Файл: Ашневиц И.Я. Элементы комплексного анализа с гидромеханическими приложениями конспект лекций.pdf

Доказательство

П о к а ж е м ,

что lim оп существует

и не

зависит ни от спосо-

бон

разбиений

кривой L , ни от выбора

точек т\к.

Действительно,

lim

о„ =

li m 2

[а(ак,

Ѵк,)+ІѵЫк,

ß j ] •

{bcK+i

Ьук) =

=

lim V

{[ « ( V

Лл-„ -

V (аА .,

6 J Д )

Ѵ ] +

/

[ г, (^,

j j j д ^

+

+

и К .

Р«) Д У„] ) =

Hm 2

[ « К ,

ß«)

-

f

(««, h)

Д У*1 +

- И lim 2

f ^ K , ß«) Д ^ + и ( о Ж 1

У

Ду/J .

л - - ѵ /.-=і

Из

непрерывности /(г)

в D следует

непрерывность и (х,

у) и

с (л\ //)

в соответствующей

области

'плоскости оху,

кривая

L —

ных сумм

существуют

и

равны

криволинейным интегралам .

Таким образом,

имеем

>

\

f(2)

dz

= \

и{х.

у)

dx

— v(x,

у) dy

-Î-

ï

I

+ i\

ѵ(х,

у)

dx-\-u{x,

у)

dy.

(2)

Используя

(2), можно

показать, что на интеграл от комплексной

функции распространяются

на свойства

криволинейных

инте­

гралов данные

в вещественном

анализе . Так, например,

величи­

на - интеграла зависит от направления на

кривой

L, т. е.

в а ж н о

какой конец L начало, какой — конец пути интегрирования. От­

мстим еще одно

свойство.

Т е о р е м а 2.

(об оценке

интеграла) . Если на кривой L дли ­

ны / | / ( z ) | < Ж , то If/ ( г )

dz1

к

Ml.

К І Ч Ѣ f(i*)

д * « i < 2

Л г * І = Ѣ І / Ы Н Д * * ! < -

К=\

K"l

к - 1

л

А так как lim у\ | A z K | =

/,

то

к = 1

I Г /'(z)r/z

1 =

1 lim

a l

< /И lim V

!д г Л . ! = Ж / .

I I

1

I л - ~

I

( ( . = 1 I

I

нейным. Д л я этого в подннтегральноіі

функции следует

выделить

действительную

и

мнимую

части

f(z)=u-±-iv

и

умножить

и-\-іѵ

на dz =

dxJridy.

В результате подинтегральное выражение

примет

вид

/ ( г ) dz = (и-\-іѵ)

(dx

+ idy)

=

udx

— vdy

+ i (vdx

+

udy).

Пусть

кривая L

задана

параметрически:

x=x(t),

y =

y(t),

t 0 < t < T .

Буде м считать, что началу

кривой L

и концу

ее соответ ­

ствуют значения

параметров

t=t0\\

t—T,

т . е . zQ=

X (t0)-\-i

y(t0),

Z — x(T)-{-iy(T).

Тогда

\f{z)

dz

= j udx — vdy

+ l

f vdx

4- udy

—

L

L

L

=

f I " [X (О,

У (0! x\t)

-V

[ л- ( 0 , y(t)]

y'{t)\

dt

4-

'o

+

ij{v[x(t),

y(t)]x'(t)

+ u\x(t),

y(t)\

y'(t))

dt

=

=

S\u\x(t),

y(t)\ -iv[x(t),

y(t)]\.{x'(t),

1 / ( 0 )

<rt

=

. 0

= J / [ z ( 0 ] - 2 ' ( 0

dt.

to

Итак,

справедлива

ф о р м у л а

\f(z)

dz=(f\z(t)\-z'(t)'dt.

