Файл: Ашневиц И.Я. Элементы комплексного анализа с гидромеханическими приложениями конспект лекций.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 06.08.2024

Просмотров: 92

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

текает равномерная сходимость ряда (5) в \z—а\ < р.

Неравен ­

ство (6) позволяет утверждать и абсолютную сходимость

ряда

(5) в любом круге \z—a\<

р,

что означает

абсолютную

сходи­

мость в 1-е—я|<|го—а}.'

 

 

 

 

 

 

Следствие.

Если

ряд

(5)

расходится

в

точке го, то он расхо­

дится в любой

точке z внешности круга

|г — a\<\z 0 — a\, т. е. в об­

ласти \z—a|>J2o—а].

 

 

 

 

 

 

 

Действительно, если бы ряд сходился

в какой-нибудь

точке Z\

этой области

(рис. 30), тогда по теореме Абеля он сходился бы

в любой точке

z из области

\z—а\ <\Z\—а|,

в частности,

в

точке

z0, что противоречит

условию.

 

 

 

 

 

Рис.

30

 

 

Рис. 31

 

 

 

 

Д л я ряда

(5)

имеются

три

возможности: 1) ряд сходится

только при z = a;

2) ряд сходится

при любом

конечном z; 3)

при

одних гФа

ряд

сходится, при других

расходится.

 

 

 

Приведенные

в § 1 данной главы примеры показывают,

что

все эти три возможности действительно

осуществляются .

 

Остановимся

подробно на третьем

случае. Проведем из точ­

ки z = a луч в бесконечность

(рис. 31) и возьмем на нем две точ­

ки 2, и z2

такие, что в точке

Z\ ряд (5)

сходится,

а

в точке z2

расходится. Тогда, очевидно, \z\—a|<[z2'—а\.

Н а этом

луче

меж ­

ду Zi и z2 найдется точка z*

такая , что она будет

разделяюще й

межд у точками сходимости

и точками

расходимости

иа

луче.

Сама точка z* может быть как точкой сходимости, так и точкой

расходимости

ряда (5).

Р я д

(5) будет сходиться внутри

круга

|г—о>|<|z*—а\

и расходиться вне его.

 

 

 

 

Крут

\z—a\<)z*—а\

 

называют

к р у г о м

с х о д и м о с т и

ряда (5), а радиус этого

круга

7? = |z*—а]

называют

р а д и у ­

с о м С Х О Д И М О С Т И

этого ряда.

Очевидно1 , что в первом

слу­

чае, когда

ряд сходится

 

лишь

при 2 = а, можно

считать,

что ра­

диус сходимости R = 0, а во втором случае,

что он равен

со. Та-,

ким образом д о к а з а л и

теорему.

 

 

 

 

 

5 Зак. 227

 

 

 

 

 

 

 

 

65

 

Т е о р е ма

2.

У любого

 

степенного

ряда

(5)

существует

круг

сходимости

]z—Q)<R,

 

который может вырождаться в точку

z —а

(случай /? = 0)

или

во

всю

конечную плоскость

(случай

R =

cn),

Р а д и у с сходимости степенного

ряда

можно

найти,

пользуясь

признаками

Д а л а м б е р а или Кошм. По

 

признаку Д а л а м б е р а

по­

лучаем, что

ряд (5) сходится,

если

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I і ш

С + 1

(z—а)"+'

 

<

 

1.

 

 

 

 

 

 

 

С„ ( 2 - 0 ) "

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и расходится,

если

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

сп

(г-а)

"

 

 

1.

