Файл: Ашневиц И.Я. Элементы комплексного анализа с гидромеханическими приложениями конспект лекций.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 06.08.2024

Просмотров: 96

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

регулярна в окрестности 0 < | Z | <-^-'точки Z = 0. Очевидно, что

тип

особенности функции f(z)

при Z — с о ,

совпадает

с типом

осо­

бенности

при Z = 0 функции

F(Z),

 

ибо

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ihn i ^ Z H H n i / • ( £ ) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z - ( l

 

z - ~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Отсюда

следует,

что

 

если

Z = 0 — устранимая

 

особая

 

точка

для

F(Z),

т. е. z = c o — у с т р а н и м а я

 

особая

точка для / ( z ) , то

 

 

 

f(z)=F(Z)

 

= c0-lClZ-Vc,Z*i-

 

 

. . . = C ü + _ ^ _

+

-

3 - + . . .

 

 

 

К а к видно,

ряд

Л о р а н а

/'(z)

по степеням

z

в

окрестности

z =

со

в случае устранимой особенности на

со

и е

 

и м е е т

 

п о ­

ло ж и т с л ь и ы X с т е и е и е й г.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если ж е имеем полюс порядка

/и, то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f(z)=F(Z)

 

= * -

н-

_

^

±

L

- j - . . .

+

- Ô

- L

H - V 6

(

, z - =

 

 

 

= c m 2 4 c » . - i 2 " ' - 1

+ • •. +

 

 

 

 

 

• c - » = ô « .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/1=0

Z

 

 

 

 

 

 

 

 

и

мы имеем

к о н е ч н о е

 

ч и с л о

 

п о л о ж и т е л ь н ы х

 

 

с т е ­

п е н е й

 

z.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В случае

ж е существенной

особенности

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/ ( z ) = F ( Z ) =

 

 

 

- j - V

Ô H Z « =

V Cl,z«

- f

 

-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

п = І ^

 

 

/1=0

 

 

n = l

 

 

 

я - 0 *

 

 

 

и

мы

имеем

 

б е с к о н е ч н о е

ч и с л о

 

п о л о ж и т е л ь н ы х

с т е п е н е

 

й

z.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким

 

образом, характер

особенности

на

 

со для f(z)

 

опре­

деляется числом положительных степеней z

при разложении

f(z)

в ряд

Л о р а н а

в окрестности

со, а

 

роль

главной

части

в этом

случае

играет

совокупность

членов с положительными

 

степе­

нями z

в этом

 

разложении .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

З а м е ч а н и е . Если

f(z)

 

на

со имеет

устранимую

особенность,

то обычно

 

полагают

/ ( с о ) = lim f(z)

и

тогда

 

функцию f(z)

 

на-

зывают регулярной

на

 

со.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Примеры.

 

I . Функции

ег,

sin z,

 

cos z,

имеющие р а з л о ж е н и я

и в окрестности со ((14)

§ 4, гл. IV) с бесконечным

числом

 

поло­

жительных

степеней z,

имеют

сс существенно

особой точкой.

 

 

2. Любой многочлен

степени п

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P n ( z ) = a 0 - H , z - f - . . .

+anz"

 

 

 

 

 

 

 

имеет в со полюс порядка

п.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6*

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

83

3. Д р о б н о - р а ц п о п а л ы і а я функция

1 z2

 

 

 

1

2

2

г • • •

 

 

 

 

 

=

~\ ~і Л

~zi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

имеет

на со устранимую

особенность. Если

считать,

что

 

 

f ( T O ) = Mm J L ± L = 1 ,

 

 

то эта функция на со становится

регулярной.

 

 

4.

Дробно - линейная функция

f{z)

= ~ ^ q ~ ^ " т а к ж е

имеет при

z — со устранимую

особенность;

ибо

lim f(z)=—.

Она становпт-

ся на

со регулярной,

если

считать, что

jv ч

а

 

'

/ ( с о )

= — .

 

 

С

.84

Г л а в а V

Э Л Е М Е Н Т Ы Т Е О Р И И В Ы Ч Е Т О В

§1. Понятие вычета. Вычисление вычета

Вы ч е т . Пусть функция регулярна в некоторой окрестности

\z—a]<R

 

точки

z = fi,

кроме,

может быть, самой точки а. В по­

следнем случае точка а является изолированной

особой

точкой

функции /"(г). Если L — любой замкнутый

контур,

целиком ле­

ж а щ и й

в этой

окрестности и

содержащий

точку

z = a

внутри

себя, то

по

теореме

Коши

(§ 2,

гл. I I I )

J

f{z)dz

 

сохраняет свое

 

 

 

 

 

L

 

 

 

 

 

 

 

L

 

 

 

B O < ] Z — a \ < R .

значение,

если

произвольно

деформировать

В

случае, если

f(z)

регулярна

в точке а,

то

этот

интеграл ра­

вен нулю,

а если

г = я —

особая

 

точка

 

для

f(z),

то он

может

быть

и отличен

от нуля. Если

z — a

— о с о б а я

точка,

то

в

0 <

\z-a\<R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f l z \ ~

 

i

С ~ т

i

 

с - т + \

 

i

 

 

,

С-\

 

i

 

 

д

>

" ' ^

(z-a)m

^

( z - a ) ' " - 1

 

^

- ' " т

z-a

 

 

 

 

 

 

+c0+ci(z—a)

+ c2(z—a)'1+

 

. . .

