Файл: Ашневиц И.Я. Элементы комплексного анализа с гидромеханическими приложениями конспект лекций.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.08.2024
Просмотров: 97
Скачиваний: 0
радиуса R\>R, \z\ |
=R{. |
Очевидно, ff(z)dzne |
меняет |
своего зна |
|
чения, если L деформировать в | z | > # . |
|
|
|||
Определение |
2. |
В ы ч е т о м |
ф у н к ц и и f(z) |
о т н о с и |
|
т е л ь н о е » , r[f(z), |
со] называется |
значение |
интеграла |
•^•§f{z)dz. |
|
Рис 35
Разница |
с определением ! в |
случае вычета |
в конечной |
точке |
здесь в том, что контур L надо |
обходить теперь |
по часовой |
стрел |
|
ке таким |
образом |
|
|
|
|
|
r\f(z), |
|
оо]=-^1г ф/(г)йг. |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
Такой |
обход |
контура |
объясняется |
тем, что при обходе |
контура |
||||||
данную особую точку |
мы |
должны иметь |
всегда слева |
от |
кон |
||||||
тура. |
В окрестности |
со |
разложение |
J (z) |
в ряд Л о р а н а |
будет |
|||||
иметь вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
«*)= |
• • • + |
- ^ - + ^ |
î |
r + |
. • - + |
- |
^ - |
+ с ^ С і г + с ^ + . . . |
|||
Если это |
равенство |
проинтегрировать |
вдоль L и учесть, что |
||||||||
|
Г |
dz |
|
Г |
dz |
( |
0. |
пФ\ |
|
|
|
то |
Получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
éj)f{z)dz= |
—С-Х-2-І, |
|
|
|
|
|
|
откуда |
с л е д у е т |
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, |
вычет |
функции |
f(z) |
относительно с о |
равен |
||||
коэффициенту при первой |
отрицательной |
степени z |
разложения |
|||||||
f(z) |
в ряд Л о р а н а |
в окрестности |
с о , взятому с |
противополож |
||||||
ным знаком . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Вычет |
функции в случае, если z = с о — у с т р а н и м а я |
особая точ |
||||||||
ка, может и не быть |
равным нулю. Так для |
f(z) |
= 2 |
~ |
точка |
|||||
z — с о устранимая, |
ибо l i n i / ( z ) = |
2, а вычет |
равен |
единице. |
||||||
Л- -о
§2. Основная теорема о вычетах
Теорема 1 (основная теорема о вычетах); Пусть функция f(z) регулярна р области D всюду, за исключением конечного числа
особых точек |
о,, а2, |
. . . а.п. |
Тогда интеграл — . j> |
f(z)dz, |
вычислен- |
||||||
ный вдоль любого контура |
L , целиком л е ж а щ е г о в D и |
содержа |
|||||||||
щего все точки йі, а2, .. . а„ внутри |
себя, равен |
сумме |
вычетов |
||||||||
функции f(z) |
относительно о., а2 |
, .. |
а п , т. е. |
|
|
|
|||||
-±f§№dz=rlf(z), |
|
a,\+r[f{z)% |
о,] -+-... |
+r[f(z), |
а,,}. |
|
|||||
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Доказательство |
|
|
|
|
||||
О к р у ж и м |
точки а,, а.,, |
... ап |
окружностями С Г і , СГі,... |
СГп |
так, |
||||||
чтобы |
последние попарно |
не |
пересекались |
и л е ж а л и |
целиком |
||||||
внутри |
L ( р и с . 3 6 ) . |
Тогда |
по интегральной |
теореме |
Коши |
для |
|||||
многосвязной |
области будем иметь |
|
|
|
|
|
|||||
Р а з д е л и в |
на 2~і |
обе части |
|
получим |
|
|
|
|
|||
|
|
|
f(z)dz |
= |
%r[f(z), |
ак]. |
|
|
|
||
Теорема 2. Пусть функция f(z) регулярна на всей конечной комплексной плоскости, кроме конечного числа особых точек. Тогда сумма вычетов f(z) относительно всех ее особых точек (считая и z = с о ) равна нулю.