 

 

 

 

 

 

// -

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Но

 

с „ + і

Vz—a V

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

um

 

 

=

\z—a\

 

• lim

 

 

 

 

 

сп

 

(z-a)»

 

 

 

 

 

Я - ^

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Поэтому

ряд сходится,

если

 

 

 

 

 

 

 

 

 

\z—a\

<

 

 

1

 

— lim

 

 

 

 

 

 

 

 

g/i+l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

n - с о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C„

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

л — »

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и расходится,

если

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Jz—а\

 

lim

Cn + l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

л -*co

 

 

 

 

 

 

 

Т а к им образом, радиус

сходимости

ряда

(5)

 

 

 

 

 

 

R

=

lim '

С "

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

С л - И

 

 

 

 

 

 

 

Пользуясь

признаком

Кош и,

можно

показать, что

радиус R

степенного

ряда

может быть

найден п так

 

 

 

 

 

 

 

«

=

І і ш л

4 г г

 

•

 

 

 

 

 

Примеры.

 

 

 

 

 

у

\сн\

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I . Радиус

сходимости

ряда

^

п\

 

(z—/)"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

л = 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R =-

lim

( « - D !

 

If in

-

/г

-

=

0.

 

 

 

 

 

 

 

 

ni

 

 

 

 

 

 

 

 

Этот ряд сходится

лишь

при z = i.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-

(2— 1)"

 

 

 

 

2. Р а д и у с

сходимости

ряда

2

2"~п2~

 

 

 

 

66

Этот ряд сходится при \z—1|<2 и расходится при \z—1|>2.

3. Р я д

»

( 2 + 9 ) "

сходится

при любом

конечном

z,

так

как

2

 

іг~

имеет бесконечный

радиус

сходимости. Действительно,

 

 

 

 

 

 

/? =

lim

„

 

—

=

lim

п=

оо .

 

 

 

 

 

 

 

Обратимся теперь

к свойствам

суммы / ( г )

степенного

ряда

с 0 4 - с ,

(z-a)

+

с 2

( Z - Ü ) 2 + ».

+

с„

( 2 - й ) " +

...

=

/

( 2 ) .

(7)

Если радиус

сходимости

этого

 

ряда

ЯфО,

то

ряд

по

теореме

Абеля сходится равномерно в любом круге \z—а\

 

 

где

 

R\<R.

Тогда по теореме

Вейерштрасса

f(z)

регулярна в этом

круге, а

значит регулярна и во'всем круге сходимости \z—a\<R.

 

Из

за­

мечания

к

теореме

Вейерштрасса

вытекает

 

 

возможность

по­

членного

дифференцирования

ряда

в

круге

 

сходимости, т. е.

можно

записать

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Г (г)

=

с{ -4- 2с2

(z-a)

+ ...

+

псп

[z-a)

 

 

" - ' - f

•••

;

 

/"(z) = 2 с а

+

3 - 2 с 3

(z—a)+

 

...

+п(п-\)

 

сп

( z — о ) " - 2 + . . .

;

 

 

/<">(г)

= л !

с„ +

( « + ! ) !

сп+і

 

(г-а)+

 

 

...

 

 

 

 

 

П о л о ж и в

здесь z = a, получаем,

что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Па)

 

 

„

 

 

fW{a)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2!

'

 

"

 

 

/г!

'

 

 

 

 

Тогда ряд (7) запишется в виде

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/<*)

=

/ < « )

+

^

( г -

о

)

+

^

- (

^

- о

)

'

+ ...

+

 

 

 

 

 

+

Ä

 

( z

_ a )

»

+ ...

 

 

 

 

 

 

 

 

(8)

Определение 2. Степенной ряд, записанный в виде (8) назы ­ вается р я д о м Т е й л о р а ф у и к ц и и f (z).

Таким образом следующая теорема д о к а з а н а .

Теорема 3. С у м м а степенного ряда

(5) регулярна в круге его

сходимости. При этом р я д (5) является рядом Тейлора

своей

суммы.

 

 

Эта теорема позволяет утверждать,

что полученное

л ю б ы м

способом р а з л о ж е н и е регулярной функции в степенной ряд един­ ственно и является ее тейлоровским разложением .

5*

67

 

§ 4. Р я д ы

Тейлора

регулярных функций

 

Теорема

1. Если / ( г )

регулярна в

круге

| z — a \ < R ,

то она в

этом круге

р а з л а г а е т с я

в ряд

Тейлора.

