Файл: Ашневиц И.Я. Элементы комплексного анализа с гидромеханическими приложениями конспект лекций.pdf

Эта формула у т в е р ж д а е т существование

в любой

внутрен­

ней точке z 0

Ç D производной любого порядка, лишь бы f(z)

была

регулярна в D и непрерывна

в D. На

самом деле требование

не­

прерывности

f(z)

в D

и з л и ш н е Ведь

если

[(г)

регулярна

в

точ­

ке Zo, а это

мы

имеем

при

регулярности

/(z) в D,

д л я

кото-

рай z0 — внутренняя точка, то окружив z0 окружностью

столь

малого радиуса R, чтобы /(z)

была регулярна

в / z — z 0 \ < R

и

не­

прерывна

B | Z — Z o | < / ? , и применив

к'полученному

кругу

форму­

лу (10),

мы

д о к а ж е м ,

что в точке z0

п любой

точке

достаточно

малой окрестности ее существует производная

любого

порядка а

этой функции.

Таким ^образом, из регулярности функции в точке т. е. из су­

ществования производной функции

в какой-либо

окрестности

производных

этой функции

любого

порядка,

а следовательно и

их регулярность.

Н о нз регулярности

j(z)

в D

следует

регулярность

в любой

внутренней точке D, а значит н наличие в D производных

любого

порядка .

§

7.

Свойства

регулярных

функций

Отметим

некоторые

свойства

регулярных

функций.

1.

Пусть

/(z)

регулярна

в

круге |z — a\<R и непрерывна в

]z—a]

< R .

Тогда на \z—a\ = R z = a+

Re",

0 <

t <

2я,

dz=Ri

е" dt.

Применим к этой функции интегральную

формулу

Коши

(6),

§ 5,

гл. I I I

1

Г

f(z)

,

1

Kfla+Re")

Rie"

dt

Re11

I z-a

| = /?

=

~

1r \ f

( a

+

Re")dt.

Ö"

Мы получим,

что значение / (г) в центре

круга а

равно

сред­

нему

арифметическому

ее значения

на

окружности

\z—a\

= R.

Это свойство

регулярных

функции

называется

т е о р е м о й

2.

Принцип

максимума

модуля.

С помощью теоремы о сред­

нем

можно

доказать принцип максимального . модуля:

если f(z)

/ ( z ) ^ c o n s t

регулярна

в D и непрерывна

в

D, то

ни

в одной

внутренней

точке этой области модуль функции не

м о ж е т достигать своего

наибольшего

значения.

Доказательство проводим от противного. Допустим, что

| / ( z ) |

в

точке ZQQD

достигает своего наибольшего значения

M

(оно

4*

51

о б я з а т е л ь но существует

согласно

вещественному

а н а л и з у ) , т. е.

\f{z0)\

=

M.

П о к а ж е м ,

что

тогда

\f(z)\

= M

и в некоторой

окрестности

точки z0 . Применим теорему о среднем

к кругу

\z—z0|

цели-,

ком л е ж а щ е м у в D:

f (

^

) =

-

~ -

]' f(za

+ Re")

dt.

Тогда

n

f ( z 0

) \ < ^ - h f ( z 0

+

Re«)\dt.

тпг-J

и

что |/(z 0 - j - Re"\

=М.

Из

этого

неравенства

вытекает,

Действи­

тельно, если бы это было не так, то существовало

бы / = /о такое,

при котором

I / (Zv + Re") I < M .

| / ( Z n - f

Re")

А по непрерывности

по / функции

| последнее не­

равенство д о л ж н о выполняться

и

для

некоторого

промежутка

t0— /?<;!<t0-\

h — части

промежутка 0 < ^ < 2 ^ .

Тогда

1

2 *

1

'о - л

1

/„+/;

J \f(z0-Reu)\dt

=

—^-

f | / | r f ^ + . i -

\\f\dt+

+

-

9 i

—

f

l /

l

Ho

2"

и

z

"

l

-

tt'ii

1

-

hf\dt<

/„+/<

П о э т о му

yVfI ûfi < -2 —(іц -Л---2Л.+2^-г'0 -Л)=

- 21

2—- "I

I

/ (Zo+Re")

т. е.

I f (z0)

I <

M ,

a это противоречит

предположению, что

| / ( z 0

) | = M .

Итак, так как R можно брать произвольно, то доказано, что

\f(z)\ = M в некоторой

окрестности

j z—z0

]<R

точки

z„.

П о к а ж е м

теперь,

что

| / ( г ) | = ЛІ

и в

любой

другой

точке Z\

области

D.

Д л я

этого

соединим точки_г0

и Z\

(рис. 28) непре­

рывной

кривой /,

целиком

л е ж а щ е й

в D. Из

точки

а\

пересече­

ния с кривой

I окружности

|z—z0 | = /?

проведем

новую

окруж ­

ность

|z— o.\\ = R\,

целиком

л е ж а щ у ю

в D.

Аналогично

доказы ­

вается, что и в круге

\z—<z\\ <

R u

\f{z)\—M.

Значит

и в точке

о . 2 ( « 2 — п е р е с е ч е н и е

/ с окружностью

\г—a^ — R\)

| / ( а 2 ) | = М, а

тогла и в

круге

J г—ао]

<#•_>

\ f {z)\

— M

и т. д.

