Файл: Ашневиц И.Я. Элементы комплексного анализа с гидромеханическими приложениями конспект лекций.pdf

Устранимая

особая

точка

Теорема

1.

Д л я

того

чтобы

изолированная особая

точка

z = a функции

/ ( г ) , была

устранимой

особой

точкой,

необходимо

н достаточно, чтобы разложение [(z)

с

ряд Л о р а н а

по'степеням

z—а

в окрестности этой точки

не с о д е р ж а л о

главной

части.

Доказательство

H е о б X о д и м о с т ь:

Пусть

z — a

— устранимая

особая

точка, тогда

существует

конечный

Iii m f(z).

А если

переменная

z-n

имеет

конечный

предел,

то она ограничена. Значит в некоторой

окрестности

z = a

\f(z)\^M.

И

если

в

этой

окрестности

взять

окружность

СД z—a

—г), то

коэффициенты

в главной

части

ряда

Л о р а н а с_„

( « > 0 ) запишутся

так:

следует, что все с_„ = 0

( « > 0 ) .

Д о с т а т о ч н о с т ь .

Если в окрестности

z = a

разложение

функции

f{z)

не содержит главной

части,

т. е.

f(z) = corc1(z-a)+c2(z-a)-

-г . . .

то очевидно

\\mf(z)

= cu.

Значит,

z = a —

устранимая

особая

точка.

Замечание.

При доказательстве

необходимости было

показа ­

но, что если z = a устранимая

особая

точка для f(z),

то /(г ) в ок­

рестности г = а ограничена

и наоборот, поэтому

два понятия

«точ­

ка z = a является устранимой особой точкой для f(z)»

и «f(z)

ог­

раничена

в окрестности

изолированной точки» эквивалентны .

Полюс

Пусть

теперь

разложение /(г )

в ряд Л о р а н а в

окрестности

z = a имеет конечное число

членов

с отрицательными степенями

-а:

C ~'

+ C o

+

C l

( z - a ) + . . .

(22)

z—a

З д е с ь

с-т Ф 0. Тогда

f{2)

=

^тІг

'

[ с - ™ - г с - т + і ( г - а ) + .. .1.

П О Э Т О М ) '

lim f(z) =

lim

1

c_m =

со ,

т- е. z = a —

полюс.

С

другой

стороны,

если

z = a

полюс

для

/ ( z ) ,

то в

некоторой

окрестности этой

точки

j / ( z ) | > M

( / И > 0 ) . Значит,

в этой окрест­

ности

регулярна

функция

<?(z) =

-гг-т-

• Очевидно,

lim< £ (z)=0 .

z~a

v(z)

=

cm{z-a)l"+cm+x(z-a)»+l+

. . .

(стФ0),

т. е. в окрестности z=az=a

1

cm(z-a)'"+cm+,

(z-a)>"+>

+ . . .

f(z)

или

1

f

( z )

cjz-a)m

+ cm+1(z-a)»+l

+ . . .

-и.

( z — а Г І С я - г - С я + П г — a ) + . . .[

(z—а)

1

Здесь g"(z) =

•

^

—

. Функция

g(z)

регулярна

в

не-

ст+ст+\

(z—а)-\- . ..

которой

окрестности точки z—a,

а значит р а з л о ж и м а там

в

ряд

Тэйлора

,

g{z)=a0+al(z-a)

+ . . .

+ я „ ( г - а ) ' Ч ~ . . .

,

а 0 =

— —

ф

0,

ст

и окончательно

получаем

в некоторой окрестности Ѵгочки

z—a

f ( z )

=

( г — g ) m K + a i ( z — а ) + Л г ( 2 - а ) ' - + • • •] =

- — û 0

- - + - 7 — ^ ,

1- + • • •1

+ ^ 4 + « я

( г - о ) - І -

• •

(г—а)'" '

(z — а)'" -

'

' "

z—a

Этим

д о к а з а н а

следующая теорема:

Т е о р е ма 2.

Д л я

того чтобы

изолированная

особая точка

z = «

функции

f (z)

была

полюсом,

необходимо и достаточно,

чтобы

главная

часть

разложения f (z)

в ряд Л о р а н а

в окрестности

z = a

с о д е р ж а л а

лишь

конечное число

членов:

f(z)

=

с-'"

1

L

4 .