 

 

 

 

 

 

 

Доказательство

 

 

 

 

Возьмем

в круге

\z—a.\<R

произвольную

точку

z и

проведем

окружность

L : \z—a\

= Rl(Rl<R)

так, чтобы

точка

z попала

 

 

 

 

 

 

Рис.

32

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

внутрь

круга

\z—a\<Ri

 

( р и с . 3 2 ) .

 

Так

как / (z)

регулярна в

[z—ß| <

R\, то в этом круге

можно

 

применить к /(z)

интеграль­

ную формулу

Коши

(§ 5, гл.

3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/

w

 

 

1

г /

 

а

 

д .

 

 

 

 

(9)

 

 

 

 

 

2,і

і

С-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

П о к а ж е м ,

что

интеграл

 

(9)

можно

представить

 

в виде

сте­

пенного

ряда. Д л я

этого

дробь

т—^

 

преобразуем

так:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,—z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1_

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

X - z

С—a—

(z—а)

.у

 

 

1

,

z—а

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(r-.-a)

 

1 — _ — -

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

С—а

 

 

 

 

Так как точка с берется на

L (\"-.—а \ =

/?,</?),

а точка

z за­

фиксирована

внутри

круга

| z — a \ < R \ ,

то

 

 

 

 

 

 

 

 

z—а

 

 

z—a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ri

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если

обозначить

z—a

 

через w,

•

то

 

функцию

\ — w

можно

 

 

 

 

, — а

 

'

 

 

 

 

 

 

 

рассматривать, как

сумму

сходящейся

в

\ w\ < 1 геометрической

прогрессии

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

68

 

 

*

=

1 + та' +

и)2 +

 

... 4- wn 4-

 

 

 

 

 

 

 

1—да

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

которая

в

| д а | < / ? < 1 сходится

равномерно. Тогда

функциональ ­

ный ряд

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г-а

 

1 С - а

 

^ С—а У ^

+

[ï-a

J +

-

 

1

С - а

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

сходится

равномерно на о к р у ж н о с т и ! . Следовательно,

ряд

 

Z=z~

-

- t t

+

<£=är

+

-

+

(C-a)»+» + -

'

1

(

1 0 )

отличающийся

от предыдущего

лишь

 

 

 

 

с по-

множителем

——

 

 

 

 

 

 

 

 

шь

г -

 

 

сто я иным

на L

 

і

і

і

 

11

 

равномерно

сходится

модулем

 

-а

 

-75-, т о ж е

 

 

 

 

 

 

 

А 1

 

I

 

fin

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

на L. В этих условиях подинтегральную

функцию

 

^

м о ж н о

представить в виде суммы ряда регулярных на L функций, рав­ номерно сходящегося на L, и ряд м о ж н о на L почленно интегри­ ровать (замечание 2, § 2, гл. I V ) :

Ж . =

Ш . + _ / R _

( z _ f l )

+

 

+ _ _ Ш

_ {

z _ a ) n

+

После

интегрирования

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пг)

_ - L -

f

^

d -

+

—

i

-

^ c T

-

л.

 

 

r (

)

2rU

J

C—a

 

2 «

l

(C-a)*

* '

'

 

 

 

 

(Z_a)«. с

/о

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким

образом, получаем, что в любой

внутренней

точке

кру­

га \z—a\<R

 

функция [ ( 2 )

разлагается в степенной ряд

 

f(z)=c0

 

 

+ cl (z—a)

+с2

(z—a)2

4

... +cn

(z—a)"

+ ... ,

 

коэффициенты которого вычисляются по ф о р м у л а м :

С " =

" 2 І Г 1

( ; - a ) W Ä

-

» = 0 , 1, 2, ...

(12)

Здесь L — л ю б а я

окружность

с центром в точке z = a,

л е ж а щ а я

внутри

круга \z—a\<R

и обходимая

против

часовой

стрелки.

Вместо окружности L можно

взять

любой

другой

замкнутый

контур

L , , с о д е р ж а щ и й

внутри

точку

z = c, ибо по интегральной

69

Смотрите также файлы