( 3 )

Из определения интеграла функции f(z)

следует, что его зна­

чение зависит, вообще говоря, не только

от Функции

((z),

но и

от пути интегрирования L , т. е. соединяя

концы пути

интегриро­

вания а и b различными

кривыми L \ и L 2

из области

D и

вычис­

ляя J f(z)dz и J'f(zlffe ,

мы получим,

вообще говоря, разные

числа. Возникает вопрос:

каким условиям

д о л ж н а удовлетворять

функция

f(z)

д л я того,

чтобы значение

ее интеграла

не зависело

от пути интегрирования, а определялось лишь положениями

на­

чальной

и конечной точек пути? Если

(рис. 21)

а — начало, ft —

конец на

произвольных

кривых

L,

и L - , из

D

и ]' f(z)dz

=

= J' l(z)dz

,

то

Рис.

21

J

f(z)dz

-

J

/

(z)tfz

=

0

II

j

f(z)

dZ+

j

/ ( z ) r f z

=

j

/

(z)rfz

= 0 .

Здесь з а м к н у т а я

кривая

aL\bLza

обозначена через L .

Так

как L \ и Li

произвольны,

то L — произвольный

замкнутый

кон­

тур из D, обходимый против

часовой

стрелки.

Наоборот,

если j

/ (z)dz

=

0,

то

отсюда

с л е д у е т

что

Г f(z)dz

= j 7

(z)dz.

Теорема

1 (интегральная теорема К о ш и ) . Если f(z)

регуляр­

на

в односвязиой

области Д а / .

— любой замкнутый

контур из

D,

тогда J J(z)dz=

0.

I.

Доказательство

Д о к а ж е м

теорему в предположении,

что

производная f'(z)

непрерывна

в D. Д о к а з а т е л ь с т в о

теоремы

без

этого предположе -

имя

усложняется п

поэтому

не приводится.

Пусть

f'(z)

непре­

рывна в D. В силу

(2), §

1, имеем

\f(z)dz

=

\и(х,

у)

dx

— v{x,

у)

dy-\-i

\ѵ(х,

у)

dx

-f-

1

I

y) dy

= A -i- Bi .

1

+

и (X,

Поэтому

достаточно

показать,

что А = 0 и ß = 0,

но

так как

/(z)

регулярна

в

D,

a

f (z)

там непрерывна, то в

D

и(х,

у)

и

ѵ(х,

у) имеют

непрерывные

производные

и

выполняются

усло­

вия

С.—R.:

ди

_

дѵ

du

_

дѵ

ду

дх"

дх

~

ду

Выполнение первого из условии достаточно для обращения

А

в ноль, выполнение

второго для обращения

В в ноль

(читателя

Замечание.

Если

f(z)

регулярна

в D и непрерывна в D

с гра­

ницей L , то J f{z)dz=Q.

Это другая

формулировка

теоремы

Кош и

L

для односвязной

области

Итальянский

математик

Морера

(Могега) д о к а з а л , что

ин­

тегральная

теорема

Кош и обратима . Приводим

его теорему

без

доказательства .

Теорема

2.

(теорема

М о р е р а ) . Если

непрерывная в односвяз­

ной области

D функция

/ ( г )

такова, что \f{z)

dz=0

вдоль

любо-

контура L из D, то / ( г )

1

D.

го замкнутого

регулярна

в

П о к а ж е м ,

что теорема Коши

(во второй

формулировке)

спра­

ведлива

и для многосвязной

области. Пусть

дана

( я + 1 ) — с в я з ­

ная область D, граница которой

L состоит

из

к о н т у р о в L 0 y L , , . . . L „

таких, что к а ж д ы й

контур

LUL2>

••• L„

л е ж и т

вне

остальных и

все они

расположены внутри

L 0

(рис. 22). Область D — множе­

ство точек плоскости, л е ж а щ и х

одновременно

внутри L 0

и

вне

Z.,, Z.,, ...

L . , .

Пусть точка z движется по сложному

контуру L

об­

ласти D так, что область D при

этом остается слева. Это значит,

что контур L 0

точка

обходит

против, а

контурьі L

u

Z.2 ) ... L

n —

по

часовой стрелке (рис. 22).

П о к а ж е м ,

что

если

/ ( z )

регулярна

в

D

и непрерывна

в

D,

то

If

(г) dz

=

J

/

(z)rfz

-

J /

(z)dz

-

I

f

(z)

dz

- ...

-

L

LQ

/•!

L-i

- j

f(z)dz

=

0.

(4)