Файл: Ашневиц И.Я. Элементы комплексного анализа с гидромеханическими приложениями конспект лекций.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.08.2024
Просмотров: 91
Скачиваний: 0
Примеры. |
|
Пусть z—некоторое |
комплексное число. Исследу |
||||||||||
ем |
сходимость |
рядов. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
2" |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(0! = 1). |
|
|
л = 0 |
|
|
|
Ï ! |
+ |
2! |
+ |
- |
+ |
п\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Используем |
признак |
Д а л а м б е р а : |
|
|
|
|
|
|||||
|
lim |
|
•«•/1+1 |
|
lim |
2Л + 1 |
• ni |
|
= |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ / - И |
|
||||
|
Л - * •» |
|
|
и - ~ |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
г |
li m |
|
1 , |
|
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
„ - „ /г-гі |
|
|
|
|
|
||
|
Следовательно, |
ряд сходится |
при любом 2. |
|
|
||||||||
|
2. |
|
|
|
|
~5/і - |
1 |
|
z |
|
|
+ |
|
|
V |
( — |
— - |
|
= - |
- - |
3! |
||||||
|
|
|
1 |
U |
|
(2 / 7 - 1)! |
|
1! |
|
||||
|
|
~5 |
|
|
|
|
г 2 л |
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
"ВТ |
|
|
|
12л —1) |
1 |
' ••' |
|
|
|||
По |
признаку Д а л а м б е р а |
этот ряд сходится |
при любом z. |
3. |
V ( — 1)" — |
1 |
+ |
|
|
|
2! ' 41 |
-... ( - 1 ) " (2/г)!
l i m |
Z,i\\ |
= lim |
2 |
2 " . (2« — 2)! |
= | z 8 |
| lim |
|
1 |
= 0. |
|||
|
|
(2/7.)! |
z 2 " - 2 |
(2//-1)2/7 |
||||||||
П -* со |
|
Л — 0° |
|
|
|
|
|
|||||
П о признаку |
Д а л а м б е р а |
этот |
ряд сходится |
при любом z. |
|
|||||||
4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
л - С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
л |
/" |
|
|
л |
|
|
|
|
|
|
|
|
l i m ' " ] / 12„ I = l i m |
1/ |
|
|
|
|
|
|
|||
По признаку Коши этот ряд сходится |
при |
| z [ < l и |
расходится |
|||||||||
при \ z\ > 1 . Составленный |
для этого ряда ряд (3) |
|
|
|||||||||
|
V |
I z" |
I |
= 1 |
|
|
2 » |
|
|
|
|
|
|
л = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при | z | = l расходится, |
ибо модуль его общего |
члена |
равен |
еди |
||||||||
нице и не стремится |
к нулю. По этой |
причине |
|
расходится |
при |
І2|=1 и ря д исходный.
60
~n f
5. V n". З д е с ь y I z„ I = n • U-|. Этот ряд расходится при лю-
бом z Ф О, сходится |
только при z = 0. |
|
|
|
|
§ |
2. Функциональные |
ряды |
|
|
|
Пусть в некоторой области D |
заданы |
функции |
f\{z), |
f2(z),... |
|
/ „ (z), . . . Составим ряд из этих |
функций |
|
|
|
|
V / „ (г) = |
/,(z) + f2(z) |
+ . . . + / „ (г) |
+ ... |
(4) |
В одних точках области D ряд может сходиться, в других рас ходиться.
|
Определение |
1. |
Множество |
точек, в которых ряд (4) |
сходит |
||||||||||
ся, |
называется |
о б л а с т ь ю |
|
с х о д и м о с т и |
этого ряда . |
|
|||||||||
|
Пусть |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/.(г) |
+ Ь ( г ) + |
. . . + /„(г) = S „ ( z ) , |
|
|
|
|||||||
В |
области |
сходимости |
ряда |
определена |
ф у н к ц и я — с у м м а |
ряда |
|||||||||
|
|
|
|
|
f(z) |
= \\m |
Sn (z) . |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
П - |
ео |
|
|
|
|
|
|
|
|
Остаток |
р я д а — |
# „ ( z ) = |
/(z) |
- 5 „ ( 2 ) = / « + i |
(z) - r / „ + 2 ( z ) - t - ... |
|||||||||
|
В каждой точке |
области |
сходимости |
ряда |
(4) |
lim R„{z) = 0. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
П - es |
|
|
Другими |
словами, |
если ряд в точке z сходится, то для |
любого |
||||||||||||
в > 0 можно |
найти |
такое |
число /V, что при n>N |
остаток |
ряда |
||||||||||
удовлетворяет неравенству |
|
|
J R„ (z)|<e . |
Это |
число Л' зависит |
||||||||||
не |
только |
от е, но п от взятого |
z: |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
/ Ѵ = У Ѵ ( Е , Z ) . |
|
|
|
|
|
||||
|
Определение 2. |
Р я д |
(4) |
называется р а в н о м е р н о |
с х о д я |
||||||||||
щ и м с я |
н а м н о ж е с т в е |
т о ч е к |
В, |
если |
для любого |
е > 0 |
|||||||||
можно найти такое |
/V, что при n>N |
будет" | / ? „ ( г ) | < е для всех z |
|||||||||||||
из |
В. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь |
номер N зависит |
лишь от е, |
но не от |
г. |
|
|
|
Понятие равномерной сходимости ряда играет не малую роль при выяснении свойств суммы ряда. В этом убедимся позже. Рассмотрим пример.