Построим

таким образом

столько

кругов,

сколько

потребует­

ся, чтобы последний круг коснулся или поглотил

бы z,„ В

каж ­

дом из полученных

кругов

имеем | / (z)\ = M. Следовательно

и

1/(^)1 = Ж .

Так как z, — произвольная

точка

D, то тем самым

мы

дока­

жем, что

]f(z)\

= M

в

D.

П о к а ж е м

теперь, что из того, что

\f(z)\

= M

в D, следует, что

и / ( z ) = const

в D.

Если

M ] / и2 + ѵ'- = 0,

то и=ѵ

= 0,

значит

/ ( г ) = 0 в D. Пусть

МфО.

Тогда

возьмем

функцию

In f(z)

•

In | / ( z ) |

4-

/ a r g / ( z ) .

У нес вещественная

часть

l n j / ( z ) | =\п

M постоянна в D. Но

так как In f(z)

регулярна

в D

и непрерывна в ~D, то по условиям

C. — R:

Значит, у

функции

a r g / ( z ) обе частные

производные BD

равны

нулю.

А такая

функция

постоянная.

Следовательно .

I n / ( z ) E = c o n s t

в Ь,

а значит и /(z)=eons t

в. D, что противоре­

чит условию, что

/ (z) ф const в

D.

Замечания.

1. Из доказанного

вытекает,

что-наибольшее зна­

чение

модуль

регулярный в D и непрерывный

в ü функции до­

стигает на контуре

области.

сти. Действительно,

функция

cp(z) =

jj^y

регулярна в D и не­

прерывна в D. К неіі применим

принцип

максимального

модуля .

Но max] <р(г)| =

\ \(~)\ ' з и

а ч н т т

а м >

г д

е

\(P(Z) I достигает

свое­

го max, там \f(z) | достигает min. А это может

быть лишь на гра­

нице области.

Теорема

Лиувилля .

Если f(z)

регулярна

на

всей

конечной

плоскости

и ограничена,

то она постоянная.

Доказательство

Возьмем

произвольную

точку г 0

плоскости

и

окружим ее

окружностью \z—z0\ = R.

В круге [(2)

регулярна

и

непрерывна

в D. Тогда

(9), § 6, гл. I I I

Г(го)

2 -

\z-zü\

=

R

Но

l / ' ( Z o ) | < -

f(z)

dz

<

2*R-

M

(z-z0)

R~'

значит

і ; ' ( г 0 ) І <

M

'R

Пусть R^-co.

Тогда тіолучаем, что \f'(zn)

[ = 0. А так как Zo—лю­

бая точка

плоскости, то имеем, что \f'(z)\

=

0 на всей

конечной

плоскости,

а значит

и /'(г ) =

0 там же .

Отсюда

следует,

что

f (z) =s const.

§ 8. Связь регулярных функций с гармоническими

Определение 1.

Вещественная

функция

и(х,

у)

называется

г а р м о н и ч е с к о й

в области, если

в этой

области

она

имеет

непрерывные частные производные до второго порядка

включи­

тельно и удовлетворяет

уравнению

Л а п л а с а

Аи =

д2а

д-и

= 0.

Доказательство

В области D

у регулярной

функции f (г) = и(х, у) + іѵ(х,

у)

существуют

регулярные

производные

любого

порядка,

значит

существуют

_ ди,

V

(

. дѵ

_

дѵ

.да

}

{z)-~dx~

' 1~дГ

~~~ду~~''~ду~

и

....

.

д2и

, . д-ѵ

д-и

. д°-ѵ

=

î

(

Z )

дх

' - дх*

-

ду

2 -

L •

" ду

'

2

+ 1

ÄZS-

=

2

Из

существования

производных

{'(z)

и f"(z)

вытекает

суще­

ствование

в D

//[., u'r

v'x, ѵ'г"ихх,

и"уу, и"ху,

ѵ"хх, ѵуу

и их лепре

рывность

(так как регулярность влечет

непрерывность).

Из

выражения

У {z)

получаем

д2а

д2а

д2ѵ

д2ѵ

дх2

'

дуг '

дх2

ду2

или

и т. д.

Д И - - - 0

и

Д У = 0

Определение 2. Дв е гармонические

функции и(х, у) и ѵ(х, у),

для

которых

выполняются

условия

C.—R:

да

дѵ

du

_

дѵ

дх

~~ ду

'

ду

~

дх

н а з ы в а ю т ся

с о п р я ж е н н ы м и .

Теорема 2. Л ю б а я

гармоническая

в

односвязной

области D

функция может

рассматриваться

как действительная

пли мни­

мая

часть

регулярной

n D функции.

Доказательство

г -

,

du

ди .

Если в D известна и(х,

у), известны

и -щ.

А по условиям

^

n

дѵ

дѵ

„

.

, ,

С.—R. тогда и з в е с т н ы - ^ -

и -щ

сопряженной

для и(х,

у) функ­

ции

ѵ(х, у). Восстановим

ѵ(х,

у)

по ее производным

ѵ(х,у)=

(•*•• У)

dv(x,y)

+ C =

<-Г> У)

дѵ

.

дѵ

™dx+-^-dy+C.

j

.Г

l.v0,

y0 )

(-l'o. Уо)

•*