 

 

 

 

И если проинтегрировать левую и правую часть вдоль L, что

возможно,

 

ибо

ряд

Л о р а н а

сходится

 

равномерно

в

любой

замкнутой

области

из 0 <

\z—a\<R,

содержащей

L , то,

учитывая,

что

 

 

 

 

 

 

 

 

dz

 

[

0,

я

?

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( z - a ) "

 

\

2-і,

 

п = 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j>f{z)dz=2rdc-x.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1)

 

 

 

 

 

 

 

L

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

О п р е д е л е н и е 1.

 

В ы ч е т о м

о т н о с и т е л ь н о

 

т о ч к и

z=a

 

ф у н к ц и и

 

f(z)

называется

 

значение

интеграла

 

(j) f(z)dz.

 

Вычет

обозначается

 

r\f(z),

 

а]

(г

от

франц .

r e ' s i d u — о с т а т о к ) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

85

Из (1)

следует,

что

 

 

 

 

 

 

 

/-[/(z), a]=^li-(^nz)dz=c.l.

 

(2)

 

 

 

 

 

ï

 

 

 

Отсюда,

если

z =

а — устранимая

особая

т о ч к а

для f(z), то

с-\ равен

нулю

и,

следовательно,

вычет

r\f{z),

а ] = 0 .

 

Вычисление

вычета

в

случае

полюса

 

Если z — a —

полюс порядка

m

д л я f{z),

т. е. в окрестности

0 < | z — a | < R р я д

Л о р а н а

для f(z)

имеет

вид

 

 

К-л _

 

с->»

,

J

с - 2

i

•

(г — а)"' (г—о)'" z ~ а

+ 2^(--«)п .

с _ я ^ 0 ,

(3)

л = 0

 

 

то м о ж е т оказаться, что вычет с-\—

0 пли с-і=г=0. Если

полюс

простой, то в 0 < | z — a \ < _ R

 

 

Умножим обе части этого равенства на z—я, тогда

п--=0

Если т е п е р ь z->a, то, так как 2 c « ( z _ ß ) " + , - ^ 0 , имеем

л - 0

<г_і= lim / ( z ) - ( z — а ) . z-a

Итак, если Z = Û — простой полюс для / ( г ) , то

 

/ - [/(z),

 

fl]=lim(z-a)/(z).

(4)

Примеры.

 

 

Z-a

 

 

 

 

 

 

 

1. ' ' I

_z+l

_

г - і

z-

 

 

z-(z-l)

'

 

Ииогда вычет в случае простого полюса удобнее считать ина­ че. Это относится к случаю, когда f(z) можно представить в виде / ( z ) = , причем 'f(z) и 4?(z) — регулярные в точке z = a функ­ ции, '?(а)фО, а для 47 (z) точка z = a является простым нулем. Тогда по (4) будем.иметь

Ê6

r[f(z),

а ] = 1 і т ( г - я ) / ( 2 )

 

 

<p(z)

 

ll™-nz)

•Ща)

 

г-tt

 

=

ибо

 

 

 

 

 

 

 

,.

47(z)-47(a)

І Т

Ѵ / ч

 

lim

— —

 

=

Ф (а),

a

г-а

 

z—a

 

 

 

 

l i m ip(z)=cp(a).

 

 

 

 

2.

Так, д л я

в т о ч к е

z=-Fr

°

имеем

 

cos

z

 

 

 

 

Г 1

л

 

 

- 1 .

 

cos

z ' 2

 

 

 

 

 

5ІП

1Г

 

 

 

 

2

 

 

 

 

—

 

<р(д)

(5)

Ф'(о) '

 

З д е с ь <p(z) =

l ,

¥ ( z ) = c o s z .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пусть теперь z = а

— полюс

порядка

m

для

f(z).

Тогда в

0 < | z — a \ < _ R

имеет место

разложение

(3). Умножим

обе

части

(3) на (z—a)"1,

 

тогда

будем

иметь

 

 

 

 

 

 

 

 

 

{z-a)m-f(z)=c-m+c-m+i(z-a)

 

 

 

 

+ . . .

+

c _ i ( z - a ) ' " - 1

+

 

 

 

 

+c0(z-a)'"+ci(z-a)^

 

 

 

+ . ..

 

 

 

 

 

Продифференцировав

последнее

равенство m—1

раз,

полу­

чим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

^ - r [ ( z _ f l ) « . / ( z ) ] =

( f f l _ l ) ! C _ 1 + W ! C o ( z - f l ) + . . l

 

Если теперь перейти здесь к пределу npiiz-*-a, то

получится,

что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/ • [ / ( * ) ,

a

] = c _ 1 = - ? - ^ i i m - ^

r [ ( z - a ) ' » . / ( z ) l .

 

(6)

Формула

(4)

 

— ч а с т н ы й

случай формулы

(6)

п р и т = 1 .

Оче­

видно, что Э Т О Т способ нахождения

вычета

нельзя применить для

случая существенно

особой

точки,

поэтому

в последнем

случае

приходится

 

использовать

разложение f(z)

в

окрестности этой

точки.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вычет

функции

 

относительно

оо

 

 

 

 

 

 

 

 

Пусть

z =

 

с о — и з о л и р о в а н н а я особая

точка

f ( z ) ,

т. еѵ

функ­

ц и я / ( z )

регулярна

в

некоторой

окрестности

| z |

 

точки со

Пусть L

—

произвольный

(рис.

35)

замкнутый

контур,

целиком

л е ж а щ и й

в | г |

> / ? и

 

содержащий

z — 0

внутри

себя.

Так, за L

можно взять

произвольную

окружность

сколь

угодно

большого

87

Смотрите также файлы