Файл: Ашневиц И.Я. Элементы комплексного анализа с гидромеханическими приложениями конспект лекций.pdf

теореме Кошм величина интеграла

не

зависит

от

выбора

контура. По

формулам

(6), § 5,

гл.

I I I

и

(10),

§

6,

гл. I I I

полу­

чаем

1С)

û T , = / ( a ) ;

С - я

(а)

(13)

2ш I (С—а)"+ 1

Таким образом, ряд (11) для f(z)

является

рядом

Тейлора

этой функции, а коэффициенты ряда

Тейлора

можно

вычислить

по формулам

(13).

Замечание.

Р а з л о ж е н и е

функции f(z),

регулярной

в

]z—a]<R,

в

степенной

ряд по степени

z—а

часто

называют

разложением

в

окрестности

точки z — а.

З а п и ш е м

ряд

Тейлора

регулярной

в \z—a\<R

функции / ( г )

f (г) = /

(

« )

+ - ^

-

( г -

й )

|

-

А

( г - й

)

Ч

...

+

1!

2!

/ С ) ( а )

( г - а ) "

+ ...

sin

z = z -

z 3

+

z5

-

.... + (

- -

і

>

. - і

z-"~l

+ ... ,

3!

т г

( 2 _

COS

z-

z

z'"

2!

"4Г

~~ " '

"(2л)!

+

+

+

Z"

( H )

ІП

(1+2)

= 2 -

~

+

-

... +

(

-

I )

- 1

+

tl

( 1 + Z ) E = 1 + E Z +

2!

Z2

+

У- ( и — i )

- ( Е - Я + І )

„

ni

л

соответственно

как sin z, cos z, ег

являются

регулярными

функ­

циями на всей

конечной

плоскости. Дв а последних

ряда

сходят­

ся в | z | < l , поэтому

там регулярны и функции

l n ( l + z ) , (1 + z)v- .

§ 5. Нули

регулярной функции

Определение.

Точка

z = a называется

н у л е м

ф у н к ц и и

f(z),

если [ ( а ) = 0 .

Если [(z)

регулярна

в точке z = a,

которая

является ее нулем,

то ее разложение

в ряд Тейлора

имеет вид

f(z) = с, (г-а) + с, (z

-а)'-' +

... - сп

(z-a)»

f- ...

Если же предположить

при этом,

что f(z)

фО в

некоторой

окрестности

точки

z = a,

то не все коэффициенты

сп

окажутся

нулями. Пусть

с\ — с.,= ... —с„-\ = 0 ,

а спФ0,

тогда разложение

имеет ппд

f(z)=c„(z-a)"+c„+l(z-ar+^-

.. .

(15)

В

таком

случае точку z = a называют н у л е м

п о р я д к а п

или

н у л е м

к р а т н о с т и

п.

Если / 7 = 1 , то нуль

называется

п р о с т ы м .

Пусть

Z = Ö

—

нуль порядка

/?.

Тогда

из (15) сле­

дует, что

f(z)r=(z-a)"•

[c„-\-cn+i(z—a)+

.. .\ .

П о л о ж и м y{z)=cn-\-c„+[(z—а)4-...

; функция c?(z) как сумма

рый

совпадает

с

кругом

сходимости

ряда (15), а так как

с„ — а{а) и спф0,гто

»(а)ф0.

Таким

образом, в этом случае

/ ( z ) =

= ( z ' - a ) " - Ä ( z ) .

Справедливо и обратное: всякая функция вида

f(z) =

(z —

— a)"-cp(z), где п — целое

положительное число, а

?(а)ф0

и ?(z)

регулярна в

точке z = a.

имеет

в точке z = o

нуль

п о р я д к а / ? :

Действительно,

р а з л о ж и в

cp(z)

в

ряд Тейлора в

окрестности

2 = й,

ПОЛУЧИМ

у(г)=с'0+ф-а)+

...

,

а тогда

f(z) = {z-ay-*{z)

= c'u(z-ay+c\{z-ay+'+

. . .

З д е с ь

с'0 = ѵ(а)ф0,

поэтому z — a является

//-кратным

нулем f(z).

Замечание.

И з формул дл я коэффициентов

ряда

Тейлора

сле­

дует, что если

z = a — нуль

/;-го порядка

для f(z),

то

/ ( а ) = / ' ( а ) = . . .

= / і « - і ) ( а ) = 0 ,

a

р»ЩфО.

