Файл: Ашневиц И.Я. Элементы комплексного анализа с гидромеханическими приложениями конспект лекций.pdf

С \

CR,

К ак и при выводе разложения

Тэнлора здесь можно пока­

зать, что ряд

на

С/?,

сходится

равномерно,

ибо

там

z—a

r,-a

Значит,

на

С/,?, равномерно

сходится

и

ряд

/СО

_

ftr> V

с - *

с - о ) л + і •

В таком

случае этот р я д

можно

на С#,

почленно интегрировать

т. е. справедлива

заіпись

_ L _

сВ f{—

dr.

_

і _

5

( z - д ) " -

2 тсі

л=и

где

/ С )

(19)

2 - i

9

( ' - « ) л + 1

rfC'

Д а л е е , п о с к о л ь к у на СѴ,

C - g

< 1, то р я д

z—a

1

- 1

z

С—а—(г—а)

( z - a

)

( \ -

^

'

\

z—a

1

С—а

•а

У

=

—

V

п+Х

z — a

г — а

\ z—a

сходится на СГі

равномерно.

Поэтому

аналогично можно за­

писать

где

C'r,

cV,

Итак, получили, что функция

f(z)

представлена

в

кольце

- r < | z — a \ < R

рядом

Лорана

f(z)

=

у

c „ ( z - t t ) - ,

(21)

где коэффициенты

сп

определяются

по

формулам

(19)

и

(20).

Очевидно, что в качестве СГі

и

в этих

формулах

можно

взять

любую замкнутую

кривую

L кольца

r<\z—a\<R,,

с о д е р ж а щ у ю

z = a внутри

себя.

П о к а ж е м ,

что

р а з л о ж е н и е

единственно. Умножим

обе

части

(21) па (z-a)~';-:

и проинтегрируем

по L . Тогда получим

ф ( г - а ) - * - 1 -f(z)dz

=

У,

cn(V)(z-a)»-"-idz.

£

Я —

— со

L

Н о

( f i ( « - » ) . - -

поэтому

( г — а ) - " - 1

/(z)öte

=

2

.

О т с ю да для

ск

получаем

в ы р а ж е н и е

^ = Т Ь - Ф і ? - ^ Т Г ^ . ^ 0 ,

± 1 , ± 2 . . . .

Эта формула объединяет формулы (19) и (20) для коэффи­

циентов

ряда . Л о р а н а

функции

/ ( г ) .

Примеры.

1. Функция

/ ( z )

1

1

1

3

1

( z - l ) ( z t - 2 )

регулярна

всюду,

кроме точек

z =

— 2, z = l .

Она

z + 2 J

регулярна в

круге

| г | < 1 ,

в

кольце

l < | z | < 2

и в

| z | > 2 .

В круге

| z | < l

ф у н к ц и ю

м о ж н о р а з л о ж и т ь

по

степеням

z в

ряд

Тэйлора .

Р а з л о ж и м

к а ж д о е слагаемое

отдельно:

1

1

) = - V z » ;

- Z - 1

т = - ( 1 + * -г ~" ~г

/1=0

1

1

—

V

( — 1 )" .

—

z + 2

' " f

+ 1 2

Ф+т)

9 л + 1

так

как

< 1

ДЛЯ

I z j

<

1.

Таким образом,

в

круге

| z | < l

i

~

~ »

i

~

1— V 1

+ ( - 1 ) "

f(z)=

— V ( — П « - ± —

V z"

=

- 3

п - 0

Z

°

/ 1 - 0

° « - ( )

2 п

+ 1

В

кольце

l < | z | < 2

слагаемые

имеют

с л е д у ю щ и е

разло ­

ж е н и я :

А функция

/ ( z ) в кольце

l < | z | < 2 представляется сле­

д у ю щ и м рядом

Лорана по степеням z:

_1

~ л

-il + \

+ 2

л - 0

Н а ш у функцию можно разложить

в ряд

Л о р а н а и

по степе­

ням z—1

в окрестности точки

z = l ,

именно

в

0 <

' z—1

] < 1 .

Там

1

1

1

z + 2

3 + ( z — 1 )

3

1

z— I

г—I

( z— 1

= 2 ( - і ) я

l —

3 - +

з -

З л + 1

л = 0

Поэтому

в кольце

0 <

г —1 | <

1

1

С z—1 I Я

3 ( z - i )

и

з"+2

2. Функция ez регулярна в любом

круге

вида | z—а

| < / ? ,

по­

этому в любом

таком

круге

она

разлагается

в ряд

Тэйлора:

е"а•. еaz - а-.еа[ 1

z—a

( z — а ) 2

, ( z - а ) "

L

1!

2!

'

/г !

1 '

Поскольку

произвольно,

то это

разложение

справедливо

для любого г. При

а = 0

имеем

известное

разложение

*

- 1

+

т г

+

а

г

+

-

+

5

+

•••

3. Функция

/(z)=

( 2 + 1)

j

регулярна

всюду,

кроме z = — 1.

В любой

окрестности

этой

точки, т. е. при 0 < | z + 1 1 , мы имеем

следующее

разложение

ее в ряд Л о р а н а по степеням

2 + 1 :

_ ? 2

( г 4 1 ) а - 2 ( г - М ) - г 1

„ .

2_

1

( * + 1 ) 2

(г-і 1)-

г + 1 1 ( г + 1 ) 2 '

§ 7. Изолированные особые точки

Определение 1. Точка

z = a

называется

и з о л и р о в а и н о и

о с о б о й

т о ч к о й

для функции [ ( г ) , если /'(г) регулярна в не­

которой окрестности 0 <

\z—a\<R

точки

а и не я в л я е т с я ' р е г у л я р ­

ной в самой точке а.

Р а з л и ч а ю т три типа

изолированных

особых

точек:

устрани­

мая особая точка, полюс п существенно особая точка.

Определение 2. И з о л и р о в а н н а я

особая

точка

z = a

называется

устранимой

особой

точкой

для [(z),

если

существует

конечный

l i m / ( z ) .

Так, для

/ ( z ) =

sin

z

которая

регулярна всюду, кроме

z—a

г

l i msin г= 1 . Поэтому 2 = 0 —

г = 0, где

функция

не определена,

Z-0

г

. Sinz

устранимая

особая точка функции

— - — .

Определение 3. И з о л и р о в а н н а я

особая

точка

z = a

называется

полюсом

для f(z),

если

Iimf(z) = co .

Так,

для

функции

Определение 4. И з о л и р о в а н н а я особая точка z = a

называется

с у щ е с т в е н н о о с о б о й

т о ч к о й

для / ( г ) , если

не

сущест­

вует

l i m / ( г ) .

z->a

Так, для функции

/(z)=cos

~- точка 2 = 2 является

сущест-

г — z

венно

особой ибо нет предела c o s — Ц -

при г -s- 2.

Замечание.

Определения

1—4 даны

для конечной точки z = a,

но они справедливы

и для г — со,

только в'.определении

1 в ка­

честве окрестности

нужно

брать

окрестность со, т. е. область

R<\z\<

оо.

Р а з л о ж и м

теперь

функцию /"(г) в окрестности

точки г = а

в ря д Л о р а н а

и выясним, как связано поведение функции в ок­

рестности этой

точки с

полученным разложением .