89
|
|
|
Доказательство |
|
|
|
|
Проведем контур |
L так, чтобы |
все |
конечные |
особые |
точки |
||
аиа-,, |
...а,, оказались |
внутри контура. В качестве L |
можно |
взять |
|||
окружность достаточно |
большого |
радиуса |
J г ,=•/?. |
|
|
||
П о |
основной теореме |
о вычетах |
интеграл |
|
|
||
Рис. 36
/(*)</*= 2r[/(z) , ак],
но этот же интеграл
~2
Значит,
ЪгЩг), |
aK] = -r\[(z), |
о-) |
кI
или
/-[/(г). |
a . J - И Л г ) , |
й , | - г . . . т |
|
|
«„] - ! - г|/(г), о э ] = 0 . |
|
Примеры. |
|
|
|
|
|
|
1. |
(f s i n — |
аГг = |
ïrd-r |
• |
1 |
л |
sin — , |
О = 2 т.і. |
|||||
90
Действительно, |
для |
функции |
sin — точка |
z — 0, л е ж а щ а я |
внутри окружности |
|z| = |
l , является |
единственной |
особой точкой, |
причем существенно особой точкой. Поэтому для вычисления вы
чета |
прибегаем |
к разложению |
функции |
sin -^- в ряд Л о р а н а по |
||||||||||||||||
степеням |
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
. |
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin — = |
|
— |
|
3!z3 |
|
5!z5 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
z |
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Т а к к а к |
это |
р а з л о ж е н и е |
верно на всей плоскости, то оно вер |
|||||||||||||||||
но и в окрестности z = 0. |
Поэтому |
г |
sin — , 0 = 1. Этот |
интеграл |
||||||||||||||||
можно |
|
вычислить |
иначе. |
|
На |
|
основании |
|
теоремы |
2 |
можно |
|||||||||
записать |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
sin |
— |
|
, |
О |
|
|
Sin |
1 |
|
со |
|
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-— , |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
z |
|
' |
|
|
|
|
|
Z |
' |
|
|
|
|
|
т. е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
£> |
sin |
z |
-dz |
= |
|
— |
2ти-г Sin |
— , |
со |
|
|
|||||
|
|
|
|
•z =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Поскольку полученное |
разложение |
sin — |
верно и д л я |
окрест |
||||||||||||||||
ности |
со, то |
очевидно |
г |
Sin |
1 |
с о |
|
|
1, |
а |
тогда |
|
|
|||||||
Z |
, |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
$ s i n |
—dz= |
|
— 2 w - ( - l ) = 2 * i . |
|
|
|||||||||||
2. |
Вычислим |
интеграл |
(6—. |
|
|
. |
— А. Подннтегральиая |
|||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
J |
|
z[z*-\-l) |
|
|
|
|
|
|||
функция |
|
|
имеет |
в круге |
| z | < 2 |
пять особых точек: |
||||||||||||||
|
-(-41) |
|||||||||||||||||||
|
4 |
, • |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ак=у |
|
« = 1 , 2 , 3 , 4 , |
и |
аъ |
= 0. |
Поэтому |
интеграл |
|
|
|||||||||||
|
— 1, |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
к=1 |
|
Ф Ч і ) |
' |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
1 |
, |
о |
|
|
|
|
|
i |
|
|
lim |
1 |
1. |
|
||
|
|
|
|
z(z{-\-\) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Очевидно, ai, а>, сц, |
аА |
тоже |
простые, полюса, |
поэтому, |
предста |
|||||||||||||||
вив [(z) |
в виде |
- J I T ^ T , где за |
cp(z) |
возьмем 4~ |
, а за W(z) |
функцию |
||||||||||||||
z' + |
l , |
на'йдем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
91