_ j _

І У )

( z - a ) ' " ^ ( z - a ) ' " - 1 ^

' z - a

'

Определение 5. Если в разложении функции

в

ряд Л о р а н а

в

окрестности

z = a имеется конечное число

членов с

отрицательны­

ми степенями z—а, т. е. имеет место разложение

(22),

то z = a

называется

п о л ю с о м

п о р я д к а

т .

Если

т = 1 ,

то

полюс

н а з ы в а ю т

простым.

Из доказательства теоремы 2 видно,

что если z = a — полюс

порядка

иг для

/(z), то

для функции

,.

эта

точка

— н у л ь

j \

z )

п о р я д к а

//г.

Справедливо

и

обратное

у т в е р ж д е н и е :

если

z—а

— нуль

порядка m

для

функции

/(z),

то эта точка

являет -

ni

1

ся полюсом

порядка

для

функции

,

.

I(z)

П о к а ж е м

это. Если z = a—нуль

порядка

т. для f(z),

то

/ ( г ) = ( z - a ) ' » •?(*),

где

tp(z)

— регулярная

в окрестности

z = a

функция

и

ç(a)

Ф

0.

Поэтому

функция

1

=

1

g(2)

f(z)

(z-ay-<?(z)

( z - a ) " ' '

Здесь

g(z) =

^

регулярна

в

некоторой

окрестности

z = a

и

g"(ß)

¥" 0,

поэтому

ее там

можно р а з л о ж и т ь в ряд

Тэйлора

g(z)

= b0+bl(z-a)

+

b,(z-ay-+

причем Ь0Ф0.

Тогда в этой окрестности

точки z = a

функция

у^у

р а з л о ж и м а

в ряд

Л о р а н а

1

=

6 о

i

b i

i

Ь2

i

и _ д П

/ ( z )

( z - a ) ' " -1 " ( z - a ) ' " - 1

( z - a ) ' » - 2

' • ' '

0

' u -

Значит,

для

этой функции z=a—полюс

порядка

т.

Пример.

Z + 1

Функция / ( z ) = • z

^ z — —

имеет

z = 0

полюс 2-го по-

рядка,

а z = l

~

1

z - ' ( z - l )

простои полюс, иоо для -jjzy—

z-\-\—

Э Т

И

т о

ч к

и

являются

соответственно

нулями

2-го

и 1-го

порядков.

6 Зак. 227.

81

Существенно

особая

точка

Повеление функции в окрестности существенно особой точки

иллюстрируется

следующей

теоремой,

приводимой

без

доказа ­

тельства.

Теорема 3. (Ю. В. Сохоцкого) . Если

точка

z =

a—существен­

но особая для функции

/'(г), то для любого

комплексного

числа А

(конечного пли бесконечного)

можно

найти

такую

последова­

тельность

z„точек,

г л - + й , что

l i m / ( z n

) — Л .

Теорема 4.

Д л я

того,

чтобы

изолированная

особая точка

z = a была

существенно

особой для f(z),

необходимо

и достаточ­

но, чтобы главная часть разложения [(z)

в ряд Л о р а н а

в

окрест­

ности z = a с о д е р ж а л а

бесконечное число

членов:

/ ( 2 ) =

2

т

І л

»

•"- i ^ ( z - a ) " .

(23)

я = 1

"

I

л = 0

Д о к а з а т е л ь с т в о

этой

теоремы

вытекает непосредственно из

теорем

1 и 2, ибо при разложении

f(z)

в ряд Л о р а н а

остается

лишь одна возможность — иметь вид (23).

Пример.

Функция

<?г _ 1

имеет z = l

существенно

особой точ ­

кой, ибо

т Ь - =

1 4 . _ 1 _і_

L

•

•••

1

"Г

•••

6

+

z - \

'

2! (z—Г)'»"

" г

+

nl(z-\)»

Поведение

функции

на

бесконечности

Классификацию

из ѵ иірссаипых

особых точік

можпл

распро­

странить

н на случай,

когда

таковой

является

бесконечно уда-

лепная

точка.

Пусть

функция

j(z)

регулярна

в

некоторой

окрестности <'~\

т. с. в

области

R<\z]<

со.

Как

определяется

тип особенности

на

со? Проведем

следую­

щее рассуждение.

Преобразование

Z— ~

переводит

точки

z

из

окрестности

j z

I < с о бесконечности

в точки

Z

окрестности

0 <

| z | < - j j r

точки Z — 0 . Поэтому

функция

F(Z) =

fl-L-)=f(z)