Пример 1. Функциональный ряд (геометрическая прогрессия)
2 2" сходится |
в |
круге |
| z ' | < l |
(см. пример |
4 § 1 данной г л а в ы ) . |
|
Н а й д е м его сумму. Ч а с т н а я |
сумма |
|
||||
S„(z) |
= |
l + z |
+ z |
2 4 |
- .. . + z » - i = |
I = £ » . |
61
Так |
как |
zn |
-> 0 |
(ведь |
| г | < 1 ) , то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т^— |
= |
У. |
z". |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Остаток |
ряда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
RN |
(z) |
= f(z) |
- S „ |
(г) = |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
1—z |
|
|
|
1—г |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1—г |
|
|
|
|
|
|
|
||||
П о к а ж е м , что наш ряд V |
z" |
сходится |
равномерно |
в любом |
зам - |
||||||||||||||||
кнутом |
круге |
\z\ |
: |
1—Ô, |
( 0 < ô < 1 ),.'целиком |
|
л е ж а щ е м |
в |
круге |
||||||||||||
И < 1 . |
Действительно, |
|
для |
любого |
z из |
круга |
|z| < |
1—6 |
верно |
||||||||||||
неравенство |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
\—z |
< |
( 1 -^3 ) " |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
(1—о)" |
|
ибо |
1 — б < 1 . А это |
означает, |
что по любому е |
|||||||||||||||
Но lim — ^ |
|
= 0, |
|
||||||||||||||||||
п - ~ |
|
rj |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
можно |
подобрать |
такое |
число N. что |
как |
только |
n>N, |
|
так сей- |
|||||||||||||
час ж е |
1 |
1—о|" |
|
|
|
|
образом, для |
всех z |
из |
круга |
|z| < |
1—б |
|||||||||
— , — L |
< s . Таким |
||||||||||||||||||||
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1—5)" |
|
|
|
|
|
|
|
||
справедливо |
неравенство |
| j |
z |
< |
— р |
< г |
при /;>/Ѵ . |
Здесь |
|||||||||||||
найденное Л' зависит только от е и не зависит |
от z. |
Этим |
и до |
||||||||||||||||||
казана |
равномерная |
сходимость |
прогрессии 2 |
*" |
в |
любом |
круге |
||||||||||||||
\z\ < 1—о . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
л = 1 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Но в самом круге |
| г | < 1 |
ряд |
хоть |
и сходится, |
но |
неравномер |
|||||||||||||||
но. Действительно, |
|
осуществить |
неравенство |
\R„ |
(z) |
| < е для |
всех- |
||||||||||||||
z и для |
n>N |
|
невозможно, ибо каково |
бы ни |
было взято |
п |
|
||||||||||||||
Д л я |
установления |
равномерной |
|
сходимости |
|
часто |
удобно |
||||||||||||||
пользоваться |
|
признаком |
|
Вейерштрасса . |
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорема 1 (признак Вейерштрасса равномерной сходимости) .
со
Пусть в области D определен функциональный ря д 2f„(z) и и з "
л = 1
62
всстен сходящийся положительный числовой р я д ^ я , , . Если для
любых п |
и z |
из |
D |
| /„ (z) |
| < |
а„, то ряд |
V fn |
(г) |
сходится в |
D |
||||||||||
равномерно. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
л-1 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Доказательство |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Пусть |
/'„ — остаток |
числового |
ряда, |
|
Rn |
(z)—функциональ |
|||||||||||||
ного. Тогда при любом z из D имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
\R„(z)\ |
= |
\f„+l |
|
(z)-\-fn+,(z) |
|
|
|
| < | / , 1 М ( г ) |
Ц - | / я +2(г) | 4- ... |
< |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
•< а„+і 4- |
ап+-: + ... |
= г„ . |
|
|
|
|
|||||||
|
Из |
сходимости |
числового |
ряда следует, |
|
что |
r„ - >0, а это |
озна- |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
« - -о |
|
|
|
чает, |
что |
по любому |
е > 0 можно |
найти такое ;Ѵ (УѴ = /Ѵ(е)), |
что |
|||||||||||||||
как только n>N, |
так |
сейчас |
ж е |
/ ' „ < е , |
следовательно |
тем |
более |
|||||||||||||
\Rn(z)\<e |
при |
/г>УѴ, |
при любом |
z из £>. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Пример |
2. |
|
|
|
-v. |
gtt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Р я д |
V —;, |
сходится |
равномерно в | г | < 1 . |
Дейст- |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
~ |
1 |
|
л=1 |
|
|
z" |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
< |
при всех z из \z\ |
< 1 и |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
—- |
— |
|||||||
вительно, |
ряд |
^ |
—г сходится, а |
я - |
|
и1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
/ ; = І , |
2, . . . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
'Отметим |
без |
доказательства |
некоторые |
|
в а ж н ы е |
теоремы |
о |
||||||||||||
равномерно |
сходящихся |
рядах. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Теорема |