П р о д и ф ф е р е н ц и р о в ав

(15),

получим

f'(z)=nc„(z-a)"-4-

. . .

,

т. е. что для

У (z)

точка

z = a

является

нулем

у ж е п—1

порядка,

аналогично

для

/( / , ') (г)

— нулем (п—к)-го

порядка .

Теорема

1.

Если

f(z)

регулярна

в

некоторой

окрестности

\z—o^R

точки

z = a,

которая

является

ее нулем, и если

там

f{z)

3s0,

то существует

т а к а я окрестность

этой

точки, в

которой

[(z)

не

имеет

других

нулей.

Доказательство

В

\z—a\<CR

функцию

f(z)

м о ж н о

представить

в

виде

f(z)

=

(z—a)"-Vf(z),

где

?(z)

регулярна

в

\z—a\<R

и

и(а)=£ 0 .

Функция

<p(z),

будучи

р е г у л я р н о й

в

| г — а | < / ? ,

непрерывна

там. И так

как

<э(а)Ф0,

то

<в(г)фО

и

в

некоторой

окрестности

z — ( / ? , < £

) .

Отсюда

и

следует

у т в е р ж д е н и е

т е о р е м ы .

Следствие.

Если

/(z)

регулярна при

z = o. и существует

после­

довательность

нулей «„этой

функции,

сходящаяся к а,

то

f(z)=0

в некоторой

окрестности

z = a.

Действительно,

по

непрерывно­

сти

f(z)

V\mf(an)

= f ( o )

= 0 .

Значит,

точка

z = a — нуль

функ-

ции f ( z ) . Если

ж е предположить, что

/{г)Ф0

в некоторой

окрест­

ности

точки

z = o,

то

применив

теорему

1, получим, ^что f(z)

не

имеет

других

нулей

в

некоторой

окрестности

точки а, но это не­

верно, ибо точка

а =

\\та„,

значит в любой

окрестности

точки

2 = а Р С Т Ь точки

ап

—нули

f{z).

§ 6. Ряды

Л о р а н а

Определение

1. Р я д

вида

2 ]

c „ ( z - ß ) " = . . .

-\-с..„(г-а)~"+

. . .

4

c _ 2 ( z - a ) - 2 +

- K _ i ( z - a )

i + c 0

+ c , ( z - a ) + c 2 ( z - a ) 2 + . . . + c „ ( z - a ) ' ' + . . . (16)

называется

р я д о м

Л о р а

и а.

Д л я

выяснения области сходимости этого ряда разобьем его

на две

части

и

c0+Cl(z-a)

+ c2(z-ay~+

. . .

+ с л ( г - в ) я + . . .

(17)

( 1 8 )

Р я д

(17)

— обычный степенной

ряд, он сходится в

некотором

круге

I z—а

I

Р я д

(18)

запишем

иначе,

введя

новую переменную

w==—-—.

2 — О

то ряд (16) сходится в кольце r<\z — a\<R . Тем

самым

показали,

что областью сходимости ряда

Л о р а н а (16)

является

концент­

рическое

кольцо, ограниченное

двумя окружностями

\z—а|=г

и \z-a\-R

с центром в точке z = a (рис. 33).

Рис. 33

Р я д (17) сходится абсолютно в \z—a\<_R и равномерно

в лю­

бом круге [z—-а|<А\<А\

Ря д (18) сходится абсолютно в

круге

любом

кольце г ^ І г — я | < Л \ (/",>/", / ? , < £ ) . По теореме

Вейерш-

трасса

(§ 2, гл. 4)

сумма

этого

ряда

f{z)

регулярна в

любом

кольце r, < | z — а | < / ? , (i'i>r, R-,<CR),

т. е: в кольце

r<C\z—a\<,R.

Определение 2. Ря д (17) называется

п р а в и л ь н о й ,

а ряд

(18) — г л а в н о й

ч а с т ь ю

ряда

Л о р а н а .

Теорема ( Л о р а н а ) .

Если

f(z)

регулярна

в

кольце r<\z—

—a\<R, то в этом

кольце она разлагается в ряд Л о р а н а

и при­

том единственным

образом .

Доказательство

Возьмем г, > r, Ri<.R.

Т о г д а / ( 2 )

регулярна

в замкнутой

области / " i < 12—а |

На

рис. 34 окружности \z—a\ = rl

и \z—a\ = Rt обозначены со­

ответственно СГ, и CR,. Внутри

кольца r < [ z — а | < / ? , возьмем про­

извольную точку 2. П о формуле

Коши