кошн вытекает, что если

функция

/ ( z ) регулярна

в односвязпой области

D п L

•— л ю б а я

незамкну­

тая кривая

из D, то значение

интеграла

f /

(z) dz

не

изменится,

F{Z)

=

] f (z)

dz.

П о к а ж е м , что F(Z)

является регулярной

функцией в D и что

F ( Z ) = / ( Z ) .

Возьмем произвольную точку Z, вместе со своей о-окрест-

ностыо

п р и н а д л е ж а щ у ю

области D. Величину ô определим позд­

нее. В этой окрестности

возьмем

еще точку

Z + AZ. Точки Z и

Z+AZ

соединим отрезком

прямой

/. Пусть

L

— произвольная

кривая,

соединяющая

точки

zü и Z, л е ж а щ а я

в D (рис. 24). Тогда

J / ( z ) r f z

= •

J / ( z ) r f z

=F{Z),

a

L

Zo

Z + àZ

J

f(z)dz

= F(Z+àZ)

,

причем в последнем

интеграле

путь

интегрирования состоит

из L и /. Но

\f

{z)dz

=

j

/ {г)dz

+ $f(z)dz

и

L + l

I.

I

j /

(z)dz

= j

f

(z)dz-$f

I

(z)dz.

Поэтому

L + l

z+\z

F(Z+bZ)-

F(Z)

/

(z)dz

= f /

(z)rfz

F(Z-rbZ)-F(Z)

z

1

)

dz

AZ

AZ

Рис.

24

му е > 0 можно

найти такое

ô > 0 , что неравенство | / (z)

—f{Z)

| < е

выполняется,

как

т о л ь к о \ z — Z \ <

3. Величину

б и возьмем

соот­

ветствующей

взятому

е. Тогда

для

точки z на

отрезке /, целиком

л е ж а щ е м в такой

ô-окрестности точки Z, тоже будет

выполнено

неравенство

| f (z)

— f ( Z ) j < s.

Отсюда имеем

\\f{z)dz

- J / ( Z )

dz

\ =

\$[f(z)~f(Z)}

dz\<*\LZ\

или

1

j

j 7

(z)rfz

<

z

A Z

А так как

J

f{Z) dz

=

f(Z)$

dz

= f(Z)

A Z ,

i

i

последнее неравенство

перепишется в

виде

1

/

(z)dz-f(Z)

Д

2

Выполнение

этого неравенства

означает,

что

f ( Z ) =

1101^7 ] 7

( г ) ^ г

или что

, | ш

F ( 2 + A Z ) - F ( Z )

_ Л

( г

) _ , ( г ) .

-

AZ~0

" Z

Следовательно,

доказана следующая

теорема.

F ( z )

=

J

f

(z)rfz

Ai

р е г у л я р н а

в £>

и

F'(z)

=

f(z).

Определение

1.

Функция

F(z)

называется первообразной

для

/ ( г )

в области D,

если

всюду

в D

F'{z)

= f(z).

П о к а ж е м ,

что

любые две

первообразные

F}(z)

п F2(z)

одной

и тон ж е функции

J (z)

отличаются

друг от

друга

на

постоянную

величину. Пусть

«/(г)

=

/=•; (z) -

( Z ) = / ( Z )

- /

( Z )

=

о.

Но

(см. § 5, гл.

I I )

. . .

du

, .

cto

.

du

<p'(z) =

-g

И - Г -

=

j

I

-,

,

w

ox

ду

ду

потому

всюду в D

du

_

дѵ

_

дѵ

_

du

_

дх

~

дх

ду

~~

ду

~

Т. е. du = 0,

dv^=0,

а

это

означает,

что

и = Си ѵ = С-,

или

что

tp(z) =

С)-\-іС,

=

С.

Таким

образом,

F~(z)

=

F.,{z)

+

C.

о к р у ж н о с ть радиуса R с центром

в точке а. Эта

окружность

опи­

сывается функцией z—a+Re'v,

0 < » < 2 т с .

При

этом dz=Rie"?

d<?

и но формуле

(3)

из § 1 данной главы имеем

dz

=

2r:

Rie^dv

— =

,

г 2п ...

,

Г —

gui—л)?

do

{ ( z - а ) "

I

/?«е'п ?

Rn~i

jj

? '

Пусть

пФ\,

тогда

-

dz

1

е

<(і-я)?

) "

Я " - 1

і ( 1 - л )

i С

1

е і(і-л):п

gi(\-n)

о

[ 1 - 4 = 0 .

Пусть теперь

n =

1, тогда

dz

=

i

f d<p

= 2 « .

Итак,

rfz

f

0,

/г=?И,

целое,

y ( z - a ) »

j 9-/,

д = 1 .

Здесь

L — любой

контур,

обходящий

один

раз

точку

а.

. § 5. Интегральная

ф о р м у л а Коши

Пусть f(z)

регулярна

в односвязной

области D

и

непрерыв­

на в D с границей L . Оказывается,

что зная значения

этой функ­

ции на L , можно получить ее значения

в любой внутренней

точ­

ке Zo€

D.

Д о к а ж е м

и н т е г р а л ь н у ю

ф о р м у л у

К о ш и :

f(*o)

Z-ZQ

dz.

(6)

Рассмотрим

область

D\

(рис. 26),

полученную

из D

выбрасыва ­

нием круга j z — z | < p . O

величине р с к а ж е м

позже . В этой

области

f(z)

—

•

окруж -

ф у н к ц и я — р е г у л я р н а ,

a bD\

непрерывна. Обозначим

z—zn

ность |z—z0 1 —р через т>. К области D\

применима

интеграль ­

ная теорема

Коши . Из

формулы

(5), § 2, гл. I I I , получим

Z-ZQ

(7)