2. |
Пусть |
|
|
/ 2 ( г ) , ... |
|
... — |
непрерывные в D |
|||||||||||
функции. Если ряд V |
f,( (z) |
|
сходится |
в D |
равномерно, то |
сумма |
||||||||||||||
ряда j'(z) |
непрерывна |
в |
D. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Теорема |
3. |
Пусть |
/ і ( г ) , |
/ 2 ( 2 ) , |
. . . |
f„(z), |
.. . —непрерывные в D |
||||||||||||
функции, |
а ряд |
V |
fn(z) |
сходится в D |
равномерно к / ( z ) , |
тогда |
||||||||||||||
|
|
L |
C |
D |
, |
л-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
есл и |
то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
H |
(z) |
dz |
= |
V |
Un (г) |
dz |
, |
|
|
|
|
|||
т. е. ряд |
можно |
почленно интегрировать вдоль любой |
кривой |
L |
||||||||||||||||
из |
D. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорема 4 |
(Вейерштрасса) . |
Если |
функции |
j \ (z), |
f2(z), |
|
. . . |
||||||||||||
/„ |
(z), |
. . . регулярны |
в D, а |
ряд |
.-о |
fn |
(г) |
|
сходится |
в D равно- |
||||||||||
V |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
л=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
мерно к f ( z ) , |
то f(z) |
регулярна в D. |
|
|
|
' |
|
|
|
|
63
Замечание |
1. |
При условиях |
|
теоремы |
|
4 ряд |
V |
|
/„ (z) |
|
можно |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
почленно в D сколько |
|
|
«=.1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
дифференцировать |
|
угодно |
раз, |
т. е: |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
fx"H~± |
|
ff |
|
(г) |
• |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
л=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Замечание |
2. |
Теоремы |
1—4 |
|
останутся верны, если область D |
||||||||||||||||||||
заменить связным |
множеством, |
например |
крпвоіі L . Тогда в тео |
||||||||||||||||||||||
реме |
3 |
интегрирование |
можно |
производить |
по любому |
участку |
|||||||||||||||||||
этой |
|
кривой. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
.'§ 3. |
Степенные |
ряды |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Определение |
1. Функциональный |
ряд |
|
вида |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
с 0 - К |
(z—a) |
+ с2 (z—а)2 |
|
+ ... |
4 |
сп |
(z—a) |
" |
|
\- ... |
= |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= |
V |
с„ (z-a)", |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
/1=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где г — к о м п л е к с н а я |
переменная, |
а |
сп |
|
|
п а постоянные, |
|
назы |
|||||||||||||||||
вается |
с т е п е н н ы м |
р я д о м . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Теорема |
1 ( А б е л я ) . Если степенной |
ряд |
(5) сходится |
в |
точке |
||||||||||||||||||||
г0=?==<7, то он абсолютно сходится в-круге |
|
\z—a|<[z0—о\\ |
|
а |
в |
лю |
|||||||||||||||||||
бом |
замкнутом круге |
\z—а |
| < |
|
р (р < |
| г 0 — а\) |
сходится |
равно |
|||||||||||||||||
мерно |
(рис. |
30). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
Доказательство |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Из сходимости |
ряда |
(5) в точке |
z0 |
вытекает, |
что общий |
член |
|||||||||||||||||||
ряда |
|
со |
c„(zo—а)" |
стремится |
к нулю, т. е. |
lim |
c„(z0—а)" |
|
= |
0. |
|||||||||||||||
|
V |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
л=0 |
|
|
сп (za—а)" |
|
" |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Тогда |
переменная |
является |
ограниченной |
(теорема |
2, |
||||||||||||||||||||
§ 3, |
гл. I I ) , т. е. существует такое R, |
что для всех |
|
п |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
\сп |
|
|
{z,-a)"\<R. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Д л я |
|
замкнутого |
круга |
\z—а|<р, |
|
поэтому |
имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
с„ |
(z—a) |
* I = |
I с„ (zo-a)"• |
' |
|
Z |
|
~ u |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
zo-a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
\c„{z0.-ay |
|
|
|
z—a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
{zo-a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
так |
как |
-.—-—<1,то |
|
|
числовой ряд |
У |
\ |
( -;— — .- |
I |
] (геометрнче- |
|||||||||||||||
|
|
|
Uo—a\ |
|
|
|
|
|
|
и |
|
£ 0 |
|
\z0—a\ |
|
|
|
|
|
|
|
||||
е к ая |
прогрессия) |
сходится, |
а |
вместе |
|
|
с |
ним |
|
сходится \н |
ряд |
||||||||||||||
R • 2 |
[: |
j |
J |
. Тогда |
по |
признаку |
Вейерштрасса |
из |
(6) |
|
вы- |
||||||||||||||
л - 0 \ І Г 0 ~ а \ |
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
64